第30讲 空间点、直线、平面之间的位置关系专项训练-2027届高三数学一轮复习

第30讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 线面平行的判定与性质 （重） 2 题型02 面面平行的判定与性质 （重） 6 题型03 线面垂直的判定与性质 重难 9 题型04 面面垂直与推论 重难 11 题型05 异面直线的判定与所成角 重难 13 题型06 最小角定理 重难 14 重难·创新演练 17 真题·实战演练 20 模拟·基础演练 考查重点：线面平行、面面平行与线面垂直的判定 考点聚焦：线面平行的判定定理与性质定理 ▶ 题型01 线面平行的判定与性质 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）已知 ，，，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【分析】两不同平面内的直线可能平行也可能异面。 【详解】由面面平行的性质，，； 两线共面则平行，不共面则异面．故选 D． 2．（2026·山西太原·二模）已知 ，且 内有两条相交直线 与 都平行于 ，，，则（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】先证 ，再套线面平行的判定。 【详解】由 ， 且两线共面，得 ； 又 ，， 由线面平行的判定定理得 ，选 C． 3．（2026·河南郑州·一模）若直线 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】线面平行时平面内直线与之平行或异面。 【详解】由 知 与平面 无公共点； 若 与 共面则两线平行，否则异面，故选 C． 4．（2026·湖北武汉·二模）已知 ，，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】由面面平行的性质判断。 【详解】由面面平行的性质，，； 两线共面则平行，否则异面，故选 C． 5．（2025·安徽合肥·二模）下列命题中正确的是（　　） A．平面内的一条直线与另一个平面平行，则两平面平行 B．平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行 C．平面内的两条平行直线都平行于另一个平面，则两平面平行 D．一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面平行 【答案】B 【分析】判定定理要求“面内两条相交直线”。 【详解】B 是面面平行的判定定理，正确； A 与 C 都不满足“相交”这一条件，错误； D 是一平面经过另一平面的垂线时两平面垂直，错误．故选 B． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知三棱锥 中， 平面 ，，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点到平面的距离就是垂线段的长。 【详解】 平面 ， 为垂足，点 到平面 的距离为 ，选 C． 7．（2026·山东淄博·三模）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】C 【分析】垂直于同一平面的两条直线平行；其余选项可举反例。 【详解】垂直于同一个平面的两条直线互相平行，C 正确； A 中 可能相交或异面； B 中当 平行于 与 的交线时，两平面可以相交； D 中应有 ． 故选 C． 8．（2026·江苏淮安·二模）已知直线 与平面 ，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，，则 D．若 ，，，，则 【答案】C 【分析】线面平行的判定需“平面外一条直线与平面内一条直线平行”，注意前提 。 【详解】C 中由 ， 知 与 无公共点（否则 与 有公共点），又 ，故 ，C 正确； A 中 可能在 内； B 中 与 可能异面； D 中 可能平行，此时两平面可以相交． 故选 C． 9．（2026·湖北襄阳·三模）在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为 的中点，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．直线 在平面 内 D．无法确定 【答案】A 【分析】连 交 于 ，利用中位线 判定线面平行。 【详解】设 ，由底面为平行四边形知 是 的中点． 又 是 的中点，故在三角形 中 ． 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，选 A． 10．（2026·河北衡水·二模）在正方体 中，下列平面与直线 平行的是（　　） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】寻找平面内与 平行的直线： 且相等，故 为平行四边形。 【详解】因为 且 ，所以四边形 是平行四边形， 故 ． 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，选 D． （其余三个平面都与直线 有公共点．） 11．（2026·福建龙岩·三模）在正方体 中， 分别是棱 的中点，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．直线 在平面内 D．无法确定 【答案】B 【分析】，而 平面 ，用线面平行判定定理。 【详解】在三角形 中， 分别是 的中点，故 ． 又 且 ，四边形 为平行四边形， 所以 ，从而 ． 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，选 B． 12．（2026·湖南常德·二模）在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，则过 三点的平面截该正方体所得截面是（　　） A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．五边形 【答案】B 【分析】先确定截面与各棱的交点，再判断四边形的边是否两两相等。 【详解】设截面与棱 交于点 ．由平面与两平行平面 、 的交线平行，得 ； 同理 ，故截面 是平行四边形． 以 为原点建系，则 ，， ，， 邻边相等，故截面 是菱形，选 B． 考点聚焦：面面平行的判定与“推平行”转化 ▶ 题型02 面面平行的判定与性质 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）关于空间中的平行关系，下列说法正确的是（　　） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行 C．若平面 ，则 内任意直线都平行于 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】ABC 【分析】本题属于基础题。 【详解】A 正确； B 是面面平行的判定定理，正确； C 是面面平行的性质，正确； D 中两条直线必须共面且垂直于同一直线才平行，错误．故选A BC． 2．（2026·浙江温州·二模）若直线 垂直于平面 ，，则（　　） A． B． C． D． 与 一定相交但不垂直 【答案】A 【分析】由线面垂直的性质定理。 【详解】由性质定理， 垂直于平面 内任意一条直线，故 ； 不代表 ，故 C 错误； 与 的关系是垂直，不是相交，故 D 错误．故选 A． 3．（2026·四川成都·二模）若 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 内垂直于 的直线垂直于 B． 内任意一条直线都垂直于 C． 内垂直于 的直线垂直于 D． 内平行于 的直线垂直于 【答案】AC 【分析】面面垂直的性质是对称的两个方向。 【详解】A、C 都是面面垂直的性质定理，正确； B 中“任意一条”应为“垂直于交线的”，错误； D 中平行于交线的直线与 平行而非垂直，错误．故选 AC． 4．（2025·广东广州·三模）关于空间中的垂直关系，下列说法正确的是（　　） A．一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线垂直于这个平面 B．一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于这个平面 C．一条直线与平面内的两条平行直线垂直，则该直线垂直于这个平面 D．两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面 【答案】BD 【分析】判定定理与推论的表述要完整。 【详解】 A 缺少“面内两条相交”这一条件，错误； B 是线面垂直的判定定理，正确； C 中两条平行直线不能作为判定条件，错误； D 是线面垂直的推论，正确．故选 BD． 5．（2026·山东济宁·三模）设 ， 是两条不同的直线，则（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 【答案】AB 【分析】两平面平行时，一个平面内的直线平行于另一平面；垂直于其中一个平面的直线也垂直于另一个。 【详解】由 且 知 与 无公共点，故 ，A 正确； 垂直于两平行平面中一个的直线必垂直于另一个，B 正确； C 中 与 可能异面，C 错误； D 中 可能平行于 却位于 内，D 错误． 故选 AB． 6．（2026·浙江台州·二模）设 是两个不同的平面， 为直线，下列条件中能推出 的是（　　） A． 内有两条相交直线都平行于 B． 内有无数条直线都平行于 C． 且 D． 内任意一条直线都平行于 【答案】ACD 【分析】面面平行的判定必须是“两条相交直线”，无数条平行直线未必相交。 【详解】A 是面面平行的判定定理，正确； B 中若这无数条直线互相平行（如 内平行于交线的所有直线），两平面仍可相交，错误； C 中垂直于同一直线的两个平面平行，正确； D 中 内任一直线都平行于 ，特别地取两条相交直线即满足 A 的条件，正确． 故选 ACD． 7．（2026·江西宜春·三模）设 ，平面 与 分别交于直线 ，则（　　） A． B．若 ，则 C． 与 可能相交 D．若 ，则 【答案】ABD 【分析】两个平行平面被第三个平面所截，交线平行；垂直于两平行平面之一的平面也垂直于另一个。 【详解】 同在平面 内，又分别在平行的平面 内，故 与 无公共点，，A 正确、C 错误； 由“垂直于两平行平面中一个的平面必垂直于另一个”知 B、D 均正确． 故选 ABD． 8．（2026·四川乐山·二模）在棱长为 的正方体 中，已知平面 平面 ，则（　　） A． 平面 B． 平面 C．平面 与平面 的距离为 D．三棱锥 的体积为 【答案】ABC 【分析】以 为原点建系，写出两平面的方程（法向量均为 ），再逐项判断。 【详解】建系得 ，，，，，，． 平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，两法向量均为 ，故两平面平行． A：，，且点 不在平面 内，故 平面 ，正确； B： 即为平面 的法向量，故 平面 ，正确； C：两平行平面间的距离 ，正确； D：底面 的面积为 ，点 到该平面的距离为 ， 故 ，错误． 故选 ABC． 考点聚焦：线面垂直的判定与线线垂直的转化 ▶ 题型03 线面垂直的判定与性质 一、填空题 1．（2026·福建厦门·二模）已知 ，，，则 与平面 的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】这就是线面平行的定义。 【详解】直线与平面没有公共点即平行； 已知 ，说明两者没有公共点，故为平行． 2．（2026·山东济南·三模）若平面 经过平面 的垂线，则 与 的位置关系是________． 【答案】垂直 【分析】面面垂直的判定定理。 【详解】一个平面经过另一个平面的垂线时， 这两个平面垂直． 3．（2025·江西南昌·二模）若 ，，则 内的直线与 的位置关系是________． 【答案】垂直或平行 【分析】由面面垂直的性质判断。 【详解】 内的直线若垂直于 则与 垂直； 若平行于 则与 平行； 所以所求为垂直或平行． 4．（2025·河北唐山·二模）已知三棱锥 中， 平面 ，，，，则三棱锥 的体积为________． 【答案】 【分析】底面积乘高的三分之一。 【详解】， 高为 ， ． 5．（2025·重庆·三模）若两个相交平面 、 都垂直于平面 ，则 与 的交线与 的位置关系是________． 【答案】垂直 【分析】套线面垂直的推论。 【详解】两个相交平面都垂直于第三个平面， 6．（2026·福建三明·二模）若直线 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是________． 【答案】垂直 【分析】线面垂直的定义：直线垂直于平面内任意一条直线。 【详解】由线面垂直的定义， 垂直于平面 内的每一条直线， 故 ，即 与 的位置关系是垂直（可以相交，也可以异面）． 7．（2026·安徽淮南·三模）在三棱锥 中， 平面 ，，，，，则 ________． 【答案】 【分析】先由 、 得 ，再在直角三角形 中求 。 【详解】因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ，，故 平面 ，从而 ． 在直角三角形 中，， 在直角三角形 中，． 8．（2026·河南开封·二模）在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面边长为 ，则 与平面 所成角的大小为________． 【答案】 【分析】侧棱垂直于底面，故 是 在底面上的射影，所求角为 。 【详解】因为 平面 ，所以 是 在平面 内的射影， 即为 与平面 所成的角． 在直角三角形 中，， 故 ，． 9．（2026·贵州遵义·三模）在正方体 中，与平面 垂直的棱共有________条． 【答案】4 【分析】侧棱垂直于底面，正方体共 条侧棱。 【详解】正方体中垂直于底面 的棱是四条侧棱 ， 其余 条棱都在底面内或与底面平行，故共有 条． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）已知平面 平面 ，，直线 ，，则 与 的位置关系是________． 【答案】垂直 【分析】面面垂直的性质定理：一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 【详解】由平面与平面垂直的性质定理，，，，， 可得 ，即 与 垂直． 则它们的交线垂直于第三个平面． 考点聚焦：面面垂直的判定与性质定理的双向使用 ▶ 题型04 面面垂直与推论 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 ，． (1) 证明：平面 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) 见证明　(2) 【分析】由面面垂直的判定证平行垂直；距离用体积法。 【详解】(1) 因为 平面 ， 所以 ，， 从而 平面 ； 又 平面 ，平面 经过平面 的垂线， 由面面垂直的判定定理得平面 平面 ； (2) 由 (1) 知平面 平面 ，交线为 ； 在平面 内作 于 ，则 平面 ， 所以点 到平面 的距离为 ； 在直角三角形 中，，， ． 2．（2026·全国·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，，， 平面 ，． (1) 求证：平面 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离． 【答案】(1) 见解析；(2) $1$ 【分析】用线面垂直推出面面垂直；$BC⊥$ 平面 $PAB$，故 $C$ 到该平面的距离就是 $BC$。 【详解】(1) 因 $PA⊥$ 平面 $ABCD$，故 $PA⊥AB$，$PA⊥AD$；又 $ABCD$ 是矩形，$AB⊥AD$． 于是 $AD⊥AB$，$AD⊥PA$，得 $AD⊥$ 平面 $PAB$．而 $AD⊂$ 平面 $PAD$，所以平面 $PAB⊥$ 平面 $PAD$． (2) 因 $BC⊥AB$，$BC⊥PA$，故 $BC⊥$ 平面 $PAB$，所以点 $C$ 到平面 $PAB$ 的距离等于 $BC=1$． 3．（2026·云南保山·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，， 为 的中点． (1) 证明： 平面 ； (2) 证明：平面 平面 ． 【答案】证明见解析 【分析】(1) 连 交 于 ，用中位线 ；(2) 先证 平面 ，再由面面垂直判定定理。 【详解】(1) 设 ，由底面是正方形知 为 的中点． 又 为 的中点，故在三角形 中 ． 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． (2) 因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又底面是正方形，故 ． 而 ， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 平面 ，所以平面 平面 ． 4．（2026·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中，，，． (1) 证明： 平面 ； (2) 证明：平面 平面 ； (3) 求该三棱柱的体积． 【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 【分析】(1) 需两条相交直线与 垂直，取 与 ；(2) 由面面垂直判定定理；(3) 底面积乘侧棱长。 【详解】(1) 由 得 ． 因为 是直三棱柱， 平面 ， 平面 ， 所以 ． 又 ， 平面 ， 故 平面 ． (2) 由 (1) 知 平面 ，而 平面 ， 由面面垂直的判定定理得平面 平面 ． (3) 底面是直角边长为 的等腰直角三角形，， 故 ． 考点聚焦：平移作角，再用余弦定理或坐标求角 ▶ 题型05 异面直线的判定与所成角 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）在正方体 中， 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系用坐标求，注意异面直线所成角取锐角。 【详解】以 为原点建系，棱长为 ，则 ，，，． ，， ， 故所成角为 ． 故选 C． 2．（2025·山东青岛·二模）棱长为 的正四面体中，两条相对棱所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正四面体相对棱互相垂直，可用向量验证。 【详解】设正四面体 ，取 ，，， 则 ． ， 故两相对棱互相垂直，所成角为 ． 故选 D． 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）关于异面直线，下列说法正确的是（　　） A．不同在任何一个平面内 B．所成角的范围是 C．可用平移法把角转化到同一平面内求 D．两条异面直线一定垂直 【答案】ABC 【分析】按定义与求法逐项判断。 【详解】异面直线的定义就是不同在任何一个平面内，A 正确； 所成角规定为锐角或直角，B 正确； 平移法是求异面直线所成角的基本方法，C 正确； 异面直线只是不相交不平行，不一定垂直，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）在棱长为 的正方体 中， 与 所成角的大小为________． 【答案】 【分析】用坐标计算两条异面直线的方向向量。 【详解】，， ， 故所成角为 ． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）在棱长为 的正方体 中，求 与 所成角的余弦值． (1) 建系并写出两向量的坐标； (2) 用数量积求余弦值． 【答案】 【分析】建系写坐标，用数量积求夹角余弦。 【详解】以 为原点，、、 为坐标轴建系， ，． ． 考点聚焦：cosθ=cosθ₁cosθ₂，斜线与射影所成角最小 ▶ 题型06 最小角定理 一、单选题 1．（2026·河北衡水·三模）一条斜线与平面所成的角为 ，它在平面内的一条射影与平面内某条直线所成角为 ，则该斜线与这条直线所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用最小角定理 。 【详解】， 故 ． 故选 C． 2．（2025·河南郑州·二模）关于斜线与平面内各直线所成的角，下列说法正确的是（　　） A．与射影所成角最小 B．与射影所成角最大 C．都相等 D．与位置无关 【答案】A 【分析】最小角定理的直接结论。 【详解】由最小角定理，斜线与平面内直线所成角中，与射影所成角最小， 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）已知 是平面的斜线， 为斜足， 是 在平面内的射影，，平面内直线 与 成角 ，，则（　　） A． B． C．若 ，则 D． 【答案】ABC 【分析】最小角定理既给出余弦关系，也给出“斜线与射影所成角最小”的大小关系。 【详解】由最小角定理得 A； 因为 ，故 ，即 ，B 正确； 当 时 与 重合，，C 正确； 角度不是简单相加，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西赣州·二模）斜线与平面所成角为 ，该斜线与平面内不过斜足的某直线所成角为 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】最小角定理：与射影所成角最小，恰为线面角。 【详解】由最小角定理， 的最小值就是斜线与平面所成的角， 即 ． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知斜线 与平面 所成角为 ， 为 在 内的射影，平面内直线 与 成 ，求 的余弦值． (1) 写出最小角定理的公式； (2) 代值求余弦． 【答案】 【分析】直接套最小角定理。 【详解】由最小角定理 ． 【答案】(1) 见证明　(2) 【分析】证面面垂直；距离由体积法或投影法求。 【详解】(1) 因为 平面 ， 所以 ； 又底面 是矩形，， 所以 平面 ； 又 平面 ， 由面面垂直的判定定理得平面 平面 ； (2) 由 (1) 知平面 平面 ，两平面交线为 ； 在平面 内作 于 ，则 平面 ， 所以所求距离为 ； 在平面 内，直角三角形 的两直角边 ，， ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：平行与垂直的证明 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知三棱锥 中， 平面 ，则平面 平面 ．下列条件中对此结论不必要的条件是（　　） A． 平面 B． C． D． 平面 【答案】B 【分析】面面垂直判定只需要一条垂线。 【详解】 平面 且 平面 ， 由面面垂直的判定定理直接得平面 平面 ； 其中 并未参与证明，故是不必要条件，选 B． 2．（2026·北京·模拟预测）若 ，，则 内平行于 的直线与 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】A 【分析】由面面垂直的性质，垂直于交线的直线垂直于另一平面。 【详解】由面面垂直的性质， 内垂直于 的直线都垂直于 ； 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）在棱长为 的正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系求平面的法向量，用 。 【详解】以 为原点建系，，，则 ． 平面 内 ，， 设其法向量 ，由 ，，可取 ． 故 ，选 A． 4．（2026·北京丰台·模拟预测）已知二面角 的大小为 ，，， 于点 ， 于点 ，且 ，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以 为 轴、 为原点建系，把 的方向用二面角联系起来。 【详解】以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ，． 取 ，由 的大小为 ， 在过 且垂直于 的平面内，与 方向成 ， 故 ，即 ． 所以 ，选 B． 题中直线与 平行而非垂直， 由线面平行的性质知它平行于 ，选 A． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，，． (1) 证明：平面 平面 ； (2) 求二面角 的余弦值． 【答案】(1) 见解析；(2) $(b)/(√(a^{2}+b^{2}))$ 【分析】$PD⊥$ 底面直接得面面垂直；二面角的平面角为 $∠PAD$。 【详解】(1) 因 $PD⊥$ 平面 $ABCD$，且 $PD⊂$ 平面 $PBD$，所以平面 $PBD⊥$ 平面 $ABCD$． (2) 因 $AB⊥AD$，$AB⊥PD$，故 $AB⊥$ 平面 $PAD$，从而 $AB⊥PA$，$AB⊥AD$， 所以二面角 $P-AB-C$ 的平面角为 $∠PAD$．$tan∠PAD=(PD)/(AD)=(a)/(b)$， 故 $cos∠PAD=(b)/(√(a^{2}+b^{2}))$，即二面角的余弦值为 $(b)/(√(a^{2}+b^{2}))$． 6．（2026·全国·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，， 为 的中点． (1) 证明： 平面 ； (2) 证明：平面 平面 ； (3) 求点 到平面 的距离． 【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 【分析】(1) 且 ；(2) 由 (1) 及面面垂直判定；(3) 建系求平面 的法向量，用点到平面距离公式。 【详解】(1) 因为 ， 为 的中点，所以 ． 又 平面 ， 平面 ，所以 ． 而 ， 平面 ，故 平面 ． (2) 由 (1) 知 平面 ，又 平面 ， 由面面垂直的判定定理得平面 平面 ． (3) 以 为原点， 所在直线分别为 轴，过 且平行于 的直线为 轴建系， 则 ，，，，． ，， 设平面 的法向量 ，由 ，， 可取 ． 又 ，故点 到平面 的距离 ． 【答案】(1) 见证明　(2) 【分析】面面垂直用判定定理；二面角在两个面内分别作棱的垂线。 【详解】(1) 因为 平面 ，所以 ； 又底面 是正方形，； 所以 平面 ； 又 平面 ， 由面面垂直的判定定理得平面 平面 ； (2) 因为 平面 ，所以 ； 又底面是正方形，，所以 ； 这样 与 分别在面 与面 内且都垂直于棱 ， 所以 就是二面角 的平面角； 在直角三角形 中，，， ； 由余弦定义得 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：点线面位置关系的高考真题 1．（2023·全国乙卷·T15）已知 ，，，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【分析】两不同平面内的直线可能平行也可能异面。 【详解】由面面平行的性质，，； 两线共面则平行，不共面则异面．故选 D． 2．（2022·北京卷·T15）若平面 经过平面 的垂线，则（　　） A． B． C． 与 相交但不垂直 D．不能确定 【答案】A 【分析】面面垂直的判定定理。 【详解】一个平面经过另一个平面的垂线时，这两个平面垂直．故选 A． 3．（2021·天津卷·T16）若 ，，则 内的直线与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交 【答案】C 【分析】由面面垂直的性质判断。 【详解】 内的直线垂直于 时两者垂直，平行于 时两者平行； 由面面垂直的性质，垂直于 的直线还垂直于 ．故选 C． 4．（2021·浙江卷·T16）若两个相交平面 、 都垂直于平面 ，则 与 的交线与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】线面垂直的推论。 【详解】两个相交平面都垂直于第三个平面， 5．（2023·全国乙卷·T15 改编）已知 是两条不同的直线， 是一个平面，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】B 【分析】线面垂直时该直线垂直于平面内所有直线， 可平移到平面内再判断。 【详解】 时， 垂直于 内的每一条直线； 过 作平面与 相交于 ，由 得 ，而 ，故 ，B 正确； A 中 可能在 内；C 中 可能相交或异面；D 中 可能在 内． 故选 B． 6．（2022·北京卷·T15 改编）已知平面 平面 ，，直线 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】用面面垂直的性质定理判断充分性，用线面垂直的定义判断必要性。 【详解】充分性：由面面垂直的性质定理，，，，，得 ． 必要性：若 ，而 ，则 ． 故“”是“”的充要条件，选 C． 7．（2021·天津卷·T16 改编）在棱长为 的正方体 中，与棱 异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】从 条棱中排除 本身、与它平行的 条、与它相交的 条。 【详解】正方体共 条棱，其中与 平行的有 共 条， 与 相交的有 共 条， 故与 异面的棱有 条（即 ），选 A． 8．（2021·浙江卷·T16 改编）在棱长为 的正方体 中，点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系写出平面 的方程，再用点到平面距离公式。 【详解】以 为原点建系，，，， 平面 的方程为 ． 点 到该平面的距离 ，选 D． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T16）已知三棱锥 中， 平面 ，，则点 到平面 的距离为________． 【答案】 【分析】点到平面的距离就是垂线段的长。 【详解】 平面 ， 为垂足， 10．（2023·上海卷·T16 改编）在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为________． 【答案】 【分析】用向量夹角公式，注意异面直线所成角取锐角或直角。 【详解】以 为原点建系，，． ， 故两异面直线所成角为 ． 点 到平面 的距离为 ． 三、解答题 11．（2021·浙江卷·T17 改编）如图，在三棱锥 中， 平面 ，． (1) 证明：平面 平面 ； (2) 若 ，，，求三棱锥 的体积． 【答案】(1) 见证明　(2) 【分析】找垂线套面面垂直判定；体积按三分之一底面积乘高。 【详解】(1) 因为 平面 ， 得 ，， 所以 平面 ； 又 平面 ， 由面面垂直的判定定理得平面 平面 ； (2) ，所以 ； 由 平面 知高为 ， ． 12．（2022·江苏卷·T16 改编）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，，， 平面 ，． (1) 求证：平面 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离． 【答案】(1) 见解析；(2) $1$ 【分析】用线面垂直推出面面垂直；$BC⊥$ 平面 $PAB$，故 $C$ 到该平面的距离就是 $BC$。 【详解】(1) 因 $PA⊥$ 平面 $ABCD$，故 $PA⊥AB$，$PA⊥AD$；又 $ABCD$ 是矩形，$AB⊥AD$． 于是 $AD⊥AB$，$AD⊥PA$，得 $AD⊥$ 平面 $PAB$．而 $AD⊂$ 平面 $PAD$，所以平面 $PAB⊥$ 平面 $PAD$． (2) 因 $BC⊥AB$，$BC⊥PA$，故 $BC⊥$ 平面 $PAB$，所以点 $C$ 到平面 $PAB$ 的距离等于 $BC=1$． 13．（2021·浙江卷·T17 改编）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，． (1) 证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离． 【答案】(1) 证明见解析；(2) 【分析】(1) 且 ；(2) 建系求平面 的方程，用距离公式。 【详解】(1) 因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ，， 平面 ， 故 平面 ． (2) 以 为原点， 所在直线分别为 轴，过 且平行于 的直线为 轴建系， 则 ，，，． ，， 设平面 的法向量 ，由 ，，可取 ． 故点 到平面 的距离 ． 14．（2022·江苏卷·T16 改编）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，， 平面 ，． (1) 证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离； (3) 求二面角 的大小． 【答案】(1) 证明见解析；(2) ；(3) 【分析】(1) 且 ；(2) 建系求平面 的法向量；(3) 由 平面 知 为二面角的平面角。 【详解】(1) 因为底面 是矩形，所以 ． 又 平面 ， 平面 ，所以 ． 而 ， 平面 ，故 平面 ． (2) 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，． ，， 设平面 的法向量 ，由 ，，可取 ． 故点 到平面 的距离 ． (3) 由 (1) 知 平面 ，故 ，， 所以 是二面角 的平面角． 在直角三角形 中，， 故二面角 的大小为 ． 【答案】(1) 见证明　(2) 【分析】证面面垂直；距离由平面内作垂线段求得。 【详解】(1) 因为 平面 ，所以 ； 又底面是矩形，， 所以 平面 ； 又 平面 ， 由面面垂直的判定定理得平面 平面 ； (2) 由 (1) 知平面 内垂直于 的直线都垂直于平面 ； 在平面 内作 于 ，则 平面 ； 所以所求距离为 ； 在平面 内，，，， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 线面平行的判定与性质 （重） 2 题型02 面面平行的判定与性质 （重） 3 题型03 线面垂直的判定与性质 重难 5 题型04 面面垂直与推论 重难 5 题型05 异面直线的判定与所成角 重难 6 题型06 最小角定理 重难 7 重难·创新演练 8 真题·实战演练 9 模拟·基础演练 考查重点：线面平行、面面平行与线面垂直的判定 考点聚焦：线面平行的判定定理与性质定理 ▶ 题型01 线面平行的判定与性质 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）已知 ，，，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 2．（2026·山西太原·二模）已知 ，且 内有两条相交直线 与 都平行于 ，，，则（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（2026·河南郑州·一模）若直线 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 4．（2026·湖北武汉·二模）已知 ，，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 5．（2025·安徽合肥·二模）下列命题中正确的是（　　） A．平面内的一条直线与另一个平面平行，则两平面平行 B．平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行 C．平面内的两条平行直线都平行于另一个平面，则两平面平行 D．一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面平行 6．（2025·辽宁大连·一模）已知三棱锥 中， 平面 ，，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·山东淄博·三模）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 8．（2026·江苏淮安·二模）已知直线 与平面 ，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，，则 D．若 ，，，，则 9．（2026·湖北襄阳·三模）在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为 的中点，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．直线 在平面 内 D．无法确定 10．（2026·河北衡水·二模）在正方体 中，下列平面与直线 平行的是（　　） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 11．（2026·福建龙岩·三模）在正方体 中， 分别是棱 的中点，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．直线 在平面内 D．无法确定 12．（2026·湖南常德·二模）在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，则过 三点的平面截该正方体所得截面是（　　） A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．五边形 考点聚焦：面面平行的判定与“推平行”转化 ▶ 题型02 面面平行的判定与性质 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）关于空间中的平行关系，下列说法正确的是（　　） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行 C．若平面 ，则 内任意直线都平行于 D．垂直于同一直线的两条直线平行 2．（2026·浙江温州·二模）若直线 垂直于平面 ，，则（　　） A． B． C． D． 与 一定相交但不垂直 3．（2026·四川成都·二模）若 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 内垂直于 的直线垂直于 B． 内任意一条直线都垂直于 C． 内垂直于 的直线垂直于 D． 内平行于 的直线垂直于 4．（2025·广东广州·三模）关于空间中的垂直关系，下列说法正确的是（　　） A．一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线垂直于这个平面 B．一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于这个平面 C．一条直线与平面内的两条平行直线垂直，则该直线垂直于这个平面 D．两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面 5．（2026·山东济宁·三模）设 ， 是两条不同的直线，则（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 6．（2026·浙江台州·二模）设 是两个不同的平面， 为直线，下列条件中能推出 的是（　　） A． 内有两条相交直线都平行于 B． 内有无数条直线都平行于 C． 且 D． 内任意一条直线都平行于 7．（2026·江西宜春·三模）设 ，平面 与 分别交于直线 ，则（　　） A． B．若 ，则 C． 与 可能相交 D．若 ，则 8．（2026·四川乐山·二模）在棱长为 的正方体 中，已知平面 平面 ，则（　　） A． 平面 B． 平面 C．平面 与平面 的距离为 D．三棱锥 的体积为 考点聚焦：线面垂直的判定与线线垂直的转化 ▶ 题型03 线面垂直的判定与性质 一、填空题 1．（2026·福建厦门·二模）已知 ，，，则 与平面 的位置关系是________． 2．（2026·山东济南·三模）若平面 经过平面 的垂线，则 与 的位置关系是________． 3．（2025·江西南昌·二模）若 ，，则 内的直线与 的位置关系是________． 4．（2025·河北唐山·二模）已知三棱锥 中， 平面 ，，，，则三棱锥 的体积为________． 5．（2025·重庆·三模）若两个相交平面 、 都垂直于平面 ，则 与 的交线与 的位置关系是________． 6．（2026·福建三明·二模）若直线 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是________． 7．（2026·安徽淮南·三模）在三棱锥 中， 平面 ，，，，，则 ________． 8．（2026·河南开封·二模）在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面边长为 ，则 与平面 所成角的大小为________． 9．（2026·贵州遵义·三模）在正方体 中，与平面 垂直的棱共有________条． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）已知平面 平面 ，，直线 ，，则 与 的位置关系是________． 考点聚焦：面面垂直的判定与性质定理的双向使用 ▶ 题型04 面面垂直与推论 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 ，． (1) 证明：平面 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离（结果保留根号）． 2．（2026·全国·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，，， 平面 ，． (1) 求证：平面 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离． 3．（2026·云南保山·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，， 为 的中点． (1) 证明： 平面 ； (2) 证明：平面 平面 ． 4．（2026·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中，，，． (1) 证明： 平面 ； (2) 证明：平面 平面 ； (3) 求该三棱柱的体积． 考点聚焦：平移作角，再用余弦定理或坐标求角 ▶ 题型05 异面直线的判定与所成角 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）在正方体 中， 与 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·二模）棱长为 的正四面体中，两条相对棱所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）关于异面直线，下列说法正确的是（　　） A．不同在任何一个平面内 B．所成角的范围是 C．可用平移法把角转化到同一平面内求 D．两条异面直线一定垂直 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）在棱长为 的正方体 中， 与 所成角的大小为________． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）在棱长为 的正方体 中，求 与 所成角的余弦值． (1) 建系并写出两向量的坐标； (2) 用数量积求余弦值． 考点聚焦：cosθ=cosθ₁cosθ₂，斜线与射影所成角最小 ▶ 题型06 最小角定理 一、单选题 1．（2026·河北衡水·三模）一条斜线与平面所成的角为 ，它在平面内的一条射影与平面内某条直线所成角为 ，则该斜线与这条直线所成角为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南郑州·二模）关于斜线与平面内各直线所成的角，下列说法正确的是（　　） A．与射影所成角最小 B．与射影所成角最大 C．都相等 D．与位置无关 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）已知 是平面的斜线， 为斜足， 是 在平面内的射影，，平面内直线 与 成角 ，，则（　　） A． B． C．若 ，则 D． 三、填空题 4．（2025·江西赣州·二模）斜线与平面所成角为 ，该斜线与平面内不过斜足的某直线所成角为 ，则 的最小值为________． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知斜线 与平面 所成角为 ， 为 在 内的射影，平面内直线 与 成 ，求 的余弦值． (1) 写出最小角定理的公式； (2) 代值求余弦． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：平行与垂直的证明 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知三棱锥 中， 平面 ，则平面 平面 ．下列条件中对此结论不必要的条件是（　　） A． 平面 B． C． D． 平面 2．（2026·北京·模拟预测）若 ，，则 内平行于 的直线与 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）在棱长为 的正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·北京丰台·模拟预测）已知二面角 的大小为 ，，， 于点 ， 于点 ，且 ，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，，． (1) 证明：平面 平面 ； (2) 求二面角 的余弦值． 6．（2026·全国·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，， 为 的中点． (1) 证明： 平面 ； (2) 证明：平面 平面 ； (3) 求点 到平面 的距离． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：点线面位置关系的高考真题 1．（2023·全国乙卷·T15）已知 ，，，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 2．（2022·北京卷·T15）若平面 经过平面 的垂线，则（　　） A． B． C． 与 相交但不垂直 D．不能确定 3．（2021·天津卷·T16）若 ，，则 内的直线与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交 4．（2021·浙江卷·T16）若两个相交平面 、 都垂直于平面 ，则 与 的交线与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定 5．（2023·全国乙卷·T15 改编）已知 是两条不同的直线， 是一个平面，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 6．（2022·北京卷·T15 改编）已知平面 平面 ，，直线 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2021·天津卷·T16 改编）在棱长为 的正方体 中，与棱 异面的棱共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 8．（2021·浙江卷·T16 改编）在棱长为 的正方体 中，点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T16）已知三棱锥 中， 平面 ，，则点 到平面 的距离为________． 10．（2023·上海卷·T16 改编）在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为________． 三、解答题 11．（2021·浙江卷·T17 改编）如图，在三棱锥 中， 平面 ，． (1) 证明：平面 平面 ； (2) 若 ，，，求三棱锥 的体积． 12．（2022·江苏卷·T16 改编）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，，， 平面 ，． (1) 求证：平面 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离． 13．（2021·浙江卷·T17 改编）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，． (1) 证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离． 14．（2022·江苏卷·T16 改编）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，， 平面 ，． (1) 证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离； (3) 求二面角 的大小． / 学科网（北京）股份有限公司 $