11.3.2两数和（差）的平方 教学设计 2026-2027学年 华东师大版 八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“两数和(差)的平方”核心知识点，通过实验田面积分割的几何情境导入，引导学生用整体与分割两种方法计算面积推导完全平方公式，温故平方差公式形成对比，搭建新旧知识联系的学习支架。 该设计以“计算—观察—猜想—验证—归纳”为主线，通过面积模型图进行几何验证，结合口诀“首平方尾平方首尾两倍在中央”强化记忆，分层练习含基础、提高及辨析题。突出几何直观与数学抽象，培养学生运算能力和推理意识，为教师提供结构化教学方案，提升课堂效率。

XX中学教案 学科 数学 教师 班级 课题 11.3.2 两数和(差)的平方 课型 新授 教学 目标 知识 目标 1. 理解完全平方公式的推导过程，掌握两个公式的结构特征； 2. 能运用完全平方公式进行简单的乘法运算； 3. 能运用完全平方公式进行简便计算。 能力 目标 1. 经历完全平方公式的探究过程，培养观察、归纳和概括能力； 2. 通过公式的几何验证，发展数形结合思想和几何直观； 3. 培养识别公式结构、灵活运用公式的运算能力。 核心 素养 目标 1. 数学运算：能准确运用完全平方公式进行运算，提升运算素养； 2. 逻辑推理：经历“计算—观察—猜想—验证—归纳”的推理过程； 3. 数学抽象：从具体运算中抽象出完全平方公式，发展符号意识； 4. 几何直观：通过面积分割理解公式的几何意义，渗透数形结合思想。 教学 重点 难点 重点：完全平方公式的理解与运用。 难点：完全平方公式的结构特征识别，尤其是中间项2ab的符号和系数，以及与平方差公式的区分。 教学 方法 启发式教学、探究式学习、讲练结合、数形结合、对比教学 教学 手段 多媒体课件、学案、面积模型图 课时 1 教学 环节及时间 教师活动 学生活动 设计意图 （一）情境导入，导入新课（5分钟） 【创设情境】 一块边长为a m的正方形实验田，因需要将边长增加b m，形成四块实验田。用不同方式表示总面积。 方法一：整体看S = (a+b)² 方法二：分割成四块S = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² 因此：(a+b)² = a² + 2ab + b² 【温故知新】平方差公式是什么？它与今天的公式有什么不同？ 【引出课题】今天学习两数和(差)的平方（完全平方公式）。（板书） 1. 画图分析正方形面积，用两种方法列式； 2. 发现 (a+b)² = a²+2ab+b²； 3. 回忆平方差公式，对比思考； 4. 明确本节课学习目标。 以实验田面积为背景，数形结合，直观感知完全平方公式； 复习平方差公式，为对比区分做铺垫； 自然引出课题。 （二）合作探究，构建新知（15分钟） 【探究活动一】公式推导 用多项式乘法计算： (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b² 【归纳公式】板书： (a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)² = a²-2ab+b² 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，和加差减看符号。 【结构特征分析】 左边：两数和（或差）的平方；右边：二次三项式，首末两项为平方，中间项为积的2倍。 【探究活动二】几何验证 用等式表示图中图形面积的运算： (a+b)² = a²+2ab+b² 参考上述推导，尝试画图推出：(a-b)²= a²-2ab+b² 【对比辨析】完全平方公式 vs 平方差公式： (a+b)² ≠ a²+b²（漏掉中间项2ab）；(a+b)(a-b)=a²-b² 【例题精讲】 例1 计算：(1)(x+2y)² (2)(2x-3y)² 解：(1) 原式=x²+2·x·2y+(2y)²=x²+4xy+4y² (2) 原式=(2x)²-2·2x·3y+(3y)²=4x²-12xy+9y² 例2 简便计算：102² 解：原式=(100+2)²=100²+2×100×2+2²=10000+400+4 =10404 1. 独立推导两个公式； 2. 归纳公式的文字表述和口诀； 3. 分析公式结构特征； 4. 动手剪纸或画图，验证几何意义； 5. 对比完全平方与平方差公式，避免混淆； 6. 跟随教师板演例题，注意找准首项、尾项和中间项； 7. 体会简便运算中公式的应用。 让学生经历完整探究过程，培养归纳能力； 口诀帮助记忆，降低难度； 对比辨析突破难点，避免与平方差混淆； 例题由浅入深：直接套用→含系数→简便运算。 （三）课堂练习 ，内化新知（约10分钟） 【分层练习】 ★ 基础题（全员完成） 1. 计算：(1)(m+3)² (2)(2a-b)² (3)(-x+2y)² 【(1)m²+6m+9 (2)4a²-4ab+b² (3)x²-4xy+4y²】 2. 简便计算：(1)99² (2)51² 【(1)(100-1)²=10000-200+1=9801 (2)(50+1)²=2500+100+1=2601】 ★★ 提高题（选做） 3. 计算：(a+b)²-(a-b)² 【(a+b)²-(a-b)²=(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)=4ab】 4. 先化简，再求值：(x+2)²-(x+1)(x-1)，其中x=-3。 【原式=x²+4x+4-(x²-1)=4x+5；当x=-3时，原式=-12+5=-7】 ★★★ 辨析题 5. 下列计算是否正确？错误的请改正： (1)(a+b)²=a²+b² (2)(a-b)²=a²-b² (3)(-a+b)²=a²-2ab+b² (4)(2a+1)²=4a²+2a+1 【(1)×，改正：a²+2ab+b² (2)×，改正：a²-2ab+b² (3)√， (4)×，改正：4a²+4a+1】 教师巡视，选取典型错误投影点评。 1. 独立完成基础题，同桌互查； 2. 学有余力的同学完成提高题； 3. 辨析题先判断再改正，小组交流错因； 4. 主动板演，参与讲评。 分层练习满足不同层次需求； 基础题巩固公式运用和简便运算； 提高题训练公式综合运用和化简求值； 辨析题针对四大易错点设计，强化公式结构。 （四）课堂小结 （约3分钟） 今天你学到了什么？ 师生共同梳理： 1. 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²； 2. 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央； 3. 注意：①不要漏掉中间项2ab；②与平方差公式区分；③系数和整体要加括号。 作业 检测 基础作业 【基础作业】 1. 教材课后习题（对应新教材11.3.2练习）； 2. 计算：(1)(x+5)² (2)(3a-2b)² (3)(-m+4n)² 【(1)x²+10x+25 (2)9a²-12ab+4b² (3)m²-8mn+16n²】 3. 简便计算：101² 【101²=(100+1)²=10000+200+1=10201】 提高作业 【提高作业】 1. 计算：(x+y)²+(x-y)²； 【(x+y)²+(x-y)²(x²+2xy+y²)+(x²-2xy+y²)=2x²+2y²】 2. 先化简，再求值：(2x-1)²-(x+2)(x-2)，其中x=1/2； 【原式=4x²-4x+1-(x²-4)=3x²-4x+5；当x=时，原式=-2+5=】 3. 已知 a+b=5，ab=6，求 a²+b² 的值。 【a²+b²=(a+b)²-2ab=25-12=13】 拓展预习 作业 【拓展预习作业】 1. 思考：完全平方公式有哪些变形？如 a²+b²=(a+b)²-____； 【a²+b²=(a+b)²-2ab；(a+b)²=(a-b)²+4ab】 2. 预习下一节“整式的除法”或复习11.3乘法公式的综合运用。 板书设计 【情境引入】 实验田面积： (a+b)² =a²+2ab+b² 【公式推导】 (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 【完全平方公式】 (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 口诀： 首平方，尾平方 首尾两倍在中央 和加差减看符号 【对比】 (a±b)²≠a²±b² 【例题】 例1(1) (x+2y)² =x²+4xy+4y² 例1(2) (2x-3y)² =4x²-12xy+9y² 例2 简便运算 102²=10404 教学反思 本节课通过实验田面积分割的几何模型引入，学生能直观感知(a+b)²=a²+2ab+b²。但练习中典型错误突出：一是漏掉中间项2ab，写成 (a+b)²=a²+b²；二是中间项系数错误，如(2a+1)²=4a²+2a+1；三是与平方差公式混淆。口诀“首平方尾平方首尾两倍在中央”有一定帮助，但仍需通过对比练习强化区分。今后应增加公式变形和混合运算训练。 学科网（北京）股份有限公司 $