云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三第六次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第六次学科体验 一、单选题 1.平面向量à，6的夹角为60°，若a=2,=1,则6-(a-)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:4:5,且S,mc=24,则△ABC的最小边长为() A.3 B.6 C.9 D.12 3.已知a>0,b>0,0<c<1,则“a<b<1"是“c°<c°<1"的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 已知事件A与B雅立，且P(4)-=P()=名，则P(a() A B C.7 5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知btan A+btan B=2 ctan B,则A=() A君 B牙 c月 D e*-ex 6.若函数（问=+02x-可为奇函数，则a=（） A.-1 B.1 c D. 京+太=1(a>b>0的焦点分别为R,B,过R的直线与椭圆C交于P,2两点，若 Pg=№，则椭圆c的离心率为() A.② 2 B. 3 C. D.V10 5 5 8.若函数f(x)=xe2a--b(x-1)在R上单调，a,b为实数，则() A.a≥b B.a≤b C.a≥-b D.a≤-b 二、多选题 9.已知一组数据x，为，，xo的平均数为5，方差为4.令y=2x+1(i=1,2,…,10)则下列结论正确的是（) A.数据乃，y2,…,o的平均数为11 B.数据乃，2，，o的方差为16 C.在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D.将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 试卷第1页（共4页） CS扫描全能王 始链3亿人都在用的扫描AP印 10.若函数f)=in(or+pj(4>0,o>0,0≤p≤网图象的-个最高点为年同， 且相邻两条对称轴间的距离为 元，将∫(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x),则() A.A=3 B.w=2 C.f(x)为偶函数 D.g2号的解集为[孕+2a合+2]在e2列 11.对于连续可导函数f(x),定义：若函数f(x)在区间1上满足f'(x)单调递增，则称f(x)在区间1上为下凸函 数：若函数f(x)在区间1上满足(x)单调递减，则称f(x)在区间1上为上凸函数：若f(x)在x左右上凸下凸相 异，称(x,f(x)为f(x)的拐点，则下列说法正确的有() A.函数f(x)=x在R上为下凸函数 B.函数f(x)=x不存在拐点 C.若函数f(x)=(x2+ac不存在拐点，则a的取值范围为[2，+o) D.设函数f(x)=cos®)的横坐标最小的拐点为(x,),横坐标第二小的拐点为(2，y2),则+2<0 三、填空题 12.已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面 积之比为 13.已知抛物线y2=2px,若AB两点在抛物线上，焦点为F,AF=2,BF=4AB=3,则直线AB的斜率为 14.连续抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出点数大于4（即掷出5或6）记为“成功”，掷出点数不大于4（即掷出1， 2,3或4)记为“失败”，若出现连续两次“成功”，则停止抛掷，那么抛掷总次数的数学期望为 四、解答题 15.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=2n+2. (1)证明：{an-1是等比数列： ②设数列6，=n包-，么}的前n项和，证明：工<子 试卷第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 16.把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90°，∠CBD=30°.将△ABC沿BC 翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (1)证明：PB⊥平面PCD: (2)若P,B,C,D在同一个球面上，求该球的半径： (3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. 17.随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司研发了一 款面向工业质检的A1图像识别设备.为确保产品质量，公司对生产的设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相 互独立。己知每台设备的检测结果为优质品的概率为。，为合格品的概率为。，现从该公司生产的设备中随机抽取 3台进行检测. (1)求至少2台是优质品的概率： (2)若每台优质品设备可获利5万元，每台合格品设备可获利3万元，记随机抽取的3台设备共可获利X万元，求X 的分布列、数学期望以及方差. 试卷第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 18.已知双曲线C:苦卡=1a>0b>0)的左焦点为P0,且高心率为5. (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于2的动直线1与C交于P,Q两点，其中点在第三象限，直线PO与C的另 一个交点为R. (i)若△PQR的面积是△PFO的面积的5倍，求直线I的方程： (i)求tan∠PQR的取值范围， 19.已知函数f(x)=(a-x)nx(a∈R) (1)当a=0时，求f(x)在(L,)处的切线方程： (2)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围： (3)若a>0,beR,对任意的x>0,f(x)≤a+b恒成立，求b-2a的最小值. 试卷第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 《云南师大附中2027届高三数学第六次学科体验》参考答案 题号 1 95 8 9 10 答案 B B D D D ABD AD 题号 11 答案 ACD 7.D【详解】 如图所示，设=m,则PFl=3№l=3m,Pg=l2F=4m, 由椭圆定义可知Q+Qg=5m=2a,m号a, 则Ql-号，Pl=2l-g,Pg=Q-号 EIPEI-2g-lPFl-20-3, 则在aPRS中，由余弦定理得cos∠RPR=PF+PE-F -型 2PRPF 2.6.4a 12a2 55 在aPO5中，由余弦定理可得cos∠0P%=Pg+PS-Q5f_ 2PO PF 2.8a.4a 55 即女空化商可得-四，即商心*为 12a2 5 8.D【详解】f)=c2-x02--2bx-)=0-xe2-+2b0), 因为f(x)在R上单调，所以f"(x)无变号零点，则x=1是方程c-+2b=0的解， 故e1+2h=0,即h=2，a-()=a, 令a间=a,则g回1-e,令go-=0,解得a=分x(时，g@小>0，x行和)时，8o<0, 2 所以g回在(》上单调递增，在行+上单调选减，go=8)0,所以a-(0,即a≤-b: a-b=a+-c-, 2 令@)=a+c,h(a)在R上单调递增，无最值，则ab大小不确定，故选：D. 11.ACD 【详解】对于A,f(x)=x2,f"(x)=2x,因为∫'(x)=2x在R上单调递增，由定义，f(x)=x2在R上为下凸函数， 故A正确： 对于B,网=四-宁，令8网-四-写，g因-子当x<0时，因>0，回单莲错，当 9 x>0时，g'(x)<0,f'(x)单调递减.x=0处，左右两侧f'(x)单调性改变，所以(0,0)是拐点，故B错误： 答案第1页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 对于C,fx)=(x2+ac2,f'(x)=2xe*+(x2+ac=(x2+2x+aje,令h(x)=f'(x),得 h(x)=(2x+2)c+(x2+2x+ajc=(x2+4x+a+2）e 因为e>0恒成立，函数f(x)不存在拐点，所以x2+4x+a+2≥0恒成立 由△=16-4(a+2)≤0，得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞)，故C正确： 对于D,f=cos(e),f)=-sin(e）e, 令p()=f),得'()=-csim(c)-ecos(c）e2=-c[sim(e)+ecos(] e2>0,p'()=0→sim(e)+ecos(e)=0→tan(e)=-e. 设t=c>0,方程为tant=-l. 方程m1=的正根依次落在[行（二24… 记最小正根5（经小，第二小正根6（经，2x,0<4<4, 4=c,42=e,月=c0s4,2=c0s12. 4爱cs4<0:6(Ξ2x24>0 由am4=-4→加=-4→si血4=-4os4,结合s如24+c0s24=1, cos 1 o4产1中7，os1=+,同理得co86 V1+号 由0<4<h,得+F<V1+,V+-1+<0, 1 所以乃+y2=C0s4+c0s42= V+攻V+V1+V1+ aN+-V1+巧<0】 即y+2<0,故D正确. 12.② 2 13. 2 14.12 由题可知，弛筑一枚质地均匀的餐子，单次成功的概率为爱行：单次失败的版率为。号 631 设E为从初始状态（无连续成功记录）开始，到出现连续两次成功停止的抛掷总次数的期望： 设E,为从已出现1次成功（未触发停止）的状态开始，到出现连续两次成功停止的抛掷总次数的期望. (1)初始状态：若第一次抛掷失败，已抛掷1次，后续仍从初始状态开始对应期望为1+E: 若第一次抛掷成功，已抛掷1次，后续进入已出现1次成功的状态对应期望为1+E, 答案第2页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 于是E=3(E++0+B),即B=3+8: (2)已出现一次成功的状态分析： 若本次抛掷失败，已抛掷1次，后续回到初始状态，对应期望为1+E: 若本次抛掷成功，已抛掷1次，触发停止条件，无需后续抛掷，对应期望为1： 因此可得方程：=号(E+)+x1=1+号。 [E=3+E E=12 由上述可知， =1+2解得 E=9 3 所以抛掷总次数的数学期望为12. 15(0证明：当a=1时，28+a=2x+2,即34=4，所以a=手 当n22时，2S+an=2(n-1)+2=2n.作差得2Sn+a,-(2S-+an)=2n+2-2n,即3an-a1=2, 整理得360-=a-1,即a-10-)所以a,-是以4-1-号为首项。号为公比的等比数列. ®证由角，4-1写)得则4 a=号满是上式。故a宁+1所以么=0，-)小=行+1-可分 4 1.2 =6++…+6。=+3++ +1 所以=+字+ n 3+2n 3”3 26×3 4×3n 16.(1)证明如下： 二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD,又因为CD⊥BC,CDc平面BCD,平面PBCO平面 BCD=BC,所以CD⊥平面PBC. 又因为PBc平面PBC,所以PB⊥CD.由题意PB⊥PC,CDOPC=C,CD,PCc平面PCD,所以PB⊥平面PCD. (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM, ZA 则OM⊥BC,OMIICD, 因为CD⊥平面PBC,OPc平面PBC,所以CD⊥OP，,所以OM⊥OP, 在△ABC中，PB=PC,O为BC中点，所以OP⊥BC, 以OB,OM,0P为正交基底建立如图所示空间直角坐标系0-2， oaoa2}9af9a￥95j 答案第3页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 设该球的球心坐标为(x,y,z),则 9w6-+ 解得x=0,y=y6 z=0. 8)平面0四的-个法南量为-aa)丽-（识.。2号)而-(550小. -丽=0n∫35x+352=0 设平面PBD的法向量为乃=(x,》,z),则 即{2 2 72·BD=0, -3√2x+V6y=0. 取x=1,得平面PBD的一个法向量为乃=(1，V5,。 乃n1V5 cosn,n= 网方店“了'所以平面P8D与平面BCD所成角的余弦值为5 (注：第三问也可以用几何法) 17.【详解】(1)记5为优质品数目，则5的所有可能取值为0,1,2,3， 则58引.P5=2-c号6}赔Ps=-cj0G-号 所以P传2-Pg=2PG-列-%器测 (2)由(1)，合格品有(3-5)台，依题意，X=55+3(3-)=25+9, 则X的所有可能取值为9,11,13,15， 则P心x-9=P传=0-cgPr-=Pg=小-C8周-嘉 PX==P5=2-第Px=1=PG=列-8。 所以X的分布列为： X 9 11 13 15 1 8 64 512 P 729 243 243 729 由583)海()-3x号-号D()=3x8×g员 9927 所以数学期盟E(X)-B(25+9)-2B()+9-号，方差D(X)-D25+9)=40()-=号 答案第4页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 18【详解11D已知双自线C:号若-a>0,b>0的左焦点为F(-10,因觉c=1, 由离心率定义：-台=6，代入=1可得：a=后方即心-分 又因为c=+,所以8--d=l分安将矿-6-代入双自线方程， 可得到双曲线C的方程为：2x2-2y2=1. (2)()设过点F(-1,0)的直线1的方程为y=k(x+1),(k>2),与双曲线方程联立： )=消去y整理得：2-)2-4x-(2+)=0, 2x2-2y2=1 设P5,）,25,以)，X>0,为<0，由韦达定理得：名+名=20，码= 2k2 2k2+1 2-平②. 由双曲线的中心对称性可知：若直线PO与C的另一个交点为R,则R(-x,一y) e=2ew=2x0rX-以=%-% 又5em=58m,即%-%-5x2=弓，即3%=-2， 又因为y=k(x+1),=k(32+1), 所以3k(x+1)=-2k(x2+1),即3x+3=-2x2-2,即3x+2x2=-5③， 联立@，③可得：5=5-4=-5，」 2k2k2-5k2+5 ®心2京1京2， K2-5k2+52k2+1 所以正20即二5=-2欢+，解得 1-k2 2 k2=49,又因为k>2,所以k=7.故直线1的方程为y=7(x+1),即7x-y+7=0. (i)因为P(x,),2(x22)在双曲线2x2-2y2=1上， 所以有 候猜卡隔-引20--状-小21 x-x x+x 又如=安安a会按所以=引用a君 x-x 由弦长公式得：=+-=1+6-)，网=+十-=+(3-名) P=(x-x,y-2),=(-x,-1-2), 丽=（号-x)+(2-y)=2(-), 答案第5页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp OP.OR 2-) 2k cosOP,OR= 2k 丽 +-)+0(-) ++1+,即cosP0R+ 血∠0R-(m0时-然m∠0R-8---》 cos∠PQR 函数侧--)在>2上是单福港滞画数，当-2时，)-引2-引子 当及→o时，了心因→，因此，mP0R的取值范图为得+ 19【详解】(1)当a=0时，f(x)=-xx,故f(x)=-lr-l,所以f'()=-l,又因为f()=0, 所以切线方程是y=-x+1. (2)由题意得f(x)=-nx+-1,若fx)不存在单调增区间，则-x+2-1s0恒成立(*)， x 即a≤x+恒成立，令g(=x+,g(倒=2+，所以，当0<x宁时g(倒k0,当x>时g(倒>0， 所以8)在0宁司)递减，在，+泗递增，所以g=8e)=-,所以a≤-e, (经检验当a=-c2时，(*)式成立)，因此函数f(x)存在单调递增区间，可知a>-e2: 可知所求实数a的取值范围是ae(-c2,+∞， (3)由(2)知，f(x)=-lx+9-l,令m()=-nx+9-l, 所以m()=士是<0，即m()在(Q+回)上单调递减。 又因为me2)=1+ac2>0,me)=a+号-1<0，所以必存在正数%，使得mk)=-+号-1=0， 故a=x(1+lnx), 由a知当6时s0当时，a=0当4眼如时，a>0, 由上知，f(x)在(0，)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=f()=(a-)n,所以 a+b2(a-xo)Inxo, 即b-2a2(a-x)lnx-3a=x(lnx}-3xlhx。-3x, 令刻-m了-3-3 因为h(x)=(nx}-lnx-6=(nx-3)(tx+2), 所以当x∈(e',e)时，h(x)单调递减，x∈(c',+∞)时，h(x)单调递增， 所以h(x=h(c）=-3c', 因此b-2a的最小值为-3e3, 答案第6页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App