第12讲 双曲线（6大知识点+10大题型）讲义-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第12讲 双曲线 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：双曲线的定义 3 知识点二：双曲线的标准方程 3 知识点三：求双曲线的标准方程 4 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 6 知识点五：双曲线的渐近线 7 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 7 03 题型精讲举一反三 9 题型 1：双曲线定义辨析 9 题型 2：双曲线标准方程求解 9 题型 3：焦点三角形问题 10 题型 4：双曲线轨迹方程求解 11 题型 5：双曲线几何性质应用 13 题型 6：双曲线离心率计算 13 题型 7：离心率取值范围求解 14 题型 8：由离心率求参数范围 15 题型 9：双曲线范围与最值 16 题型 10：双曲线综合应用 17 04 过关测试 20 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 题型 1：双曲线定义辨析 例1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 例2．（2026·高二·天津河西·期末）已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 例3．（2026·高二·浙江嘉兴·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式1．（2026·高二·四川泸州·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式2．（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 题型 2：双曲线标准方程求解 例4．（2026·高二·吉林长春·期末）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例5．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·高二·安徽·阶段检测）若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高三·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 变式4．（2026·湖南·模拟预测）若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型 3：焦点三角形问题 例7．（2026·高三·四川自贡·期末）设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 例8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 例9．（2026·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 变式6．（2026·高二·四川成都·阶段检测）设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 变式7．（2026·高二·天津滨海新区·期中）设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高二·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 题型 4：双曲线轨迹方程求解 例10．（2026·高三·天津·二轮复习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 例12．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高二·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 变式10．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式11．（2026·高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式12．（2026·高二·江西·阶段检测）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式13．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 题型 5：双曲线几何性质应用 例13．（多选题）（2026·高二·陕西商洛·期末）已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线C的离心率 C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到C的渐近线的距离为 例14．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期末）已知双曲线的标准方程为，则（   ） A．其实轴长为2 B．其离心率为 C．其渐近线方程为 D．其焦点到渐近线的距离为 例15．（多选题）（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知曲线，，则（  ） A．与的焦点坐标相同 B．的长轴长为8 C．与的离心率互为倒数 D．的渐近线方程为 变式14．（多选题）（2026·高三·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，的渐近线方程为，是上的动点，则（   ） A．的离心率为 B． C．与直线有交点 D．与双曲线无交点 变式15．（多选题）（2026·高二·江苏盐城·期末）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 题型 6：双曲线离心率计算 例16．（2026·高二·广东珠海·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 例17．（2026·高三·江西南昌·期末）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 例18．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式16．（2026·高二·广东广州·期末）双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 题型 7：离心率取值范围求解 例19．（2026·高二·山东聊城·期末）焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例20．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 例21．（2026·高二·江西南昌·期中）双曲线的右焦点为，点在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率e的范围为（    ） A．(1，＋∞) B．(1，3] C．(2，3] D．(1，2] 变式19．（2026·高二·江西吉安·期末）已知、分别是双曲线的左右焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 变式20．（2026·高二·安徽铜陵·期中）已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为 A． B． C． D． 变式21．（2026·高三·湖北·阶段检测）过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 变式22．（2026·河南漯河·模拟预测）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是 A． B． C． D． 变式23．（2026·安徽淮北·二模）已知是双曲线的右顶点，过左焦点与轴平行的直线交双曲线于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率范围是 A． B． C． D． 题型 8：由离心率求参数范围 例22．（2026·高二·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 例23．（2026·高二·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 例24．（2026·高二·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为______. 变式24．（2026·高三·上海松江·阶段检测）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________. 变式25．已知双曲线C：（，）的左､右焦点为，，离心率为，若过的直线l与圆相切于点T，且l与双曲线C的右支交于点P，则___________. 变式26．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是___________. 题型 9：双曲线范围与最值 例25．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为________． 例26．（2026·高二·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______. 例27．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为_______________． 变式27．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________． 变式28．（2026·高三·江西南昌·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________. 变式29．（2026·高二·辽宁锦州·期末）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为__________. 变式30．设P是双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知，，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________． 变式31．（2026·高三·全国·三轮复习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为______． 变式32．（2026·高二·浙江·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为____________． 题型 10：双曲线综合应用 例28．（2026·高二·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 例29．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 例30．（2026·高二·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 变式33．（2026·高二·上海·期末）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 变式34．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 1．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北衡水·模拟预测）将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·广西南宁·阶段检测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（     ） A．3 B．2 C． D． 6．（2026·高二·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西咸阳·二模）若双曲线的一个焦点到两渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高二·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 9．（多选题）（2026·高二·广东广州·期中）设双曲线的左､右焦点分别为.过的直线与的两条渐近线都相交，交点分别为为的中点，为坐标原点.则（    ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．点到直线的距离为 10．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 11．（2026·高二·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    12．（2026·高二·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 13．（2026·高二·山西长治·阶段检测）已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为________． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 15．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 16．（2026·高二·广西桂林·期中）已知双曲线C的中心在原点，是C的一个顶点，是C的一条渐近线. (1)求C的方程； (2)设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积； (3)若过点的直线与C交于，两点（都异于点），证明：. 17．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 18．（2026·高二·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 双曲线 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：双曲线的定义 3 知识点二：双曲线的标准方程 3 知识点三：求双曲线的标准方程 4 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 6 知识点五：双曲线的渐近线 7 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 7 03 题型精讲举一反三 9 题型 1：双曲线定义辨析 9 题型 2：双曲线标准方程求解 10 题型 3：焦点三角形问题 13 题型 4：双曲线轨迹方程求解 16 题型 5：双曲线几何性质应用 21 题型 6：双曲线离心率计算 23 题型 7：离心率取值范围求解 25 题型 8：由离心率求参数范围 30 题型 9：双曲线范围与最值 34 题型 10：双曲线综合应用 39 04 过关测试 47 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 题型 1：双曲线定义辨析 例1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【解析】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 例2．（2026·高二·天津河西·期末）已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 【答案】A 【解析】因为双曲线方程为，所以，所以， 所以，由双曲线的定义可得，即， 可得或，又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，，所以不成立， 所以， 故选：A. 例3．（2026·高二·浙江嘉兴·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为椭圆和双曲线有相同的焦点， 且点P是它们的一个公共点，不妨设点在第一象限， 根据椭圆和双曲线的定义，可得 ， 平方作差，可得，所以. 故选：D. 变式1．（2026·高二·四川泸州·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】由题意双曲线：的，， 又是上一点，，在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义，得，，解得. 故选：D. 变式2．（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【答案】C 【解析】由题意有：，，， 由双曲线的定义有：，且， 所以，所以或. 故选：C. 题型 2：双曲线标准方程求解 例4．（2026·高二·吉林长春·期末）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，， ，，， 故双曲线的标准方程为. 故选：B. 例5．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即， 因为的离心率是2，所以，即， 所以，故双曲线的标准方程为. 故选：A 例6．（2026·高二·安徽·阶段检测）若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 则双曲线E的顶点为，焦点为， 则双曲线E的标准方程为 故选：D 变式3．（2026·高三·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 变式4．（2026·湖南·模拟预测）若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，所以， 把点的坐标代入方程，得， 所以， 则C的标准方程为， 故选：A 变式5．（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 题型 3：焦点三角形问题 例7．（2026·高三·四川自贡·期末）设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C 例8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A． 例9．（2026·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【解析】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C 变式6．（2026·高二·四川成都·阶段检测）设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 变式7．（2026·高二·天津滨海新区·期中）设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：，设， 由题意可得：且， 两方程联立解得：， 所以. 故选：C 变式8．（2026·高二·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 题型 4：双曲线轨迹方程求解 例10．（2026·高三·天津·二轮复习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 例11．（2026·高二·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 例12．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为. 故选：B 变式9．（2026·高二·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 变式10．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 变式11．（2026·高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 变式12．（2026·高二·江西·阶段检测）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 变式13．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 题型 5：双曲线几何性质应用 例13．（多选题）（2026·高二·陕西商洛·期末）已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线C的离心率 C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到C的渐近线的距离为 【答案】ABD 【解析】双曲线，则、，所以； 对于A：因为点在双曲线的右支上， 所以，故A正确； 对于B：双曲线C的离心率，故B正确； 对于C：双曲线C的渐近线方程为，故C错误； 对于D：点，所以点到C的渐近线的距离，故D正确. 故选：ABD 例14．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期末）已知双曲线的标准方程为，则（   ） A．其实轴长为2 B．其离心率为 C．其渐近线方程为 D．其焦点到渐近线的距离为 【答案】AD 【解析】双曲线的标准方程，则, 所以实轴长为2，A正确； 离心率为，B错误； 渐近线方程为，C错误； 一个焦点为，其到一条渐近线的距离为，D正确. 故选：AD 例15．（多选题）（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知曲线，，则（  ） A．与的焦点坐标相同 B．的长轴长为8 C．与的离心率互为倒数 D．的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】对：， 可知焦点在轴上，其中，，所以. 所以长轴长为，离心率为； 对，可知焦点在轴上，且，， 所以，所以其离心率， 渐近线为. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD 变式14．（多选题）（2026·高三·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，的渐近线方程为，是上的动点，则（   ） A．的离心率为 B． C．与直线有交点 D．与双曲线无交点 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以，又，从而可得， 则的离心率为，故A正确； 由双曲线的定义可得，故B正确； 直线过原点，且斜率为，而双曲线其中一条渐近线方程为，斜率为， 所以与直线无交点，故C不正确； 双曲线为，其渐近线方程为，且其焦点在轴上，所以与双曲线无交点，故D正确. 故选：ABD. 变式15．（多选题）（2026·高二·江苏盐城·期末）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】由双曲线的方程，可得， 已知一个焦点为，故， 根据双曲线性质，代入得，即， 对于A，双曲线焦距为，A正确； 对于B，双曲线实轴长为，B错误； 对于C，离心率，C正确； 对于D，渐近线方程为，整理得，D正确． 题型 6：双曲线离心率计算 例16．（2026·高二·广东珠海·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上，因此. 设焦点，，已知点在双曲线上， 则，， 因此，得. 所以离心率为. 故选：C. 例17．（2026·高三·江西南昌·期末）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解析】由题知，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 因为直线的斜率为，且与渐近线垂直， 所以，，即， 所以双曲线的离心率. 例18．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，所以，即，则. 所以，又双曲线离心率，所以. 变式16．（2026·高二·广东广州·期末）双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，设，则，， 由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：D 题型 7：离心率取值范围求解 例19．（2026·高二·山东聊城·期末）焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意设双曲线的方程为，渐近线为，圆心，半径， 整理渐近线方程得或， 若与圆有公共点， 则有圆心到直线距离，即，， 两边同时平方得，即，， 两边同时除以得，解得，在双曲线中，， 故离心率的取值范围为， 若与圆有公共点， 则有圆心到直线距离，即，， 两边同时平方得，即，， 两边同时除以得，解得，在双曲线中，， 故离心率的取值范围为， 综上，离心率的取值范围为， 故选：A. 例20．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为， 联立两直线方程可得点坐标为. 因为，所以的面积为. 由，得，所以双曲线的离心率为. 例21．（2026·高二·江西南昌·期中）双曲线的右焦点为，点在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 方法一：设左焦点为，由已知， 所以，又， 所以， 因为，由双曲线定义可得， 所以，故双曲线的离心率； 方法二：设点，双曲线的右焦点， 已知，， 由两点间距离公式得，则， 化简得，解得，则， 代入双曲线方程得， 化简整理得，设，解得或（舍去）， ． 变式17．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，设双曲线的实轴长为， 因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形， 则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得， 所以，，则， 设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即， 因为，则，故. 故选：B. 变式18．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率e的范围为（    ） A．(1，＋∞) B．(1，3] C．(2，3] D．(1，2] 【答案】B 【解析】设，则，， 则， ， 因为，所以，即，又，所以，，所以． 故选：B． 变式19．（2026·高二·江西吉安·期末）已知、分别是双曲线的左右焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出，根据可得，再结合可解得结果.因为，由解得，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以，即， 解得，又，所以. 故选：A 变式20．（2026·高二·安徽铜陵·期中）已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据渐近线与圆有公共点得到圆心到渐近线的距离小于等于半径，进而得到关于的关系式，于是可得离心率的范围．由得，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取， ∵渐近线与圆有公共点， ∴，整理得， ∴， 又， ∴ ， ∴双曲线的离心率范围为． 故选C． 变式21．（2026·高三·湖北·阶段检测）过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，易知为双曲线的通径时取值最小， 令，得，则，故，即有最小值为； 当直线与双曲线的交点在两支上，易知直线的斜率为0时，即为实轴时最小，最小为2a； 由题意可得，即为，即有，则离心率, 又双曲线的离心率，故． 故选：A． 变式22．（2026·河南漯河·模拟预测）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆方程中的定长为，双曲线方程中的定长为，由题意可得： ，解得：， 在中应用余弦定理有：， 整理可得：，则：， 结合取特殊值进行排除： 取，此时，排除BD选项， 取，此时，排除C选项， 本题选择A选项. 变式23．（2026·安徽淮北·二模）已知是双曲线的右顶点，过左焦点与轴平行的直线交双曲线于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：,即，选C. 题型 8：由离心率求参数范围 例22．（2026·高二·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 【答案】 【解析】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在中，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以. 例23．（2026·高二·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 例24．（2026·高二·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为______. 【答案】 【解析】如图所示：因为双曲线的离心率，所以，， 设点在双曲线的右支上，由， 可得，， 所以，， 由双曲线定义可得，由勾股定理可得， 所以，可得， 因此的面积为. 故答案为：. 变式24．（2026·高三·上海松江·阶段检测）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】记椭圆，双曲线的半焦距分别为， 由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点， 设，则， ，设，则，解得，即， 又，且，故的取值范围是. 故答案为： 变式25．已知双曲线C：（，）的左､右焦点为，，离心率为，若过的直线l与圆相切于点T，且l与双曲线C的右支交于点P，则___________. 【答案】4 【解析】如图，由题可知，则,， 则， 因为，，所以， 作交于点，因为是的中点， 所以是的中点，所以，， 因为，所以，即， 又， 可得，则， 所以，， 所以. . 故答案为： 变式26．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】设，由题可知，∴. ∴，∴，∴. 又由，可知，∴，解得. ∵，，∴. ∴，依题意，，∴. 故答案为： 题型 9：双曲线范围与最值 例25．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为________． 【答案】 【解析】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为． 故答案为：. 例26．（2026·高二·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______. 【答案】8 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 例27．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为_______________． 【答案】 【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 变式27．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________． 【答案】/ 【解析】由已知可得，，， 所以，，，. 如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 变式28．（2026·高三·江西南昌·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________. 【答案】/ 【解析】由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：. 变式29．（2026·高二·辽宁锦州·期末）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心， 两圆的半径分别为，，易知，， 故的最大值为. 故答案为：5 变式30．设P是双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知，，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】 / 【解析】如图： 设双曲线的另一焦点为，则有，，连接，易知点在双曲线内，点B在双曲线外，则；. 故答案为：；. 变式31．（2026·高三·全国·三轮复习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为______． 【答案】 【解析】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则， 由， 因为，所以， 设，则，． 可得函数在上单调递减，所以，即， 故的最大值为． 故答案为：． 变式32．（2026·高二·浙江·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为____________． 【答案】29 【解析】由题设，故在双曲线的下支上，如下图示， 根据双曲线定义：， 所以. 故答案为： 题型 10：双曲线综合应用 例28．（2026·高二·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，可得， 由焦点坐标可知，而，即， 解得，所以， 所以的方程为． （2）设，，，而，， 则 由，得，解得,即得， 依题意，解得即， 又，所以直线的方程为，整理得． 例29．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得，解得，，， 所以双曲线的标准方程：． （2）由（1）知右焦点，渐近线方程：， 设直线：，，， 联立可得：， ，， 联立得； 联立得， 所以， 所以为定值． 例30．（2026·高二·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 变式33．（2026·高二·上海·期末）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 【解析】（1）对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； （2）设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 变式34．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 【解析】（1）双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）如图，设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，消去可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. 1．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 2．（2026·河北衡水·模拟预测）将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的两条渐近线分别为，， 设双曲线的焦点所在直线方程为且， 若分别是，的倾斜角，则，， 因为，所以 即， 整理得，可得（负值舍去）， 所以， 故C的离心率是. 3．（2026·高二·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 4．（2026·高三·广西南宁·阶段检测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，渐近线方程为，即, 则点到渐近线的距离为， 又，， ， 解得，则， ． 5．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，如图1， 将代入，得，即，故，， 又，得，解得， 代入得，故，即，所以． 6．（2026·高二·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 7．（2026·陕西咸阳·二模）若双曲线的一个焦点到两渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据题意作出图象如图所示， 则，渐近线方程为， 则焦点到两渐近线的距离之和， 结合化简得， 故离心率. 8．（多选题）（2026·高二·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 9．（多选题）（2026·高二·广东广州·期中）设双曲线的左､右焦点分别为.过的直线与的两条渐近线都相交，交点分别为为的中点，为坐标原点.则（    ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】如图： 由于，则渐近线方程，A正确; 如图，连接，由题可知为的中位线，则且， 所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则 ， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理:， 则，于是. 因为为中点，所以直线的斜率为，过. 所以直线的方程为 ， 点到直线的距离为，D正确. 10．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 【答案】AC 【解析】 由题意得，，，即，，. 焦点，，离心率，渐近线方程为，所以A对、B错； 设，则，又，所以，解得或（舍去），所以或， 所以，C对； ，高为，面积，D错. 11．（2026·高二·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】/ 【解析】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 12．（2026·高二·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【答案】 【解析】联立直线与双曲线方程，整理可得， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 13．（2026·高二·山西长治·阶段检测）已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为________． 【答案】 【解析】因为双曲线的焦距为8，所以，得， 故得，又双曲线C的渐近线方程为， 整理为一般式为，圆的圆心为，半径， 由于的渐近线与圆相切，故圆心到渐近线的距离等于半径， 由点到直线的距离公式可得：，结合，解得， 进而 ，因此双曲线C的标准方程为. 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【解析】（1）由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． （2）设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． （3）证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 15．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【解析】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 16．（2026·高二·广西桂林·期中）已知双曲线C的中心在原点，是C的一个顶点，是C的一条渐近线. (1)求C的方程； (2)设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积； (3)若过点的直线与C交于，两点（都异于点），证明：. 【解析】（1）因为双曲线C的中心在原点O，C的一个顶点是， 所以设C的方程为， C的渐近线方程为. 因为是C的一条渐近线，所以，所以C的方程为. （2）依题意，设，则，即， 所以|， 当时，，此时. 连接OM， 则四边形ODMP的面积 ，即四边形ODMP的面积为. （3）显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为. 由消去x得， 当时，恒成立. 设，，则，. 因为，， 所以，即. 17．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 【解析】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明：由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 18．（2026·高二·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意得，解得， 则双曲线． （2）设，，，或， 则， 令（或）， 当，单调递减，所以在上， 当，单调递增，所以在上， 所以，所以的取值范围为. （3）存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，此时， 存在，，，结论也成立． 综上，存在，使． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $