进阶第12讲 双曲线重点题型全归纳 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第12讲 双曲线重点题型全归纳 目 录 题型01 双曲线的轨迹方程 题型02 双曲线中的焦点三角形 题型03 双曲线中的距离最值问题 题型04 双曲线的渐近线 题型05 求双曲线的离心率 题型06 求双曲线离心率的范围 题型07 双曲线的标准方程 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 双曲线的轨迹方程 题型点拨 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于正数的点的轨迹叫做双曲线，其中．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、注意 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以、为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段的垂直平分线． 【典例1】（25-26·四川绵阳）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 题型2 双曲线中的焦点三角形 题型点拨 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 题型3 双曲线中的距离最值问题 题型点拨 与，（为双曲线上一点，，为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 【典例1】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【变式1】（25-26·重庆）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 题型4 双曲线的渐近线 题型点拨 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 【典例1】（25-26·河北邯郸）已知双曲线（）的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 题型5 求双曲线的离心率 题型点拨 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 【典例1】（25-26·江苏宿迁）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 题型6 求双曲线离心率的范围 题型点拨 1、不等式法求离心率范围 （1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 【典例1】（25-26·浙江）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 题型7 双曲线的标准方程 题型点拨 1、待定系数法求双曲线标准方程 2、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 【典例1】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（25-26·天津）已知双曲线 的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 强化训练（共10题） 1．（25-26·河南南阳）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26·云南西双版纳）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26·河南周口）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26·黑龙江鸡西）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 6．（25-26·上海青浦）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 7．（25-26·江西宜春）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 8．（25-26·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 9．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 10．（25-26·湖北）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 知识小测（共5题） 1．（25-26·广西钦州）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26·北京怀柔）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26·陕西西安）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 5．（25-26·重庆）已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（   ） A． B． C． D．或 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 双曲线重点题型全归纳 目 录 题型01 双曲线的轨迹方程 题型02 双曲线中的焦点三角形 题型03 双曲线中的距离最值问题 题型04 双曲线的渐近线 题型05 求双曲线的离心率 题型06 求双曲线离心率的范围 题型07 双曲线的标准方程 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 双曲线的轨迹方程 题型点拨 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于正数的点的轨迹叫做双曲线，其中．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、注意 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以、为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段的垂直平分线． 【典例1】（25-26·四川绵阳）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 【变式1】（25-26·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 题型2 双曲线中的焦点三角形 题型点拨 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 【答案】 12 6 【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 【详解】 根据题意，， 因为， 由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ， 则， 故 故答案为：12；6. 题型3 双曲线中的距离最值问题 题型点拨 与，（为双曲线上一点，，为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 【典例1】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式1】（25-26·重庆）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    题型4 双曲线的渐近线 题型点拨 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 【典例1】（25-26·河北邯郸）已知双曲线（）的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线方程求出两条渐近线的斜率，再利用夹角正切公式得出的值，最后根据双曲线离心率公式求解离心率. 【详解】已知双曲线（），其渐近线方程为， 因为，所以，所以， 计算可得或（舍去）， 双曲线的离心率 所以. 故选：C. 【变式1】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程． 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 题型5 求双曲线的离心率 题型点拨 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 【典例1】（25-26·江苏宿迁）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为. 故选：C. 【变式1】已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得. 故选：B. 题型6 求双曲线离心率的范围 题型点拨 1、不等式法求离心率范围 （1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 【典例1】（25-26·浙江）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范围，从而求解 【详解】由题意得，，， 所以， 又因为双曲线的渐近线的斜率小于，得， 所以，即，得，故C正确. 故选：C. 【变式1】已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用，即，化简即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如图，设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，    则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 故答案为： 题型7 双曲线的标准方程 题型点拨 1、待定系数法求双曲线标准方程 2、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 【典例1】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式1】（25-26·天津）已知双曲线 的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据是边长为的等边三角形，求出和，再根据求解、，即可求得双曲线方程. 【详解】 因为是边长为的等边三角形，所以， ，所以渐近线的斜率， 因为，解得， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 强化训练（共10题） 1．（25-26·河南南阳）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线的方程和得P点坐标，再由P点在C上求出即可由渐近线的定义得解. 【详解】设，因为，，所以直线的方程为， 又，所以，得， 又点P在直线上，所以，则，所以, 所以，解得，故所求渐近线斜率为.    故选：C 3．（25-26·云南西双版纳）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量等式可得，由焦点到渐近距离，结合离心率的意义求得答案. 【详解】设双曲线的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为， 由，得， 则，即，，， 由，得，所以的离心率为. 故选：B 4．（25-26·河南周口）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A.    5．（25-26·黑龙江鸡西）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，设， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 由双曲线定义知，，故， ， 其中， 解得，则，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 故双曲线C的离心率为. 故选：A 6．（25-26·上海青浦）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得. 【详解】 由可得：，如图，设则①， 在中，由余弦定理，，即：② 由①②联立，解得：. 则三角形的面积为. 故答案为：. 7．（25-26·江西宜春）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由题可得四边形为矩形，则，由，结合，求出，再利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 8．（25-26·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 9．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用得的关系式，然后求得离心率范围. 【详解】设直线的方程为，则其与另一条渐近线的交点为，    由为锐角，可得，即， 化简得，，，所以．故离心率的取值范围为． 故答案为： 10．（25-26·湖北）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，于是，转化求解即可． 【详解】由题意可得，，即，则，的坐标分别为，， 由双曲线的定义，得， 又是圆上的点，设圆的圆心为，半径为， 由图可知，， 所以， 当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 知识小测（共5题） 1．（25-26·广西钦州）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程确定且焦点在x轴上，再由双曲线离心率及参数关系确定方程. 【详解】由椭圆方程知：且焦点在x轴上，又双曲线的离心率为，则， 所以，则双曲线的方程是. 故选：D 2．相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设为曲线上任一点， 则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，， ， 点的轨迹方程为． 故选：B 3．（25-26·北京怀柔）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论. 【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于， 即， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件. 故选：C. 4．（25-26·陕西西安）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 5．（25-26·重庆）已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用两直线夹角定义可得渐近线倾斜角的取值，从而可求参数. 【详解】双曲线渐近线方程为， 由两条渐近线的夹角为60°，则渐近线的倾斜角为或 所以斜率或，解得或， 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $