空间点、直线、平面位置关系专项测试-2027届高三数学一轮复习

空间点、直线、平面位置关系测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 2．已知是平面，是直线，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若是异面直线，那么与相交； ④若，则且 其中正确的命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ） A． B． C． D． 4．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．设，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是（    ） A．若上有无数个点不在内，则 B．若，则与内的任意一条直线都没有公共点 C．若，则平行于内的任意一条直线 D．若，且，则 7．已知正方体的棱长为4，为的中点，则点到平面的距离等于（   ）    A． B． C． D． 8．空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l与这三条直线所成角均为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．下列说法不正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．空间中两条直线能确定一个平面 C．共点的三条直线确定一个平面 D．三角形和梯形都可以表示一个平面 10．已知直线、和平面、，且，，则下列四个选项中正确的有（　　） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 11．如图，正方形 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是 （    ） A．两点间的距离满足 B． C．对应三棱锥 的体积的最大值为 D．当二面角 为时， 三、填空题（每题5分，共15分） 12．若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有__________条. 13．如图，在平行四边形中，，沿着它的对角线将折起，当二面角的大小是时，则的两点间距离为___________．    14．如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则三棱锥外接球的半径为________. 四、解答题（共77分） 15．（13分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 16．（15分）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 18．（17分）如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求点到平面的距离． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，为线段上一动点，平面． (1)证明：平面平面； (2)当时，证明：平面； (3)若，四面体的体积等于四棱锥体积的，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《空间点、直线、平面位置关系测试》参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B B A D ABC BC 题号 11 答案 AB 1．C 【详解】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错； 对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错； 对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确； 对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错. 故选：C 2．A 【分析】利用面面垂直的判定定理即可判断①，再利用空间中点、线、面的位置关系即可判断②③④. 【详解】对于①：若，由面面垂直的判定定理可知，故①正确； 对于②:若，则或与相交；故②错误； 对于③：若是异面直线，那么与相交或；故③错误； 对于④：若，则可能在平面内（或内），故④错误； 故选：A. 3．B 【分析】根据线面平行的性质分析判断即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B. 4．B 【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案. 【详解】四棱锥的体积，得， 直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 5．B 【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可举反例说明不正确即可. 【详解】对于A中，若，，，则，故A不正确； 对于B, 若，，则，若，则，故B正确； 对于C中，，不一定垂直； 对于D中，，或与相交. 故选：B. 6．B 【详解】对于A选项，若上有无数个点不在内，则或与相交，A错； 对于B选项，若，则直线与平面没有公共点， 因为平面内的任意一条直线上的所有点都在平面内， 所以与内的任意一条直线一定没有公共点，B对； 对于C选项，若，则与内的任意一条直线平行或异面，C错； 对于D选项，若，且，则或，D错. 7．A 【分析】根据等体积思想计算即可. 【详解】在中，， 在中，， 体对角线， 则等腰底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为， 因平面，，则， 则，则点到平面的距离等于. 故选：A    8．D 【分析】将题设三条直线置于正方体内，结合正方体的结构特征确定直线l为体对角线，进而找到的对应角，即可求其大小. 【详解】令空间中三条符合题设的直线分别为，如下图正方体所示， 又，故直线l与夹角，即为与夹角， 根据正方体的结构特征，易知其中体对角线与的夹角相等， 若为的中点，连接与交于，其中为正三棱锥且为底面中心， 所以面，面，则，且与的夹角为或其补角， 令正方体棱长为2，则，可得， 所以，故. 故选：D 9．ABC 【分析】ABC可举出反例；D选项，根据三角形和梯形是平面图形得到D正确. 【详解】A选项，不共线的三点可以确定一个平面，若三点共线，则不能确定一个平面，故A错误； B选项，只有平行或相交的两条直线才能确定一个平面，当两直线异面时，不能确定一个平面，故B错误； C选项，当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误； D选项，三角形和梯形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确． 故选：ABC 10．BC 【分析】A选项，当时，过可以作无数个平面与垂直，故A错误；B选项，推出与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；CD选项，或，所以过可作唯一平面与垂直，故C正确；D选项可举出反例. 【详解】对于A选项，，，当时， 因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误； 对于B选项，因为与所成角为，，如下图所示： 若，设直线交平面于点， 在直线上取异于点的点，过点作交平面于点，连接， 则，线面角的定义可知，故， 从而可知直线、所成角为，这与矛盾，故与不垂直，所以与不垂直， 故与平面不垂直，而过直线上一点，有且只有一条过点且垂直于平面的直线， 记这条直线为，直线和直线确定的平面， 由面面垂直的判定定理可知平面平面， 若还有另一个平面，且，则平面与平面的交线即也垂直于， 这与与平面不垂直矛盾，故平面即为平面，故存在唯一平面与垂直， 而，故存在唯一平面，使得该平面与垂直，故B正确； 对于CD选项，由，，，得与的关系是或， 所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确； 当时，过的平面与相交或重合，故D项错误. 11．AB 【分析】对于，根据题意易得，可判定A；对于B,根据平面，即可判定；对于C,当当平面平面时，三棱锥的体积的最大，继而可求得最大值；对于D,由题可知，继而根据角形为等边三角形可判定. 【详解】如图所示，取 的中点，连接 对于，在正方形中，，将正方形沿其对角线进行折叠， 易得 两点间的距离满足，故A正确； 对于, ，ON,OD含于面BOD 平面，又平面， ,故B 正确； 对于 ，当平面平面时，三棱锥的体积的最大， 最大为 ，故C 错误; 对于,因为， 所以为二面角 的平面角， 则当时，三角形为等边三角形， 则,故错误， 故选：AB. 12．1 【分析】在空间取一点，经过分别作，，分析满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过分别作，，设直线确定平面， 当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与所成角为， 因为直线所成角为，得所成锐角为， ①当直线的射影在所成锐角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点有1条直线与所成角都是 ②当直线的射影在所成钝角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点不存在直线与所成角都是， 综上，过点且与所成的角都是的直线有且仅有1条. 故答案为：1. 13． 【分析】理解异面直线夹角与方向向量之间的关系，结合基底转换和模长公式即可计算结果． 【详解】根据垂直关系，与的夹角，即为二面角的平面角， 且，，， 所以. 故答案为：． 14．/ 【分析】依题意可证平面，在中利用余弦定理求出，即可求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，则，计算可得. 【详解】依题意可得，，，，， 又，，，平面， 所以平面， 在中，即， 所以，又因为，则， 设外接圆的半径为，则， 设三棱锥外接球的半径为，则， 即，所以. 故答案为： 15．(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 16．设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 【分析】用线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】略 17．(1)证明: 如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结， 点是对角线的交点，所以是的中点，是的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面 (2)； 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明，即可证明； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，转化为求与所成角的余弦值，利用图形的几何性质，结合余弦定理，即可求解；（ⅱ）根据线面角的定义，构造线面角，即可求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）连结， 若二面角的大小为， 则平面平面，且平面平面， ，且平面， 所以平面，平面， 所以，    又因为，所以，则， 又，， 异面直线与所成的角为与所成的角，为或其补角， 中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （ⅱ）取的中点，连结，因为，所以， 所以平面， 连结，为直线与底面所成的角， 因为底面边长为1，， 所以,， , 所以.    所以直线与平面所成角的大小为. 18．(1) 由已知为三棱台， 则， 又，，且点为中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 平面，且，，平面， 平面平面， 平面平面，平面平面， ， 为中点； (2) 【分析】（1）根据线线平行可证面面平行，进而可证线线平行，结合中位线的性质即可得证； （2）根据棱台性质可得四边形为等腰梯形，结合等腰梯形的性质可得面积，等体积转化可得点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2） 连接，， 由（1）可知，， 又， 即，， 又，，平面， 平面， ， 易知四边形为直角梯形，则， 同理， 四边形为等腰梯形， 且等腰梯形的高为， 则， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得. 19．(1)证明：设与交于，连接， 因为四边形是正方形，所以，且为的中点， 又平面，又平面，所以， 因为是的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； (2)证明：连接交于点，连接，连接，则为的中点， 因为，所以，因为分别为的中点， 所以为的重心，所以，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面； (3) 【分析】（1）设与交于，连接，易得，由已知可证，进而可证，利用线面垂直的判定定可证平面，可证结论成立； （2）连接交于点，连接，连接，则为的中点，利用相似比证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （3）由题意可得，可求得的值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由平面， 可得， 因为分别为的中点， 所以， 所以，所以 又四面体的体积等于四棱锥体积的， 所以，所以点平面的距离之比为， 所以. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $