进阶第11讲 椭圆重点题型全归纳 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第11讲 椭圆重点题型全归纳 目 录 题型01 椭圆的轨迹方程 题型02 椭圆中的焦点三角形 题型03 椭圆中的距离最值问题 题型04 求椭圆的离心率 题型05 求椭圆离心率的范围 题型06 椭圆的标准方程 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 椭圆的轨迹方程 题型点拨 1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对椭圆定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 【典例1】（25-26·河南南阳）已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 题型2 椭圆中的焦点三角形 题型点拨 焦点三角形的求解思路 （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此，回归椭圆的定义式是求解焦点三角形问题的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 【典例1】（25-26·湖南长沙）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为 ． 【变式1】（25-26·江苏）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 题型3 椭圆中的距离最值问题 题型点拨 解决椭圆问题的最常见思路 （1）与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； （2）与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 【典例1】（25-26·贵州黔西）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【变式1】（25-26·江苏南通）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型4 求椭圆的离心率 题型点拨 求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 【典例1】（25-26·浙江）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·广西梧州）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 题型5 求椭圆离心率的范围 题型点拨 求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 【典例1】（25-26·江西赣州）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 题型6 椭圆的标准方程 题型点拨 椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在哪个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 【典例1】（25-26·湖北武汉）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·吉林）椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 强化训练（共10题） 1．（25-26·北京）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·吉林长春）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26·湖北武汉）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 4．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26·陕西西安）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26·河北邯郸）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26·湖南常德）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 9．设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 10．（25-26·广东）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 知识小测（共5题） 1．（25-26·广东东莞）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26·宁夏吴忠）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 4．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 5．（25-26·山西吕梁）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 椭圆重点题型全归纳 目 录 题型01 椭圆的轨迹方程 题型02 椭圆中的焦点三角形 题型03 椭圆中的距离最值问题 题型04 求椭圆的离心率 题型05 求椭圆离心率的范围 题型06 椭圆的标准方程 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 椭圆的轨迹方程 题型点拨 1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对椭圆定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 【典例1】（25-26·河南南阳）已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴   点轨迹方程为. 故选：C. 【变式1】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】本题根据中垂线的性质可得点的轨迹是椭圆 【详解】连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则， 而， 故点的轨迹是焦点为，的椭圆， 且，即，则， 因此，点的轨迹方程为． 题型2 椭圆中的焦点三角形 题型点拨 焦点三角形的求解思路 （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此，回归椭圆的定义式是求解焦点三角形问题的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 【典例1】（25-26·湖南长沙）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：.    【变式1】（25-26·江苏）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 【答案】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积 【详解】在椭圆中，， 由椭圆的定义可得，， 在中，，由余弦定理， 得 ， 解得，因此. 故答案为：. 题型3 椭圆中的距离最值问题 题型点拨 解决椭圆问题的最常见思路 （1）与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； （2）与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 【典例1】（25-26·贵州黔西）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 【变式1】（25-26·江苏南通）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 题型4 求椭圆的离心率 题型点拨 求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 【典例1】（25-26·浙江）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【详解】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C 【变式1】（25-26·广西梧州）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆，圆和正方形的几何性质，设出点的坐标，带入求出椭圆参数的关系，求出离心率. 【详解】以为直径的圆，和椭圆关于轴对称，则交点在中垂线上，不妨设点在第一象限，则，代入椭圆：，得， 即，解得. 故答案为：. 题型5 求椭圆离心率的范围 题型点拨 求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 【典例1】（25-26·江西赣州）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义可得，由余弦定理可得，即可联立求解，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，即， 由，结合余弦定理可得 ，即可， 故， 可得， 由，可得,进而，则，解得. 故选：B 【变式1】已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先设出点，借助向量数量积求得的轨迹，再利用椭圆的几何性质列出不等式求出即得. 【详解】设点，而，则， 由，得，即， 因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， 由椭圆的几何性质知，即，亦即， 整理得，即，所以椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 题型6 椭圆的标准方程 题型点拨 椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在哪个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 【典例1】（25-26·湖北武汉）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 【变式1】（25-26·吉林）椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，根据题意，先求得，再由椭圆的定义，求得，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的两个焦点都在轴上，设椭圆的方程为， 因为两个焦点都到原点的距离都是，可得， 又因为过 的弦，且的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：. 强化训练（共10题） 1．（25-26·北京）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 2．（25-26·吉林长春）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 3．（25-26·湖北武汉）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解． 【详解】由椭圆的对称性可得， 因为为直角三角形 则， 则不妨设， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率． 故选：B. 4．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得. 故选：B． 5．（25-26·陕西西安）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解. 【详解】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 7．（25-26·河北邯郸）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解. 【详解】因为，不妨设，则， 由椭圆的定义与对称性可得，，， 因为，所以， 则，解得， 则，故， 则在中，由， 得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 8．（25-26·湖南常德）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 9．设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】 设左焦点为，则由椭圆的定义知，， 因为，所以， 则，可得． 反过来，当时，函数在椭圆上连续，且可以分别取得和，故能取得区间内的任意值．因此，只要，就存在满足题意的点． 此时点在椭圆内，所以完整得到，从而． 故答案为：. 10．（25-26·广东）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由、及椭圆定义，可得，，，，再由余弦定理可得，又三角形的面积为，可求得，进而求出椭圆方程. 【详解】设，则， 所以，又， 所以， 又，所以， 所以，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又三角形的面积为， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 故答案为：．        知识小测（共5题） 1．（25-26·广东东莞）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 2．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选：B 3．（25-26·宁夏吴忠）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A 4．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，，当三点共线时，周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 5．（25-26·山西吕梁）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题可知：，所以. 如图：. 所以的周长为. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $