进阶第3讲 空间向量中的探索性及最值（范围）问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3讲空间向量中的探索性及最值（范围）问题 目录 题型01平行与垂直中的探索性问题 题型02距离中的探索性问题 题型03线面角的最值与探索 题型04二面角的最值与探索 强化训练（共10题） 知识小测（共5题) 题型精讲 题型1平行与垂直中的探索性问题 题型点拨 利用空间向量证明平行关系的方法和步骤 1、要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另 一条直线上 2、要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与 平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内 3、 要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不 在另一个平面内（也可转化为证明线面平行、线线平行）， 【夹例1】(25,25江苏有京)如图，在正四棱锥PBCD中，各棱长均为5，M为侧棱PD上的点、 N是PC中点， D B (I)若M是PD中点，求直线BN与平面MAC所成角的正弦值； PM (②)是否存在点M,使得BN/平面MAC?？若存在，求出PD的值：若不存在，说明理由 【典例2】(25-26浙江台州)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形， 其中BC,BL4DB=AD--BC-1.PA=2,E为棱C上的点，日BEBC,点O在楼 2 4 CP上（不与点C,P重合）· 4 D ()求证：平面DE0L平面PAC: (2)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值： CO (3)直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出CP的值；若不能，请说明理由 题型2距离中的探索性问题 【典例1】(25-26广东梅州)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD, AD⊥DC,AB∥DC,AB=CD=AD=L,PC=N5,PD=1,M为棱PC的中点. B (I)求平面PDM与平面BDM的夹角余弦值； 2v6 (2)在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是9？若存在，求出P的值；若不存在， 说明理由. 【变式1】(25-26福建厦门)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD,底面ABCD为直角梯形， BC=3AD,AD∥BC,∠BCD=90°，M为线段PB上一点. M B∠二 ①诺PM-PB,求证：AM/平面PCD: V10 (2)若PA=2,AD=1,异面直线PA与CD成90°角，二面角B-PC-D的余弦值为10，在线段PC上是 ,25 否存在点Q:使得点Q到直线4D的距离为3，若存在请指出点Q的位置，若不存在请说明理由 题型3线面角的最值与探索 【典例1】(25-26福建泉州)如图，在四棱锥 P-ABCD D中，AD=CD=DP=1.AB=BC=BP=5 DP⊥AC,DP⊥PB ------>B (I)求证：AC⊥平面PBD: (2)过直线CD与线段PB的中点E的平面a与线段PA交于点F ()试确定F点位置： (i)若H点为线段EF上一动点，求直线AH与平面BCP所成角正弦值的最小值 【典例2】(2025·天津·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD,PA=2,AD=1 M PC⊥BM 为边CD的中点，且 ! A M (I)求线段AB的长： (2)求平面PBM与平面PCD夹角的余弦值； 2W5 (③)在线段pD上（不含端点）是否存在点V,使直线AN与平面PCD所成角的正弦值为)，若存在，求 线段PN的长：若不存在，请说明理由 题型4二面角的最值与探索 【典例1】(25-26北京海淀)如图，四棱锥E-ABCD中，AE⊥平面 ABCD,AD⊥AB,AD∥BC,AE=AB=BC=2,AD=1,AD EB,EC ，过的平面分别与棱交于点M,N. M E (1)求证：AD∥MN: (2)记二面角A-DN-E的大小为8，求cos0的最大值， 【典例2】(25-26广东深圳)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为 底面圆O的内接正三角形，点E在母线PC上，且AB=AE=3,CE=V5 E B (I)求证：平面BED⊥平面ABD: (2)求直线PO与平面ABE所成角的正弦值： (3)在线段OP上是否存在一点M,使得平面MAB与平面ADE夹角的余弦值为7？若存在，确定点M的 位置，若不存在，请说明理由 强化训练（共10题） ABCD-ABC D DD 1.(25-26甘肃白银)如图，在正方体 中，P是D0的中点，是CD的中点 D P B BCC B 内确定一点M,使01 PAO (1)在平面 平面 CG上不存在点N,使平面 NDI∥ PAO (2)证明：棱 平面 ABCD-ABCD,AB=AD=22,CB=CD=4,AA =4 2.(2025·贵州黔西·一模)如图所示为直四棱柱 ∠BCD=60°M,M1 BC,BC 分别是线段 的中点。 D )证明：BCL平面 MM D BDA (2)求直线BC与平面 所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点”，使 PB川平商BDA,若存 平面 在，求出BP的值，若不存在，请说明理由 ∠BAD=60°，DE⊥AB 3.(25-26山东临沂)如图1，在边长为2的菱 ABCD中， B于点E,将△1DE沿 DE折起到 ADE 的位置，使D1BE 如图2. D B 图1 图2 AE⊥ BCDE (1)求证： 平面 ACD (2)求点B到平面 的距离； BP (3)在线段BD上是否存在点P,使平面AEP1平面ABD？若存在，求BD的值；若不存在，说明理由. 4.(25-26北京朝阳)在如图所示的多面体中，AD1IBC且AD=2BC,AD⊥CD,EG11AD且EG=AD, CD//FG CD=2FGDG⊥ 平面BCD,D1=DC=DG=2,M,N分别为 FC.EG 日 :的中点 E B (I)求点F到直线EC的距离： (IⅡ)求平面BED与平面EDC夹角的余弦值： (II)在棱GF上是否存在一点O,使得平面MNO/平面EDC？若存在指出点Q的位置，若不存在，说明 理由 5.(25-26江苏扬州)如图，等边三角形ABC的边长为8，E，,F分别为边AB,AC的中点，O为线段 EF的中点，现将三角形ABC沿直线EF折起，使得二面角A-EF-B为直二面角. B (1)求线段AC的长度： (2)求直线BE与平面ABC所成角的正弦值： 433 (3)棱AC上是否存在异于端点的点M,使得点A到平面OBM的距离为11，若存在，请指出点M的位 置；若不存在，请说明理由。 6.(2025山东青岛三模)如图，已知底面ABC是正三角形，EA⊥平面ABC,CD⊥平面ABC, EA=AB=2. E ()若DC=L,F是BE中点，证明：FDII平面ABC; (2)求直线CE与平面EBD所成角的正弦值的最大值. 7.(25-26四川德阳)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为棱PD上 的动点 (I)若E为PD中点，证明：PBII平面AEC: 3V157 (②)若AP=1,AD=3,AB=2,在线段PD上是否存在点E使得面DAE与面AEC夹角余弦值为157，若存 在，求出点E位置，若不存在，说明理 ABC-AB,C,平面 CCA上平面MBBA.四边形 ABB A 8.(25-26辽宁大连)如图，在三棱 平面 为矩形， AB=AC=2,A4=3∠CA4=60° ，且 C B Bi C-AB-A (1)求二面角 的正弦值 AP (②设为棱8C上的一个动点（包含端点），直线CP与平面4 P8所成角为0，求n日。 的范围 √5 9.(25-26广东深圳)如图，在四枝锥P-1BCD中，PD1MB,且PB=PD,底面4BCD是边长为 的菱形，∠BAD=元 3 B (I)证明：面PAC⊥面ABCD: √5 (②)若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为5，点Q为棱PC上的动点，求平面ABQ与平面PBC夹角 的正弦值的最小值 ABCD-ABC D 10.(25-26云南)如图，直四棱柱 ABCD 的底面 是菱形， AM=4,AB=2.∠BAD为锐 E,F,G AB,BC,AD 角， 分别是 的中点。 B G B (1)证明： EGI∥ CDF 平面 C-DF-C (2)求二面角 的余弦值的最大值。 知识小测（共5题) 1.(25-26:上海)已知向量ā，b,c是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底 是() A.6+c万6-G B.aa+b a-b C.a+b a+b+e a D.a+b a-b a 2.(25-26江苏宿迁)已知d{a=({3,2,3),空间向量{e}为单位向量，〈{a},d{e}》={2{3}, 则空间向量{a}在向量{e}方向上的投影向量为() 1- 1- A.2e B.-2e D. :已知4o则.8号0.c00.M5 N(O,1),则直线MN到平面ABC的距离为() 6 6 √6 A.6 B.4 C.12 D.6 4.(25-26安微)如图，已知在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AA_1=2AB=2,AD=3, 点E在棱BC上，且{BE}=2{EC},则直线A_1E与直线C-1D-1所成角的余弦值为() B1 D ! B E C A 2 1 2√2 A.2 B.4 C.3 D.3 5.(25-26湖北)（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体 BCD-ABCD中，底面4BCD是正方形， 且AB=∠AD=60 下列选项正确的是() D C A D C B BD A 长为 V5 6 B.异面直线AC与BD所成角的余弦值为3 AC⊥B,D D AA⊥BD 第3讲 空间向量中的探索性及最值（范围）问题 目 录 题型01 平行与垂直中的探索性问题 题型02 距离中的探索性问题 题型03 线面角的最值与探索 题型04 二面角的最值与探索 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 平行与垂直中的探索性问题 题型点拨 利用空间向量证明平行关系的方法和步骤 1、要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上. 2、要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内. 3、要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行). 【典例1】（25-26·江苏南京）如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. (1)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，得到，求得平面的法向量为，根据平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为中点，可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值. （2）解：因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 若平面，可得， 即可得，解得，所以， 即存在点，使得平面，此时的值为. 【典例2】（25-26·浙江台州）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，利用向量先证明平面，然后可证明平面平面； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，然后计算出法向量夹角的余弦值，结合图形可求二面角的平面角的余弦值； （3）由表示出点坐标即可表示出，再根据位置关系确定出与法向量的关系，确定方程解的情况可作出判断. 【详解】（1）因为平面，所以，， 又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，，平面， 所以平面， 所以平面平面. （2）由（1）知是平面的一个法向量，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 又由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. （3）由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以， 由（2）知是平面的一个法向量， 若平面，可得，则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 题型2 距离中的探索性问题 【典例1】（25-26·广东梅州）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在满足题意的点，此时 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （2）假设存在满足题意的点，，利用空间向量法求解点面距，建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】（1）由平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，有，故， 建立如图空间直角坐标系，   ，得， 易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， ，令，得，， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知，则，假设存在满足题意的点. 设，则， 得，即，所以， 故点到平面的距离为， 即，解得或（舍去）， 所以存在满足题意的点. 此时，所以. 【变式1】（25-26·福建厦门）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点 【分析】（1）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论； （2）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为，求出的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论. 【详解】（1）（1）过点作，交于点，连接， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 所以四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； （2）由异面直线与成角，即， ∵，，∴平面， ∵，过点作交于点， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 可得平面的一个法向量为， 由于二面角的余弦值为， 则，解得， 则， 假设线段上存在点，使得点到直线的距离为， 设， ∴， 则， ∴，， ∴点到直线的距离为， 解得或， 所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为. 题型3 线面角的最值与探索 【典例1】（25-26·福建泉州）如图，在四棱锥中，，，，.    (1)求证：平面； (2)过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F. （i）试确定F点位置； （ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）点F为靠近A的三等分点；（ii） 【分析】（1）连接、，设，连接，由线面垂直的判定定理证明即可； （2）解法一：（i）取的中点M，连接、，由几何关系得到，，过E点作，连结，确定F点位置即可； （ii）先由线面垂直的判定定理证明平面，再建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由集合关系求出，代入线面角公式，再令，结合二次函数分析最值即可； 解法二：（i）先由线面垂直的判定定理证明平面，建立如图所示空间直角坐标系，由向量的基本定理得到，再确定F点位置即可； 解法三：（i）延长，交于点Q，连结交于点F，再由几何关系确定其位置即可； （ii）由线面垂直的判定定理证明平面，再由余弦定理和同角的三角函数关系得到，再利用等体积法求出A点到平面的距离为d，然后分析其最值即可； 【详解】（1）    连接、，设，连接， ，，，，则， ，即是的角平分线，， ，，平面，平面 （2）同理可得 故，所以，， 因为，则，则， （解法一）（i）取的中点M，连接、， ，，故为等边三角形， ∵M为的中点，， 在底面中，，，， 过E点作，则，所以C，D，E，K四点共面。 连结，则，则，所以A，K，P，C四点共面。 连结，面面，则必与相交，交点为所求的点F， ，所以点F为靠近A的三等分点. （ii）平面，平面，， 因为，，，所以，，则， ，，所以，， 所以，，即， ，平面，所以，平面， 以点O为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， 则， 所以， ， 因为，所以令，，， 所以， 设，对称轴为， 故当 1/3 或 1，即 λ = 0 或 1 时，sin θ 取得最小值 √42/7. 因此，当H点与E点或F点重合时直线与平面所成角的正弦值的最小值为 .    （解法二）平面，平面，， 因为，，，所以，，则， ，，所以，， 所以，，即， ，平面，所以平面 ， 以点O为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设，， ，，， C，D，E，F四点共面，则，解得，， ， 所以点F为靠近A的三等分点，下同解法一， （解法三）延长，交于点Q，连结交于点F，即为所求点.在中， ，，，，则A为中点.又因为E为中点，则F为的重心，则，F为靠近A的三等分点. 平面，平面PBD，， 因为，，，所以，，则， ，，所以，， 所以，，即， ，平面，所以平面， ，，，，， 设A点到平面的距离为d， ，，， 假设直线与平面交点为G， 则直线与平面所成角正弦值， 所以当最大，正弦值最小， ，， 因为， 所以当H点与E点或F点重合时最小. 【典例2】（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 题型4 二面角的最值与探索 【典例1】（25-26·北京海淀）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用法向量方法，用表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求最大值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 因为过的平面分别与棱交于， 所以； （2）因为平面，平面，平面， 所以， 又因为， 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是； 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是， 所以， 因为，所以， 由二面角的大小为， 根据的方向判断可得， 所以，当时，的最大值为. 【典例2】（25-26·广东深圳）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）利用余弦定理与勾股定理推得，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，得到直线的方向向量与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得； （3）设，求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算出相应即可得. 【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面， 因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由， 可得，， 又，，所以， 即，， 所以在中，， 在中，由余弦定理： ， 所以，故， 因为底面，面，所以平面平面， 又面，平面平面，，故面， 又平面，所以平面平面； （2）易知，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3），，， 设，可得， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，， 令，则，，，， 即，， 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，即，则， 故线段上存在符合题意的点，且. 强化训练（共10题） 1．（25-26·甘肃白银）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，列出方程组，求出结果； （2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面的法向量垂直即可. 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 2．（2025·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. (1)证明:平面； (2)求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)；在线段存在点使得平面，的值为 【分析】（1）由题意可知为正三角形，则，又，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可；假设在线段上存在点，使得平面，令，利用求出，进而求出即可. 【详解】（1）由，知为正三角形， 又为的中点，则. 又为的中点，则， 而，所以， 又平面， 所以平面； （2）由（1）知为正三角形，则， 在中，，有，所以， 易知，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 假设在线段上存在点，使得平面，令， 则，所以， 由平面，得，所以， 解得，所以，即的值为. 3．（25-26·山东临沂）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 ， 【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B到平面的距离. （3）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可． 【详解】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 4．（25-26·北京朝阳）在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱的中点. （I）求点F到直线EC的距离； （II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值； （III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由. 【答案】（I）；（II）；（III）不存在，证明见解析； 【分析】（I）由题知，，，又，建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得向量，，则点F到直线EC的距离为； （II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值； （III）假设GF上存在点Q使得平面平面，设出坐标，求得平面MNQ的法向量，与平面EDC的法向量应共线，验证是否存在即可. 【详解】（I）由平面ABCD知，，，又， 则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则， ，， 所以点F到直线EC的距离为 （II）由（I）知，，， 设平面BED的法向量为， 则，令，则 设平面EDC的法向量为， 则，令，则 故 由图知，二面角为锐二面角，故余弦值为 （III）设GF上存在一点Q，设， 则， 设平面MNQ的法向量为 则，令，则 若平面平面，则， 故不存在，即不存在点Q使得平面平面 5．（25-26·江苏扬州）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为边AB，AC的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为 AO ⊂ 平面 AEF，且 AO ⟂ EF，又平面 AEF ⟂ 平面 BCEF，两平面的交线为 EF， 所以 AO ⟂ 平面 BCEF；取边 BC 的中点记为 D，则 OE ⟂ OD； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 6．（2025·山东青岛·三模）如图，已知底面是正三角形，平面，平面，． (1)若，是中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知有，取中点，连接，，易证，再应用线面平行的判定证明结论； （2）令，取中点为，连接，过作，且交于，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的最大正弦值， 【详解】（1），均垂直于平面， ， 取中点，连接，， ，， 且， 又且，故四边形是平行四边形， ，又平面，平面， 平面； （2）令，取中点为，连接，过作，且交于， ，平面，平面， 是正三角形，所以， ， 以为坐标原点，，，方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面法向量，则，所以， 取，则， 又，设与平面所成角为，则 所以，当时，最大值为， 综上，直线与平面所成角正弦值的最大值为. 7．（25-26·四川德阳）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点. (1)若为中点，证明：平面； (2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）连接，交于点，结合中位线定理和线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，，则，利用向量法求出即可求解. 【详解】（1）连接，交于点， 因为底面为矩形，故为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）底面为矩形，所以， 平面，又平面， ， 如图，以为原点，所在直线为轴、轴，轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 设，设， 所以，可得， 所以， ，，， 设面的法向量为， 则， 取，则， 为平面的一个法向量， 设面的法向量为， 则， 取，则， 可取， 设面与面夹角为， 则， 化简得，即， 解得或（舍）， 所以在线段上存在点使得面与面夹角余弦值为，此时，即点为（靠近点）的三等分点. 8．（25-26·辽宁大连）如图，在三棱柱，平面平面，四边形为矩形，，且. (1)求二面角的正弦值 (2)设为棱上的一个动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，从而建立空间直角坐标系，进而求得平面与平面的法向量，结合空间向量法即可得解； （2）利用（1）中结论，求得平面的法向量，再利用空间向量法求得关于的表达式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）过点作交于D，过点作交于，如图， 因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，则， 故以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为在中，，，则，又， 则， 所以，设平面的法向量为， 则，取，则，故， 易知平面的法向量为， 设二面角为，则结合图象可知其为锐角，即， 所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. （2）由（1）得，， 因为为棱上的一个动点（包含端点），设， 则， 设平面的法向量为， 所以，取，则，故， 因为直线与平面所成角为，其中平面与平面共面， 所以， 对于， 则， 所以的取值范围为. 9．（25-26·广东深圳）如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，.    (1)证明：面面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，由题设可得、，再应用线面、面面垂直的判定证结论； （2）过作交于点，由面面垂直性质有面，则即为直线与平面所成角，并证明为的重心，结合已知求得，构建空间直角坐标，设，应用向量法求面面角的正弦值关于的表达式，进而求其最值. 【详解】（1）连接交于点，连接. 因为是菱形，所以， 为的中点，，所以. 又面，且， 所以平面，又平面， 所以，平面平面.    （2）过作交于点， 面面，，面面，面， 所以面，则即为直线与平面所成角， ， 面，面，则， 为的交点，为等边三角形，所以为的重心， ，则， 在中，解得， 以为原点，所在直线为轴建立如下图坐标系， 故， 则，    设平面的一个法向量为，则，令，故． 设，则，， 设平面的一个法向量为，则，令，故． 设平面与平面夹角为，于是， 令，则， 当，即时，， 此时， 平面与平面夹角的正弦值的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问，过作交于点，利用已知条件求出，进而构建空间直角坐标系，设，向量法求面面角正弦值关于参数的表达式为关键. 10．（25-26·云南）如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：连接，设，连接，由线面平行的判定即可证明； 证法二：设的中点分别为，连接,由线面平行的判定及性质即可证明；． （2）建立空间直角坐标系，由面面角余弦的向量公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）证法一：连接，设，连接． 在中，分别是的中点，所以． 在中，分别是的中点，所以，则． 因为平面，平面，所以平面． 证法二：设的中点分别为，连接,如图所示． 因为， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）过点作交于点． 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，且，则． 设，则，即， 则． 设平面的法向量为，则， 所以可取． 易得平面的一个法向量为． ． 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 故二面角的余弦值的最大值为． 知识小测（共5题） 1．（25-26·上海）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 2．（25-26·江苏宿迁）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量 a⃗ 在向量 e⃗ 方向上的投影向量为 (a⃗·e⃗) / ‖e⃗‖² · e⃗， 因为为单位向量，，， 所以， 所以 (a⃗·e⃗) / ‖e⃗‖² · e⃗ = -2e⃗， 故选：B 3．已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 4．（25-26·安徽）如图，已知在长方体中，，点在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量和的坐标，再利用向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，由于异面直线所成角的范围是，所以取其绝对值即为异面直线所成角的余弦值． 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 已知，，则，． 所以，，． 因为点在棱上，且，，所以，，则． 所以，． 根据向量的夹角公式． 先计算． ． ． 则． 因为异面直线所成角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为． 直线与直线所成角的余弦值为． 故选：C． 5．（25-26·湖北）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $