专题19 空间点、线、面的位置关系专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题19　空间点、线、面的位置关系 群哥高中数学辅导资料 专题19　空间点、线、面的位置关系 一、核心知识 平面的基本性质 异面直线 异面直线所成角 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判定 线面垂直的判定 面面垂直的判定与性质 三垂线定理 线面角 二、题型精练 题型一　平面的基本性质与共面问题 【方法与技巧】 三个公理要背准：不共线三点确定一个平面；两相交直线确定一个平面；两平行直线确定一个平面。 判断共面的关键是'能否找到一个平面同时包含它们'：两条平行线、两条相交线、一条直线和线外一点，都能确定唯一平面。 两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面；两条异面直线既不平行也不相交，一定不共面。 证明共面常用'先由部分元素确定平面，再证其余元素在该平面内'；证明异面常用反证法。 【例题精讲】 1．下列关于平面的命题中，正确的是（　　） A．不共线的三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．三个平面两两相交必有三条交线 【答案】A 【详解】公理：不共线的三点有且只有一个平面；两条直线（需相交或平行）、直线与线外一点才能确定平面；三个平面两两相交时三条交线可能重合，A 正确。故选：A。 2．空间中三条直线两两相交且不共点，则这三条直线（　　） A．必共面 B．必不共面 C．可能共面也可能不共面 D．必两两平行 【答案】A 【详解】三个交点互不相同且不共线，由公理它们确定一个平面，三条直线都在这个平面内，故必共面。故选：A。 3．若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面（　　） A．相交于一条直线 B．平行 C．重合 D．异面 【答案】C 【详解】不共线的三点确定唯一平面，两个平面都过这三点，故两平面重合。故选：C。 【变式训练】 1．三条直线交于一点，且其中每两条确定一个平面，则一共可以确定平面的个数为（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【详解】三线共面时为 个；三线不共面（如墙角的三条棱）时两两确定一个平面，共 个。故选：B。 2．空间四点中，若其中有三点共线，则这四点（　　） A．必不共面 B．必共线 C．必共面 D．无法确定 【答案】C 【详解】共线的三点确定一条直线 ，直线 与第四点确定一个平面，故四点共面。故选：C。 3．一条直线和这条直线外一点可以确定平面的个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 【答案】A 【详解】由公理的推论，直线与线外一点确定唯一一个平面。故选：A。 4．两条平行直线可以确定平面的个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 【答案】B 【详解】两条平行直线确定唯一一个平面。故选：B。 5．两个不重合的平面若有一个公共点，则它们的公共部分是（　　） A．一个点 B．一条过该点的直线 C．一个平面 D．两条直线 【答案】B 【详解】由公理，两不重合平面若有公共点，则它们相交于过该点的一条直线。故选：B。 6．两两相交且不共点的三条直线可以确定平面的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三个不同交点不共线，确定唯一平面，故为 个。故选：A。 【巩固练习】 1．空间中不共面的四个点，一共可以确定______个平面．　　　　 【答案】 【详解】每三个点确定一个平面，共 个。故答案为：。 2．若直线 上有两个不同的点在平面 内，则（　　） A． B． 与 相交 C．无法确定 D． 【答案】D 【详解】由公理，一条直线有两个点在平面内，则整条直线都在平面内，即 。故选：D。 3．空间中有 个点，其中任意 点不共面，则一共可以确定______个平面．　　　　 【答案】 【详解】每三个不共线的点确定一个平面，共 个。故答案为：。 4．两个平面 、 相交于直线 ，若点 且 ，则（　　） A． B． C． 但 D．无法确定 【答案】B 【详解】两平面的公共点必在它们的交线上，故 。故选：B。 5．三条互相平行的直线最多可以确定______个平面．　　　　 【答案】 【详解】三条平行线两两确定一个平面，不共面时最多为 个。故答案为：。 6．下列条件中，能确定一个平面的是（　　） A．空间任意三个点 B．一条直线和该直线上的一个点 C．两条相交直线 D．两条异面直线 【答案】C 【详解】两条相交直线确定唯一平面；三点需不共线、点需在直线外、异面直线不共面，均不符合，C 正确。故选：C。 7．过一条直线外一点，可以作______条直线与已知直线平行．　　　　 【答案】 【详解】由平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。故答案为：。 8．若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面（　　） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】A 【详解】两平面平行则无公共点，故一个平面内的直线与另一个平面也无公共点，即平行。故选：A。 题型二　异面直线的判定与所成角 【方法与技巧】 异面直线的判定：过其中一条直线和另一条直线上一点作平面，若另一条直线不在这个平面内且不与该直线相交，则异面。 求异面直线所成角的三步：平移（或补形）把两条异面直线移到同一起点 — 解三角形（或向量夹角）— 取锐角或直角。 异面直线所成角的范围是 ，若算出钝角要取其补角。 正方体是这类题最好的模型：与一条棱异面的棱有 条，与一条面对角线异面的棱有 条。 【例题精讲】 1．在正方体 中，与棱 异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】C 【详解】正方体共 条棱；与 相交的有 、、、 共 条，与 平行的有 、、 共 条，去掉 自身，故异面的有 条。故选：C。 2．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 的方向为 ， 的方向为 ，两者垂直，故所成角为 。故选：D。 3．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方向向量分别为 与 ，，故 。故选：A。 【变式训练】 1．在正方体中，与一条体对角线异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】D 【详解】 条棱中，与体对角线两个端点相交的各有 条共 条，其余 条均与体对角线异面。故选：D。 2．空间中两条直线的位置关系共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【详解】相交、平行、异面共 种。故选：A。 3．若直线 与 异面， 与 异面，则 与 的位置关系（　　） A．一定异面 B．一定相交 C．一定平行 D．平行、相交、异面都有可能 【答案】D 【详解】异面关系没有传递性，三种位置关系都可能出现（可用正方体举例）。故选：D。 4．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方向分别为 与 ，，故 。故选：D。 5．异面直线所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】异面直线所成角取锐角或直角，范围是 。故选：B。 6．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方向分别为 与 ，，故 。故选：C。 【巩固练习】 1．在正方体中，与一条棱异面的棱共有______条．　　　　 【答案】 【详解】 条。故答案为：。 2．在正方体 中，与面对角线 异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】B 【详解】与 、 两点相交的棱各 条共 条，其余 条（、、、、、）均与 异面。故选：B。 3．异面直线所成角的最大值为______度．　　　　 【答案】 【详解】异面直线所成角取锐角或直角，最大为 。故答案为：。 4．若两条异面直线都垂直于同一条直线，则这两条异面直线（　　） A．一定平行 B．位置关系不确定 C．一定垂直 D．一定相交 【答案】B 【详解】空间中垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交或异面，位置关系不确定。故选：B。 5．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为______度．　　　　 【答案】 【详解】方向为 与 ，点积为 ，故所成角为 。故答案为：。 6．在正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方向为 与 ，点积为 ，故余弦值为 。故选：A。 7．在正方体中，与体对角线异面的棱共有______条．　　　　 【答案】 【详解】两端点各连 条棱共 条相交，其余 条异面。故答案为：。 8．下列关于空间中两条直线的命题，正确的是（　　） A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 B．没有公共点的两条直线一定是平行直线 C．不相交的两条直线一定是异面直线 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【详解】平行公理：平行于同一直线的两直线平行；空间中垂直于同一直线的两直线未必平行；没有公共点还可能是异面；不相交还可能是平行或异面，D 正确。故选：D。 题型三　直线与平面平行的判定与性质 【方法与技巧】 线面平行的判定：平面外一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线平行于此平面。三个条件缺一不可。 线面平行的性质：直线平行于平面，则过该直线的平面与原平面的交线平行于该直线——这是'由线面平行得线线平行'的桥梁。 面面平行的判定：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。 线面平行推不出线线平行，只能推出'平行或异面'；这是常见易错点。 【例题精讲】 1．下列条件中，能判定直线与平面平行的是（　　） A．直线平行于平面内的一条直线，且该直线不在此平面内 B．直线平行于平面内的一条直线 C．直线垂直于平面内的一条直线 D．直线与平面内的一条直线异面 【答案】A 【详解】线面平行判定定理要求'平面外、平面内、平行'三个条件同时成立，缺一不可，A 满足；B 少'平面外'条件，C、D 都不是判定条件。故选：A。 2．若直线 平行于平面 ，则 与平面 内的直线的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【详解】 与 无公共点，故 与 内的直线也无公共点，只能平行或异面。故选：C。 3．在正方体 中，与平面 平行的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【详解】上底面的四条棱 、、、 都与下底面平行，共 条。故选：A。 【变式训练】 1．若直线 平行于平面 ，且 平行于直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．一定平行 B．一定在平面内 C．一定相交 D．平行或在平面内 【答案】D 【详解】 可能平行于 ，也可能就在 内，两种情况都可能。故选：D。 2．过平面外一点，与该平面平行的直线有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条 【答案】D 【详解】过该点可作一个与已知平面平行的平面，该平面内过该点的直线有无数条，它们都与原平面平行。故选：D。 3．在正方体中，与平面 平行的平面共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【详解】只有上底面 与下底面 平行，共 个。故选：A。 4．若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线（　　） A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．相交 【答案】B 【详解】两平面无公共点，故两平面内的直线也无公共点，只能平行或异面。故选：B。 5．若直线 平行于平面 ， 在平面 内，且 ，则 与 （　　） A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面 【答案】C 【详解】由线面平行的性质定理，。故选：C。 6．在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，则 与平面 的位置关系是（　　） A．相交 B． 在该平面内 C．无法确定 D．平行 【答案】D 【详解】 是 的中位线，故 ，又 不在上底面内，故 平行于上底面。故选：D。 【巩固练习】 1．若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系是平行或______．　　　　 【答案】异面 【详解】无公共点的两条直线只能平行或异面。故答案为：异面。 2．在正方体中，与平面 平行的面对角线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】D 【详解】上底面的两条面对角线 、 都与下底面平行，共 条。故选：D。 3．过平面外一点，与该平面平行的直线有______条．　　　　 【答案】无数 【详解】过该点作与已知平面平行的平面，该平面内过该点的直线有无数条。故答案为：无数。 4．下列条件中，能保证直线 与平面 平行的是（　　） A． 平行于 内的两条相交直线 B． 平行于 内的一条直线 C． 与 内的一条直线异面 D． 垂直于 内的一条直线 【答案】A 【详解】 平行于 内两条相交直线时， 不可能在 内，故必有 ；其余选项都不能排除 。故选：A。 5．在正方体 中，与平面 平行的平面有______个．　　　　 【答案】 【详解】只有上底面。故答案为：。 6．若平面 平行于平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．相交 B． 在 内 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【详解】两平行平面无公共点，故 内的直线 与 也无公共点，即 。故选：C。 7．两个平行平面之间的距离处处______．　　　　 【答案】相等 【详解】平行平面间的距离处处相等，这是两平面平行的基本性质。故答案为：相等。 8．已知直线 、 和平面 ，若 平行于 ， 平行于 ，则 与 的位置关系是（　　） A．一定平行 B．一定异面 C．一定相交 D．平行、相交、异面都有可能 【答案】D 【详解】两条直线都平行于同一平面时，它们之间可以是任意位置关系，三种都可能。故选：D。 题型四　直线与平面垂直、平面与平面垂直（含三垂线定理） 【方法与技巧】 线面垂直的判定：一条直线垂直于平面内两条相交直线，则该直线垂直于此平面；只垂直一条不够。 线面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行；一条直线垂直于平面，则它垂直于平面内所有直线。 面面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直；性质：一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理是几何法作二面角平面角的依据：平面内一条直线垂直于斜线在该平面内的射影，则它垂直于该斜线。 【例题精讲】 1．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．任意 【答案】C 【详解】必须是平面内两条相交直线；只垂直于一条直线、或垂直于两条平行直线都不能判定线面垂直。故选：C。 2．若直线 垂直于平面 ，则 与 内任意一条直线（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．异面 【答案】B 【详解】由线面垂直的定义， 垂直于平面内的所有直线。故选：B。 3．在正方体 中，棱 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．斜交 C． 在该平面内 D．垂直 【答案】D 【详解】 且 ，、 是平面 内两条相交直线，故 平面 。故选：D。 【变式训练】 1．过一点垂直于已知平面的直线有（　　） A． 条 B． 条 C．无数条 D． 条 【答案】D 【详解】过一点有且只有一条直线垂直于已知平面。故选：D。 2．若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条与该平面的位置关系是（　　） A．也垂直于该平面 B．平行于该平面 C．在该平面内 D．无法确定 【答案】A 【详解】由线面垂直的性质，平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面。故选：A。 3．平面与平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条______，则这两个平面垂直（　　） A．平行线 B．交线 C．垂线 D．斜线 【答案】C 【详解】一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直，这是面面垂直的判定定理。故选：C。 4．在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．重合 【答案】B 【详解】 平面 ，且 平面 ，由判定定理两平面垂直。故选：B。 5．若平面 垂直于平面 ，，在 内作垂直于 的直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．斜交 C．垂直 D． 在 内 【答案】C 【详解】由面面垂直的性质定理，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，故 。故选：C。 6．三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在该平面内的______垂直，那么它也和这条斜线垂直（　　） A．本身 B．垂线 C．交线 D．射影 【答案】D 【详解】三垂线定理的核心是'垂直于射影就垂直于斜线'。故选：D。 【巩固练习】 1．若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的______条直线．　　　　 【答案】无数 【详解】垂直于平面内所有直线，有无数条。故答案为：无数。 2．在正方体中，与平面 垂直的平面共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【详解】四个侧面都与底面垂直，共 个。故选：A。 3．过一点与已知平面垂直的平面有______个．　　　　 【答案】无数 【详解】过该点作已知平面的垂线，过这条垂线的平面有无数个，它们都与已知平面垂直。故答案为：无数。 4．若 垂直于平面 ， 垂直于平面 ，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．相交 C．平行 D．异面 【答案】C 【详解】垂直于同一平面的两条直线互相平行。故选：C。 5．在正方体 中，棱 与平面 内的直线所成角的最小值为______度．　　　　 【答案】 【详解】 垂直于底面，与底面内所有直线都成 。故答案为：。 6．若平面 垂直于平面 ，则 内的直线与 的位置关系可能是（　　） A．一定垂直 B．平行、相交、垂直都有可能 C．一定平行 D．一定在 内 【答案】B 【详解】 内平行于交线的直线平行于 ，垂直于交线的直线垂直于 ，其余与 相交，三种都可能。故选：B。 7．若一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，则该直线与 的位置关系是______．　　　　 【答案】垂直 【详解】由线面垂直的判定定理，该直线垂直于平面 。故答案为：垂直。 8．已知直线 垂直于平面 ，直线 ，则 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 垂直于平面内所有直线，故与 所成角为 。故选：B。 题型五　平行与垂直关系的综合证明（转化链） 【方法与技巧】 综合证明要按'定理条件逐条列'书写，阅卷按点给分，跳步即失分。 常用转化链：线线平行 线面平行 面面平行；线线垂直 线面垂直 面面垂直。 线面角的范围是 ，它是直线与平面内所有直线所成角中最小的那一个。 判定命题真假时，脑子里先准备反例：正方体几乎能给出立体几何里所有反例。 【例题精讲】 1．设 、 是两条直线， 是一个平面，下列命题中正确的是（　　） A．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 平行于 或 在 内 B．若 平行于 ， 垂直于 ，则 垂直于 C．若 平行于 ， 平行于 ，则 平行于 D．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 垂直于 【答案】A 【详解】 时， 垂直于 内所有直线； 说明 平行于 内某直线，故 或 ；B、C、D 均可用正方体举出反例，A 正确。故选：A。 2．若平面 平行于平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【详解】两平行平面无公共点，故分属两平面的直线也无公共点，只能平行或异面。故选：C。 3．已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若 平行于 ， 平行于 ，则 平行于 B．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 平行于 C．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 平行于 D．若 平行于 ， 垂直于 ，则 垂直于 【答案】D 【详解】平行于同一直线的两直线平行，故由 ， 得 ，D 正确；A 中 、 还可以相交或异面；B 中 还可能落在 内；C 中 还可能落在 内。故选：D。 【变式训练】 1．若直线 垂直于平面 ，直线 平行于平面 ，则 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 说明 的方向平行于 内某直线，而 ，故 ，所成角为 。故选：B。 2．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方向为 与 ，，故 。故选：C。 3．若平面 平行于平面 ，平面 垂直于 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．无法确定 【答案】B 【详解】 且 ，则 也垂直于 。故选：B。 4．已知直线 与平面 所成角为 ，则 与 内所有直线所成角的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】线面角就是直线与平面内所有直线所成角中最小的那个，故最小值为 。故选：A。 5．两条异面直线的公垂线有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条 【答案】A 【详解】两条异面直线的公垂线（同时与两者垂直且相交）有且只有一条。故选：A。 6．若平面 平行于 ，直线 垂直于 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B． 在 内 C．垂直 D．斜交 【答案】C 【详解】垂直于两平行平面之一的直线必垂直于另一个，故 。故选：C。 【巩固练习】 1．若直线与平面所成角为 ，则该直线与平面的位置关系是平行或在______．　　　　 【答案】平面内 【详解】线面角为 时直线平行于平面或在平面内。故答案为：平面内。 2．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方向为 与 ，，故 。故选：B。 3．若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是______平行（填一定或不一定）．　　　　 【答案】不一定 【详解】与同一平面成等角的两条直线可以相交、平行或异面。故答案为：不一定。 4．直线与平面所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】线面角包含平行（）与垂直（）两种极端情形，范围是 。故选：C。 5．在正方体中，与一条棱垂直的平面共有______个．　　　　 【答案】 【详解】以该棱两个端点为顶点的两个端面都与这条棱垂直。故答案为：。 6．若直线 平行于平面 ，直线 垂直于 ，则 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 的方向平行于 内某直线，故 ，所成角为 。故选：A。 7．两个平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面______．　　　　 【答案】垂直 【详解】由面面垂直的性质定理，该直线垂直于另一个平面。故答案为：垂直。 8．下列关于平面与平面平行的判定，正确的是（　　） A．一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，则两平面平行 B．两个平面都平行于同一条直线，则两平面平行 C．两个平面都垂直于同一个平面，则两平面平行 D．一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行 【答案】D 【详解】面面平行判定定理要求“两条相交直线”；A 少了相交条件，B、C 均有反例（如相邻的两面墙都垂直于地面），D 正确。故选：D。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．空间中不共线的三点可以确定平面的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不共线的三点确定唯一一个平面。故选：B。 2．在正方体中，与一条棱异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】D 【详解】 条。故选：D。 3．在正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 与 的方向分别为 与 ，互相垂直。故选：A。 4．用线面平行的判定定理时，需要已知直线平行于平面内的（　　） A．两条相交直线 B．无数条直线 C．所有直线 D．一条直线，且该直线不在此平面内 【答案】D 【详解】判定定理为“平面外一条直线平行于平面内一条直线”，D 正确。故选：D。 5．若直线 垂直于平面 ，直线 垂直于平面 ，则 与 （　　） A．垂直 B．相交 C．平行 D．异面 【答案】C 【详解】垂直于同一平面的两条直线互相平行。故选：C。 6．在正方体 中，与平面 平行的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】B 【详解】上底面四条棱都与下底面平行。故选：B。 7．两个不重合平面的位置关系共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【详解】平行或相交，共 种。故选：B。 8．若平面 垂直于平面 ，则 内垂直于交线的直线与 （　　） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．在 内 【答案】C 【详解】由面面垂直的性质定理，该直线垂直于 。故选：C。 【多项选择题】 9．关于平面的基本性质，下列说法正确的有（　　） A．不共线的三点确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．两条平行直线确定一个平面 D．空间中任意三个点确定一个平面 【答案】ABC 【详解】A、B、C 都是确定平面的条件；空间中任意三点若共线则不能确定唯一平面，D 错误。故选：ABC。 10．关于异面直线，下列说法正确的有（　　） A．异面直线没有公共点 B．异面直线不共面 C．异面直线所成角的范围是 D．分别位于两个平面内的两条直线一定是异面直线 【答案】ABC 【详解】A、B、C 均正确；分别位于两个平面内的两条直线可能相交或平行，D 错误。故选：ABC。 11．关于直线与平面垂直，下列说法正确的有（　　） A．垂直于平面内两条相交直线的直线垂直于该平面 B．垂直于同一平面的两条直线互相平行 C．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内所有直线 D．若一条直线垂直于平面内的一条直线，则它垂直于该平面 【答案】ABC 【详解】A、B、C 均为线面垂直的判定与性质；D 只垂直一条直线不够，错误。故选：ABC。 【填空题】 12．在正方体中，与一条棱异面的棱共有______条．　　　　 【答案】 【详解】 条。故答案为：。 13．异面直线所成角的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】异面直线所成角取锐角或直角，最大为 。故答案为：。 14．直线与平面所成角的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】线面角包含 与 ，上界为 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题19　空间点、线、面的位置关系 群哥高中数学辅导资料 专题19　空间点、线、面的位置关系 一、核心知识 平面的基本性质 异面直线 异面直线所成角 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判定 线面垂直的判定 面面垂直的判定与性质 三垂线定理 线面角 二、题型精练 题型一　平面的基本性质与共面问题 【方法与技巧】 三个公理要背准：不共线三点确定一个平面；两相交直线确定一个平面；两平行直线确定一个平面。 判断共面的关键是'能否找到一个平面同时包含它们'：两条平行线、两条相交线、一条直线和线外一点，都能确定唯一平面。 两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面；两条异面直线既不平行也不相交，一定不共面。 证明共面常用'先由部分元素确定平面，再证其余元素在该平面内'；证明异面常用反证法。 【例题精讲】 1．下列关于平面的命题中，正确的是（　　） A．不共线的三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．三个平面两两相交必有三条交线 　 　 　 2．空间中三条直线两两相交且不共点，则这三条直线（　　） A．必共面 B．必不共面 C．可能共面也可能不共面 D．必两两平行 　 　 　 3．若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面（　　） A．相交于一条直线 B．平行 C．重合 D．异面 【变式训练】 1．三条直线交于一点，且其中每两条确定一个平面，则一共可以确定平面的个数为（　　） A． B． 或 C． D． 2．空间四点中，若其中有三点共线，则这四点（　　） A．必不共面 B．必共线 C．必共面 D．无法确定 3．一条直线和这条直线外一点可以确定平面的个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 4．两条平行直线可以确定平面的个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 5．两个不重合的平面若有一个公共点，则它们的公共部分是（　　） A．一个点 B．一条过该点的直线 C．一个平面 D．两条直线 6．两两相交且不共点的三条直线可以确定平面的个数为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．空间中不共面的四个点，一共可以确定______个平面．　　　　 2．若直线 上有两个不同的点在平面 内，则（　　） A． B． 与 相交 C．无法确定 D． 3．空间中有 个点，其中任意 点不共面，则一共可以确定______个平面．　　　　 4．两个平面 、 相交于直线 ，若点 且 ，则（　　） A． B． C． 但 D．无法确定 5．三条互相平行的直线最多可以确定______个平面．　　　　 6．下列条件中，能确定一个平面的是（　　） A．空间任意三个点 B．一条直线和该直线上的一个点 C．两条相交直线 D．两条异面直线 7．过一条直线外一点，可以作______条直线与已知直线平行．　　　　 8．若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面（　　） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 题型二　异面直线的判定与所成角 【方法与技巧】 异面直线的判定：过其中一条直线和另一条直线上一点作平面，若另一条直线不在这个平面内且不与该直线相交，则异面。 求异面直线所成角的三步：平移（或补形）把两条异面直线移到同一起点 — 解三角形（或向量夹角）— 取锐角或直角。 异面直线所成角的范围是 ，若算出钝角要取其补角。 正方体是这类题最好的模型：与一条棱异面的棱有 条，与一条面对角线异面的棱有 条。 【例题精讲】 1．在正方体 中，与棱 异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 　 　 　 2．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．在正方体中，与一条体对角线异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 2．空间中两条直线的位置关系共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 3．若直线 与 异面， 与 异面，则 与 的位置关系（　　） A．一定异面 B．一定相交 C．一定平行 D．平行、相交、异面都有可能 4．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 5．异面直线所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在正方体中，与一条棱异面的棱共有______条．　　　　 2．在正方体 中，与面对角线 异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 3．异面直线所成角的最大值为______度．　　　　 4．若两条异面直线都垂直于同一条直线，则这两条异面直线（　　） A．一定平行 B．位置关系不确定 C．一定垂直 D．一定相交 5．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为______度．　　　　 6．在正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 7．在正方体中，与体对角线异面的棱共有______条．　　　　 8．下列关于空间中两条直线的命题，正确的是（　　） A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 B．没有公共点的两条直线一定是平行直线 C．不相交的两条直线一定是异面直线 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 题型三　直线与平面平行的判定与性质 【方法与技巧】 线面平行的判定：平面外一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线平行于此平面。三个条件缺一不可。 线面平行的性质：直线平行于平面，则过该直线的平面与原平面的交线平行于该直线——这是'由线面平行得线线平行'的桥梁。 面面平行的判定：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。 线面平行推不出线线平行，只能推出'平行或异面'；这是常见易错点。 【例题精讲】 1．下列条件中，能判定直线与平面平行的是（　　） A．直线平行于平面内的一条直线，且该直线不在此平面内 B．直线平行于平面内的一条直线 C．直线垂直于平面内的一条直线 D．直线与平面内的一条直线异面 　 　 　 2．若直线 平行于平面 ，则 与平面 内的直线的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 　 　 　 3．在正方体 中，与平面 平行的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 　 　 　 【变式训练】 1．若直线 平行于平面 ，且 平行于直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．一定平行 B．一定在平面内 C．一定相交 D．平行或在平面内 2．过平面外一点，与该平面平行的直线有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条 3．在正方体中，与平面 平行的平面共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 4．若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线（　　） A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．相交 5．若直线 平行于平面 ， 在平面 内，且 ，则 与 （　　） A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面 6．在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，则 与平面 的位置关系是（　　） A．相交 B． 在该平面内 C．无法确定 D．平行 【巩固练习】 1．若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系是平行或______．　　　　 2．在正方体中，与平面 平行的面对角线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 3．过平面外一点，与该平面平行的直线有______条．　　　　 4．下列条件中，能保证直线 与平面 平行的是（　　） A． 平行于 内的两条相交直线 B． 平行于 内的一条直线 C． 与 内的一条直线异面 D． 垂直于 内的一条直线 5．在正方体 中，与平面 平行的平面有______个．　　　　 6．若平面 平行于平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．相交 B． 在 内 C．平行 D．无法确定 7．两个平行平面之间的距离处处______．　　　　 8．已知直线 、 和平面 ，若 平行于 ， 平行于 ，则 与 的位置关系是（　　） A．一定平行 B．一定异面 C．一定相交 D．平行、相交、异面都有可能 题型四　直线与平面垂直、平面与平面垂直（含三垂线定理） 【方法与技巧】 线面垂直的判定：一条直线垂直于平面内两条相交直线，则该直线垂直于此平面；只垂直一条不够。 线面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行；一条直线垂直于平面，则它垂直于平面内所有直线。 面面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直；性质：一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理是几何法作二面角平面角的依据：平面内一条直线垂直于斜线在该平面内的射影，则它垂直于该斜线。 【例题精讲】 1．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．任意 　 　 　 2．若直线 垂直于平面 ，则 与 内任意一条直线（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．异面 　 　 　 3．在正方体 中，棱 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．斜交 C． 在该平面内 D．垂直 　 　 　 【变式训练】 1．过一点垂直于已知平面的直线有（　　） A． 条 B． 条 C．无数条 D． 条 2．若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条与该平面的位置关系是（　　） A．也垂直于该平面 B．平行于该平面 C．在该平面内 D．无法确定 3．平面与平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条______，则这两个平面垂直（　　） A．平行线 B．交线 C．垂线 D．斜线 4．在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．重合 5．若平面 垂直于平面 ，，在 内作垂直于 的直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．斜交 C．垂直 D． 在 内 6．三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在该平面内的______垂直，那么它也和这条斜线垂直（　　） A．本身 B．垂线 C．交线 D．射影 【巩固练习】 1．若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的______条直线．　　　　 2．在正方体中，与平面 垂直的平面共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．过一点与已知平面垂直的平面有______个．　　　　 4．若 垂直于平面 ， 垂直于平面 ，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．相交 C．平行 D．异面 5．在正方体 中，棱 与平面 内的直线所成角的最小值为______度．　　　　 6．若平面 垂直于平面 ，则 内的直线与 的位置关系可能是（　　） A．一定垂直 B．平行、相交、垂直都有可能 C．一定平行 D．一定在 内 7．若一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，则该直线与 的位置关系是______．　　　　 8．已知直线 垂直于平面 ，直线 ，则 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 题型五　平行与垂直关系的综合证明（转化链） 【方法与技巧】 综合证明要按'定理条件逐条列'书写，阅卷按点给分，跳步即失分。 常用转化链：线线平行 线面平行 面面平行；线线垂直 线面垂直 面面垂直。 线面角的范围是 ，它是直线与平面内所有直线所成角中最小的那一个。 判定命题真假时，脑子里先准备反例：正方体几乎能给出立体几何里所有反例。 【例题精讲】 1．设 、 是两条直线， 是一个平面，下列命题中正确的是（　　） A．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 平行于 或 在 内 B．若 平行于 ， 垂直于 ，则 垂直于 C．若 平行于 ， 平行于 ，则 平行于 D．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 垂直于 　 　 　 2．若平面 平行于平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 　 　 　 3．已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若 平行于 ， 平行于 ，则 平行于 B．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 平行于 C．若 垂直于 ， 垂直于 ，则 平行于 D．若 平行于 ， 垂直于 ，则 垂直于 　 　 　 【变式训练】 1．若直线 垂直于平面 ，直线 平行于平面 ，则 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 2．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 3．若平面 平行于平面 ，平面 垂直于 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．无法确定 4．已知直线 与平面 所成角为 ，则 与 内所有直线所成角的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．两条异面直线的公垂线有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条 6．若平面 平行于 ，直线 垂直于 ，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B． 在 内 C．垂直 D．斜交 【巩固练习】 1．若直线与平面所成角为 ，则该直线与平面的位置关系是平行或在______．　　　　 2．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 3．若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是______平行（填一定或不一定）．　　　　 4．直线与平面所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．在正方体中，与一条棱垂直的平面共有______个．　　　　 6．若直线 平行于平面 ，直线 垂直于 ，则 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 7．两个平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面______．　　　　 8．下列关于平面与平面平行的判定，正确的是（　　） A．一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，则两平面平行 B．两个平面都平行于同一条直线，则两平面平行 C．两个平面都垂直于同一个平面，则两平面平行 D．一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．空间中不共线的三点可以确定平面的个数为（　　） A． B． C． D． 2．在正方体中，与一条棱异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 3．在正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 4．用线面平行的判定定理时，需要已知直线平行于平面内的（　　） A．两条相交直线 B．无数条直线 C．所有直线 D．一条直线，且该直线不在此平面内 5．若直线 垂直于平面 ，直线 垂直于平面 ，则 与 （　　） A．垂直 B．相交 C．平行 D．异面 6．在正方体 中，与平面 平行的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 7．两个不重合平面的位置关系共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 8．若平面 垂直于平面 ，则 内垂直于交线的直线与 （　　） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．在 内 【多项选择题】 9．关于平面的基本性质，下列说法正确的有（　　） A．不共线的三点确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．两条平行直线确定一个平面 D．空间中任意三个点确定一个平面 10．关于异面直线，下列说法正确的有（　　） A．异面直线没有公共点 B．异面直线不共面 C．异面直线所成角的范围是 D．分别位于两个平面内的两条直线一定是异面直线 11．关于直线与平面垂直，下列说法正确的有（　　） A．垂直于平面内两条相交直线的直线垂直于该平面 B．垂直于同一平面的两条直线互相平行 C．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内所有直线 D．若一条直线垂直于平面内的一条直线，则它垂直于该平面 【填空题】 12．在正方体中，与一条棱异面的棱共有______条．　　　　 13．异面直线所成角的取值范围是 ______．　　　　 14．直线与平面所成角的取值范围是 ______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $