第11讲 点、线间的对称关系（七大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“点、线间的对称关系”核心知识点，系统梳理点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线的对称原理及求解方法，搭建从基础对称到综合应用的学习支架，为解析几何后续学习奠定基础。 该资料以“数学眼光”挖掘对称关系的现实应用，如“将军饮马”“光线反射”等问题，通过例题与变式题层层递进，培养学生逻辑推理与空间想象的“数学思维”。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第11讲 点、线间的对称关系 【人教A版】 模块二 关于点的对称 【知识点1 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【题型1 点关于点的对称问题】 【例1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为_____________. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝_____________. 【题型2 直线关于点的对称问题】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式2-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【变式2-2】（2026·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 模块三 关于直线对称 【知识点2 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型3 求点关于直线的对称点】 【例3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线关于直线的对称问题】 【例4】（25-26高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二·全国·课后作业）已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 【变式4-3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【题型5 光线反射问题】 【例5】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【变式5-3】（25-26高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【题型6 将军饮马问题】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【题型7 对称关系中的最值问题】 【例7】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【变式7-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 【变式7-3】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 8．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 11．（25-26高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 三、填空题 12．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为__________. 13．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是__________. 14．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为__________． 四、解答题 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 16．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 17．（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 18．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 19．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 点、线间的对称关系 【人教A版】 模块二 关于点的对称 【知识点1 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【题型1 点关于点的对称问题】 【例1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案. 【解答过程】根据题意，设的坐标为， 点与关于点的对称， 为的中点， 根据中点坐标公式可得：， 解可得， 即的坐标为 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【解答过程】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为_____________. 【答案】 【解题思路】借助中点坐标公式计算即可得. 【解答过程】设，则有，，故. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝_____________. 【答案】 【解题思路】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【解答过程】由题意知，即，解得，故. 故答案为：. 【题型2 直线关于点的对称问题】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【解答过程】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【变式2-2】（2026·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【解答过程】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【解答过程】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A. 模块三 关于直线对称 【知识点2 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型3 求点关于直线的对称点】 【例3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【解答过程】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【解题思路】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【解答过程】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】假设所求点为，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 【题型4 直线关于直线的对称问题】 【例4】（25-26高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【解答过程】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二·全国·课后作业）已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标， （2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程 【解答过程】（1）设点，则由题意可得， 解得， 所以点B的坐标为， （2）由，得，所以两直线交于点， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则 ，解得，即， 所以， 所以直线为，即， 所以直线关于直线的对称直线方程为. 【变式4-3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【解答过程】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 【题型5 光线反射问题】 【例5】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【解答过程】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得点坐标，由此能求出光线所在的直线方程． 【解答过程】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在上的处， 由于光线从点经两次反射后又回到点， 根据反射规律，则 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点关于轴的对称点 设点关于直线的对称点 所以，解得， 所以直线，即 联立，得， 所以直线，即光线L所在的直线方程为 故选：C． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【解题思路】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【解答过程】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 【变式5-3】（25-26高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 【题型6 将军饮马问题】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      【变式6-1】（25-26高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案. 【解答过程】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解答过程】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【解题思路】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【解答过程】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【题型7 对称关系中的最值问题】 【例7】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    【变式7-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【解答过程】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    【变式7-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1)或； (2)2. 【解题思路】（1）求出直线的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. （2）求出点关于直线对称的点，再结合对称的性质及两点间线段最短求出最小值. 【解答过程】（1）由，解得，则直线交于点， 直线在两坐标轴上截距都为0，且过点，符合题意， 当相等的截距不为0时，设直线方程为，由， 得，方程为， 所以所求直线方程为或. （2）点在直线同侧，令点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，因此点关于直线对称的点为原点， ，当且仅当是线段与直线为交点时取等号， 所以的最小值为2. 【变式7-3】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【解答过程】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【解答过程】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C. 3．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【解答过程】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】 利用关于直线的对称点为求解. 【解答过程】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 5．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【解答过程】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 6．（25-26高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【解答过程】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 7．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【解答过程】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 8．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【解答过程】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，    直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【解答过程】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 10．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解题思路】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【解答过程】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【解题思路】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【解答过程】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为__________. 【答案】 【解题思路】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【解答过程】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是__________. 【答案】 【解题思路】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【解答过程】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解题思路】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【解答过程】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    四、解答题 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【解答过程】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 16．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【解答过程】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    17．（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【解答过程】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 18．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【解答过程】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 19．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【解题思路】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【解答过程】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $