3 专题03：圆锥曲线中的参数范围及最值问题讲义- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以“圆锥曲线中的参数范围及最值问题”为核心，通过题型分类框架系统构建知识体系，每个题型配套步骤流程图呈现解题脉络，清晰梳理韦达定理、判别式等重难点，揭示参数范围与最值问题的内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题涵盖各地期末、模拟及高考真题，通过“三角形面积最值”等题型示例，引导学生用弦长公式、点到直线距离公式转化面积表达式，培养数学思维与表达能力。步骤清晰的解题指导帮助基础薄弱学生掌握方法，综合题助力优秀学生提升，为教师精准教学提供有力支持。

3.专题03：圆锥曲线中的参数范围及最值问题 题型一、弦长的最值/取值范围 1 题型二、三角形面积的最值/取值范围 9 题型三、四边形面积的最值/取值范围 19 题型四、向量数量积的取值范围 32 题型五、纯参数（斜率/截距/离心率）范围 42 【真题回顾】 51 题型一、弦长的最值/取值范围 一般步骤：核心是求动弦的长度最大值，常结合直线与曲线联立、韦达定理推导，需结合判别式、参数范围推导边界。 【例题精讲】 1．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点P是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点G，H，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出，进而求出椭圆方程； （2）根据椭圆的性质，利用几何法求出，求出表达式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值，进而求出的最小值． 【详解】（1）由题意，点，分别是椭圆左、右顶点，，故，得， 离心率，故，则， 故的方程为：． （2）由（1）知，，设在椭圆上，且， 则， 直线与交于点，则，解得， 直线与交于点，则，解得， 故， ，故， 又， 故， 令，求导得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 故在处取得最小值， ， 故， 当时，，即时，取得最小值，最小值为． 2．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）如图，当直线 与 轴重合时，显然成立； 当直线 与 轴不重合时，设直线 为，，， 联立那么可得， 根据韦达定理可得，， 那么根的判别式． ， 由于， 因此， 因此， 的倾斜角互补，因此． （ⅱ） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与 轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）根据已知条件可得，解得， 所以椭圆C为 ． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由，那么． 那么可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以． 又由于， 因此，， ． 令，那么， 所以． 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据椭圆离心率和经过点及求解即可； （2）设直线l的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，得到点坐标，再写出AB的垂直平分线方程，得到点坐标，表示出，列方程求解； （3）由（2）用表示，令，分析函数的取值范围. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以椭圆C的标准方程为； （2）由（1）可知，若直线斜率不存在，则的方程为， 此时点为的中点，即重合，线段AB的垂直平分线即为x轴，不符合题意； 所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，， 联立，化简得：， 所以， 所以，线段AB的垂直平分线为， 令，解得，所以， 所以， 又， 所以，解得， 所以直线l的方程为，即或； （3）由（2）可知， 令，则当，， 当，， 因为，所以，; 所以的取值范围为.    4．（河北衡水中学2024届高三第二学期开学检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，直线与交于两点，且弦长的最大值为. (1)求C的标准方程； (2)若原点到直线的距离为，求弦长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦长的最大值为，得，结合椭圆的离心率求出半焦距，进而得到，求得椭圆的标准方程； （2）分斜率存在与否两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式及点到直线的距离公式，结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为. 由题意得，，， 所以，，， 故C的标准方程为.    （2）当直线的斜率不存在时，其方程为：， 由，得，所以弦长； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由原点O到直线l的距离为，可得，即， 联立方程组， 消去得，. 设，， 则，， ， 设， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 因为， 故弦长的最大值为. 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （i）若点的坐标为，证明：； （ii）若，当时，求弦长的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）由题意得，，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当直线与轴重合时，显然成立； 当直线与轴不重合时，设直线方程为. 联立，得， 则，. 则 ， 因为， 所以. 故的倾斜角互补，所以； 综上，. （ii）由，则. 可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 由 ， 令，则， 因为，所以，则弦长的取值范围为. 6．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点与短轴两个顶点所连成三角形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆E有两个交点，，求的取值范围，并求弦长最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）借助离心率及椭圆性质计算即可得； （2）联立曲线方程与直线方程，消去后可得与交点横坐标有关的一元二次方程，借助根的判别式计算可得的范围，利用韦达定理及弦长公式计算即可得弦长最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则椭圆的方程为； （2）设，. 联立，消去，可得， 由直线与椭圆E有两个交点，则， 化简得，解得； 则，， ， 由，则当时，有最大值， 且. 题型二、三角形面积的最值/取值范围 一般步骤： 1.设直线方程，联立圆锥曲线得到一元二次方程，写出判别式与韦达定理结果。 2.用弦长公式求底边长，结合点到直线距离公式得到高，写出面积表达式。 3.代入韦达定理化简，通过换元转化为二次函数，结合基本不等式求最值或值域。 【例题精讲】 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知是椭圆：的右焦点，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方. （i）求三角形面积的最大值； （ii）设，求证：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题目信息求出，即可得到答案； （2）（i）设直线的方程为，求出三角形的面积，结合对勾函数的单调性即可求出最大值；（ii）设与的斜率分别为，，证明即可证明. 【详解】（1）由题可得，解得 所以椭圆的标准方程为：. （2）（i）如图，由题可知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为： 设，，由题意知，， 联立，消去化简得 所以， 所以 又原点到直线：的距离 所以三角形的面积 令，则 设，根据对勾函数得在上单调递增，则，则， 所以三角形面积的最大值为. （ii）设与的斜率分别为，，又， 则 . 所以. 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)因为，设直线方程为，代入椭圆方程可得， 设，则，所以中点的纵坐标， 所以，即， 所以所在直线方程为，令，可得，即， 假设在轴上存在一定点满足题意，则， 所以恒成立，则需，解得， 即轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 【分析】（1）根据离心率及通径长求出即可得解； （2）设，利用点到直线的距离求三角形面积，再由正弦型三角函数的性质求最值即可； （3）设直线方程为，求出点坐标，再由交点求出点坐标，假设存在满足题意，则恒成立，据此求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 由代入，可得，， 所以椭圆的通径长为，即， 由可得，解得， 所以， 所以椭圆的方程为. （2） 由（1）可知， 所以， 直线所在直线方程为，即 设， 设点到直线的距离为，则， 所以， 当时，有最大值. （3）略 3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，求三角形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标、椭圆上的点坐标和椭圆之间关系可构造方程组求得结果； （2）利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出，利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为，； 椭圆经过点，，又， ，，椭圆的标准方程为：. （2） 由题意知：直线的斜率不为，可设，， 由得：，，， ， 点到直线的距离， （当且仅当，即时取等号）， 面积的最大值为. 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知椭圆的离心率为，右顶点与的上、下顶点所围成的三角形面积为．. (1)求的方程. (2)不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点；并求定点坐标. （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i） 由（1）知，点， 当斜率为0时，直线方程为， 此时设，，， 则，，得到， 因为直线与的斜率之积恒为，所以， 因为在椭圆上，所以， 联立方程组，该方程组无解，则该情况与题意不符，排除， 当斜率不为0时，讨论如下， 如图，设直线的方程为，设， 由，消去x得， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线恒过定点. （ii） 【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值即可. 【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得， 解得， 由三角形面积为，得，则，， 故的方程是. （2）（i）略 （ii）由（i）知，， 则， 因此的面积 ， 当且仅当，即时取等号， 故面积的最大值为. 5．（25-26高二上·广东河源·期末）已知圆O：，直径为，圆M过点A，B，且与直线相切. (1)若所在直线的倾斜角为，求圆M的半径. (2)设点.若点A在圆O上运动过程中，圆心M形成的轨迹为曲线. （i）求的值； （ii）在曲线上取点M，N，使得，求三角形面积的最小值 【答案】(1)2或6. (2)（i）1；（ii）. 【分析】（1）判断圆心M所在直线方程，设出点的坐标，根据列方程求解可得； （2）（i）设方程为，设，根据列方程化简可得方程；（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合韦达定理化简即可求解. 【详解】（1）依题意点A，B关于原点对称，设，则， 又，所以. 因为圆M过点A，B，所以圆心M必在直线上，设，圆的半径为r， 因为圆M与相切，所以， 又，即，所以，解得：或. 当时，；当时，，所以圆M的半径为2或6.    （2）（i）依题意直线必为过原点的直线，且， ①当直线斜率存在时，设方程为，则圆M的圆心M必在直线上， 设，圆M的半径为r，因为圆M与相切，所以， 又， 所以，整理可得：， 即M点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点为点， 因为，即抛物线上点到的距离，所以. ②当直线斜率不存在时，则直线方程为：，所以M在x轴上， 设，所以，解得：，即. 又，则. 综上所述，为定值1.    （ii）由（i）知曲线的轨迹方程为：，焦点，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，，， 由可得， 所以，，，即. 因为，所以， 又，所以， 代入，，化简整理得，， 所以，且，解得或. 设点P到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以，当时，的面积. 6．（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆（）与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，若椭圆的离心率，三角形的面积. (1)求椭圆的标准方程； (2)若是第一象限内椭圆上一点，直线与轴正半轴相交于点，直线与轴正半轴相交于点. （ⅰ）求证：等于定值； （ⅱ）求三角形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）得，设， ，即直线的方程为：，令，得， 故， 又，即直线的方程为：，令，得， 故， ， 又，得， ， ， ， 故等于定值为. （ⅱ） 【分析】（1）根据离心率、三角形的面积以及椭圆的性质即可求出； （2）（ⅰ）先设，再写出直线的方程和直线的方程即可得到和的长度，最后计算的值即可； （ⅱ）设，设，，再表示出 ，最后通过换元令，即可求出面积的最小值. 【详解】（1）椭圆的离心率，，又三角形的面积，， 又，， 故椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由以上可知，， 则， 设，由，设，，， 则， ，， ， 令，，则， 则， 当取最大值时，取得最小值为. 题型三、四边形面积的最值/取值范围 一般步骤： 1.拆分四边形为两个共底的三角形，分别计算两个三角形的面积再求和。 2.利用韦达定理消元，将面积表达式转化为单变量函数，结合定义域求值域。 【例题精讲】 1．（2027高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，A为椭圆上一点，M为线段上的动点，过点M作直线交椭圆于P，Q两点，若，求四边形面积S的最大值． 【答案】 【分析】设出点P，Q的坐标，再将四边形分割成四个三角形进行求面积，将面积S转化成点P，Q的坐标进行运算. 【详解】，．设，， 由得；设，则， 故，A在椭圆上，代入：，即，．（*） 四边形的对角线，相交于M，令，则四边形的面积为： ，而，因为 ， 故， 即， 由（*）得， 当且仅当即时取等，故．此时可取． 2．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知点，圆，一动圆过点，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知为曲线上一点（异于），设曲线在点处的切线分别为，在点处的切线为与分别交于两点． （i）若切线的斜率为，求； （ii）当点在曲线上运动时，求四边形的面积的取值范围，并求面积取得最小值时直线的方程． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）或． 【分析】（1）由椭圆定义可得轨迹方程； （2）（i）先得到椭圆上一点的切线方程为，求出和的坐标，计算出； （ii）分切线的斜率不存在和存在两种情况，分别表达出四边形面积，结合导函数求出取值范围，得到答案 【详解】（1）设动圆的半径为，因为动圆过点，圆心为，又动圆与圆内切，设切点为， 所以． 圆的圆心为右焦点，半径为8，即． 因此的轨迹是以为焦点的椭圆，其中． 所以． 故曲线的方程为．      （2）（i）因为，， 设在椭圆上一点处切线方程， 联立，整理得， 由，有， 又因为，所以，故切线方程为． 即椭圆在处切线，椭圆在处切线． 设切线的方程为， 椭圆的斜率为的切线满足，所以． 联立与，即和，故，解得， 故，得． 同理得． 于是． 故．    （ii）当切线的斜率不存在时，不妨设， 中，令得，中，令得， 故，故，， 与的距离为， 故四边形的面积； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为． 联立与，得，同理， 则． 可得四边形的面积为． 由得，． 设．则 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值在处取得，且． 当时，． 综上，当时，四边形面积取最小值，此时． 所以直线的方程为或． 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点. （i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）存在，直线的方程为；（ii） 【分析】（1）根据椭圆的对称性，可知一定在椭圆上，进一步判断点也在椭圆上，即可求出椭圆方程； （2）（i）假设四边形为平行四边形，设直线方程，联立方程组，根据平行四边形对角线互相平方建立中点等量关系，根据方程是否有解判断是否存在即可；（ii）求出直线方程，联立方程组，分别求出到直线的距离，再根据弦长公式求出，表示出面积，最后求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为关于轴对称，所以必在上，又， 所以不在上，所以在上，则，所以， 因此的方程为. （2）（i）由题意知，假设四边形为平行四边形，设直线的方程为， 设， 将直线方程代入椭圆方程，化简整理得， 所以，， 所以， 所以中点坐标为， 若四边形为平行四边形，则与互相平分，所以为中点， 则，，所以点的坐标为， 代入，化简整理得，即， 解得或（舍）， 所以，因此，存在四边形为平行四边形， 此时直线的方程为； （ii）由点的坐标为，所以直线的方程为，代入双曲线方程， 化简整理得，则 ，所以， 即，又点关于原点对称，则， 因为点到直线的距离， 点到直线的距离， 因为， 代入，化简得， 因为，所以，因此， 由弦长公式可得， 所以四边形面积，代入， 化简整理得，因为， 所以. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为渐近线方程为，所以可得​，再将点代入双曲线方程，联立即可求解，得到双曲线方程； （2）先求出 的坐标，设过的直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，再写出的表达式，代入坐标关系化简即可求得比值； （3）设的斜率为，则​的斜率为​，分别将两条直线方程与双曲线联立，求出弦长和，根据四边形面积公式 得到关于的表达式，结合双曲线的交点限制和函数性质求解取值范围. 【详解】（1）已知双曲线（）的渐近线方程为， 因此，即. 双曲线过点 ，代入方程得： ， 将代入： ， 解得，则 . 因此双曲线的方程为 （2） 由（1）知双曲线的左右顶点为，，右焦点. 设过的直线方程为，，. 联立，消去得直线与右支交于两点， 由韦达定理得，而,故， 斜率，，则 将和代入， 化简得： ， 故. （3） 设直线（），则. 联立与双曲线：需， 则， ， 故. 同理，联立与双曲线需， 则. 四边形的面积， 代入得 , 不妨设，则, 令，则 ，设 ， 因为，所以，所以，故. 因此四边形面积的取值范围为. 5．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆E上且的周长为6． (1)求椭圆E的方程． (2)设过点的直线与椭圆E交于A，B两点，过点的直线与椭圆E交于C，D两点，与的交点为P，且与的斜率之积为． ①求点P的轨迹方程； ②求四边形ACBD面积的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据椭圆焦点及三角形周长得出的值，再将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆中的关系联立方程组求解，进而得到椭圆方程. （2）①结合两直线分别过左右焦点写出直线方程的两个斜率，代入已知斜率乘积条件消参化简，排除斜率不存在的对应点，得出点的轨迹方程. ②方法一：先分别联立、与椭圆方程，算出弦长和，结合已知斜率乘积关系写出四边形面积表达式，换元后根据函数性质即可得到面积的取值范围；方法二：先写出两条直线方程，联立与椭圆得到弦长，将四边形面积表示为乘C、D到的距离和，代入斜率条件化简面积表达式后，换元结合函数性质即可求出面积的取值范围。 【详解】（1）因为椭圆的焦点为， 的周长为，即， 已知在椭圆上，代入得， 结合椭圆关系，所以， 解得， 所以椭圆E的方程为．               （2）由（1）可知，椭圆E的方程为，焦点坐标为，        ①设直线与直线的斜率分别为，则， 设点P的坐标为，则，                      即，因为斜率存在所以, 化简得， 所以点P的轨迹方程为，              ②方法一  设， 联立， 则，                 联立， 则，                      所以，    同理可得，                                   设与的夹角为，因为与的方向向量分别为， 所以， 所以，                     设四边形ACBD的面积为S， 则， 因为，所以， 令，则， 则， 令，则，化简得， 当时，S→6；当时，， 所以四边形ACBD面积的取值范围是，                  方法二  设，直线AB的方程为， 则，直线CD的方程为， 联立直线AB与椭圆的方程得， 则，                    所以， 设分别为点C，D到直线AB的距离，四边形ACBD的面积为S， 则， ， 联立得， 故．              所以， 所以，           思路1：令，则 ， 因为，所以， 因此，              思路2：令，则，即，则 ， 显然，当时，S取得最大值，当时，， 因此． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 【答案】(1). (2)①存在， ② 【分析】（1）由已知得，解方程即可求解； （2）①设，利用直线的方程即可求出点的坐标，由得到两直线斜率关系，与椭圆方程联立即可求得点坐标； ②由图写出四边形面积表达式，借助于椭圆参数方程和换元，利用二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）由已知得， 所以， 所以椭圆方程为. （2）①设，其中，则. 又因为，所以直线， 令，所以，同理， 若，则， 所以， 化简可得： 与联立， 化简得：， 因为点在第三象限，所以，， 所以，故， 解得：， 所以存在点 ，使得 ，即点坐标为 ②所以四边形的面积 ， 令， 所以， 令，则，，故， 故当时，，即时， 也即时，四边形的面积取最大值为.    题型四、向量数量积的取值范围 一般步骤： 1.设动点坐标，将向量点积转化为x₁x₂y₁y₂的代数形式。 2.代入韦达定理消去变量，得到单变量函数，结合参数的已知范围求值域。 【例题精讲】 1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)判断过点是否能作的一条切线，并说明理由； (2)设，若函数有两个零点，，且． （i）求证：； （ii）记点，若轴上存在两个横坐标大于的点，使得四点共圆，求的取值范围． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）即，为椭圆的上半部分，由于点在椭圆内部，故不能作的一条切线; （2） (i) 令函数转化为求解一元二次方程两根问题，再使用韦达定理证明； (ii)利用，把转化为求解的取值范围，再使用韦达定理化简求解取值范围. 【详解】（1）不能．理由如下： 即 为椭圆的上半部分 将点代入椭圆得： 点在椭圆内部 过点不能作的一条切线． （2）（i）令 ，得 ， 即 化简，得 ， 由于方程有两个根，，且，那么 即 把代入得 即 化简可得 ，得证. （ii） 由（i）可得，， 不妨设点在点左侧，点在点左侧 由四点共圆可得： 又 所以 所以， 所以， ，即, 由于 ， 由于， 设，由，那么 所以，的取值范围 故的取值范围.    3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)①16；②证明见解析 【分析】（1）由题设可得，再根据抛物线的焦半径公式求解即可； （2）①设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，设，同理可得，进而表示出，再根据基本不等式求解即可； ②结合①可得，再分、两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 因为为抛物线上一点，所以，则，即， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）抛物线的方程为，则， 由题意，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 联立，得， 则， 由于，所以直线的斜率为， 设，同理可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16. ②由①得，，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 4．（25-26高二上·河北·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． (1)若，，求曲线，的方程. (2)若，，证明：为定值. (3)若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 【答案】(1)的方程为（），的方程为（） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设出动点的坐标，利用斜率坐标公式及斜率关系列式求出曲线的方程，再将代入即得. （2）设，由给定条件可得，再利用斜率坐标公式求出的表达式，然后利用点分别在曲线上推理计算得证. （3）设，确定直线的方程为.通过联立椭圆方程得到 .同理得到.进而可求证. 【详解】（1）设，.若，，则，，， 由，整理得（），即曲线的方程为（）. 同理，由，得（），即曲线的方程为（）. （2）设，则， 由，得，即， ， 由点在曲线上，得；由点在曲线上，得， 则，于是，即， 所以为定值. （3）证明：设，则由（2）可得（）①. 设，.因为，所以直线的方程为. 由消去，得， 结合①，消去，整理得， 则，代入直线的方程，可得，即. 同理可得直线的方程为， 由消去，并结合①，消去，整理得， 同理可得. 易知直线与轴垂直，且线段的中点的坐标为， 故，为定值. 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. (1)求交点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； (3)若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据中垂线与圆的性质，结合双曲线的定义以及标准方程，可得答案； （2）由题意设出直线方程并联立双曲线方程，求得斜率范围以及韦达定理，根据向量点乘的坐标表示，可得答案； （3）利用分类讨论思想分直线斜率存在与不存在两个情况，利用等腰直角三角形以及正切函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】（1） 依题可得：， 而，因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 从而，，进而，于是得到轨迹的方程：. （2） 由题意易知直线斜率存在，设，，， 联立方程，消元得：， 因为有两个交点，需 于是得到：，，由韦达定理，得：，， ， 令，，， 于是， 因此. （3） 存在且. 证明如下：设，， 当时，，此时，且， 易知为等腰直角三角形，，，. 于是猜想：. 当时，直线，的斜率分别为：，， ， 因此，得证. 6．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，可求得轨迹的方程； （2）由余弦定理得，给合，可求得的面积； （3）设，分别用向量表示，由题意可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； （2）∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积.    （3）设，则，所以，. 所以的取值范围是. 题型五、纯参数（斜率/截距/离心率）范围 一般步骤： 1.利用判别式大于0构造不等式，得到参数的初步约束。 2.结合题目给出的几何条件，补充额外不等关系，联立求解得到最终范围。 【例题精讲】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与抛物线交于异于原点的两点，． (1)若，，求证：； (2)若，过作的垂线，垂足为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得：，，利用向量的数量积，计算即可. （2）将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得：，，由，得，，将代入直线和直线 的垂线方程，计算即可. 【详解】（1）当，时，直线的方程为：， 直线与抛物线交于异于原点O的两点，， 将直线方程与抛物线方程联立， 整理得：，由韦达定理得： ，， ， ， ，，， ，， ， . （2）直线的方程与抛物线的方程交于，两点， 联立得，整理得：， 由韦达定理得： ，， ， ，，， ，， ， ， ，解得：， 直线与抛物线交于异于原点的两点， ，， 直线的方程，即， 则直线过点， 过作的垂线，垂足为，则垂线的斜率为， 垂线的方程为， 在直线上，又在垂线上， ，， ，整理得：， ， ， ， ， 的范围为. 2．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出； （2）分类讨论等腰三角形的情况，确定点的坐标； （3）设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得，则， . （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上， 这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，， 设，其中，， 解得，即， 综上所述：. （3）由题知，， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，，而直线与双曲线另外一个交点， 根据双曲线对称性知， 联立， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 则，， 则， 因为，在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到， 得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上知，， 所以． 3．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)， (2)① ； ② 的取值范围；的取值范围 【分析】（1）根据的关系可求点的坐标，根据渐近线的性质可求出斜率的取值范围； （2）①根据直线与双曲线的位置关系即可求解； ②首先根据存在两条切线可求出的范围，然后根据韦达定理可得，最后根据的范围结合反比例函数的性质即可求出的范围. 【详解】（1）对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此的取值范围是. （2）① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ， 结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. 4．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）显然直线不为0，故设直线为 ， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与 联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入 中，得 ， 所以双曲线方程为 ； （2）（i）略 （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 5．（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程； ②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积； （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围. 【详解】（1）①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以， 又离心率，所以，解得， 因此椭圆的方程为. ②因为是的左顶点，所以，设直线， 则由得， 已知是方程的一个根（对应点），由韦达定理得， 因此，因为，且，故， 同理得，由，得，整理得， 即，因，故， 此时，为等腰直角三角形，面积为. （2）已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点， 设直线的方程为，，由得直线斜率为， 将代入椭圆方程，整理得， 该方程一个根为，由韦达定理得， 由弦长公式得， 将上式中替换为，得， 由，即，化简得 ，整理得， 由椭圆条件，代入得，移项整理， 即，等价于，所以或，解得， 故的取值范围是. 6．（25-26高二下·重庆·期中）椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，根据得出坐标关系，代入椭圆方程中求出，根据求解. 【详解】（1）由题意得，，，， 得， 故椭圆的标准方程为； （2）设， 由且可知， 则，得，即， 由，得，得， 即， 即，即，得， 因为，所以， 故实数的取值范围为. 【真题回顾】 1．（2007·四川·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标； (2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)求出椭圆的a、b、c，设，利用平面数量积的坐标表示和即可求解； (2)设直线的方程和，联立椭圆方程，根据和为锐角可得，结合韦达定理代入化简计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以，设， 则， 又，有，解得， 所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设， ， ，解得，① ， 则， 又为锐角，AOB不共线，则，即，， 所以 ， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 5．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）[方法一]：通式通法 设，，， 所以直线，由题设可得且. 由可得，故， 因为，故，故. 又，由可得， 同理， 由可得， 所以， 整理得到， 故， 令，则且， 故， 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或. [方法二]：利用焦点弦性质 设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且． 由得，所以． 因为， ，． 由得． 同理． 由得． 因为， 所以即． 故． 令，则． 所以，解得或或． 故直线在x轴上的截距的范围为． [方法三]【最优解】： 设， 由三点共线得，即． 所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为． 设直线的方程为， 则． 所以． 故（其中）． 所以． 因此直线在x轴上的截距为． 【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标. 方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.专题03：圆锥曲线中的参数范围及最值问题 题型一、弦长的最值/取值范围 1 题型二、三角形面积的最值/取值范围 2 题型三、四边形面积的最值/取值范围 4 题型四、向量数量积的取值范围 5 题型五、纯参数（斜率/截距/离心率）范围 7 【真题回顾】 8 题型一、弦长的最值/取值范围 一般步骤：核心是求动弦的长度最大值，常结合直线与曲线联立、韦达定理推导，需结合判别式、参数范围推导边界。 【例题精讲】 1．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点P是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点G，H，求的最小值． 2．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)求的取值范围. 4．（河北衡水中学2024届高三第二学期开学检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，直线与交于两点，且弦长的最大值为. (1)求C的标准方程； (2)若原点到直线的距离为，求弦长的最大值. 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （i）若点的坐标为，证明：； （ii）若，当时，求弦长的取值范围. 6．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点与短轴两个顶点所连成三角形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆E有两个交点，，求的取值范围，并求弦长最大值. 题型二、三角形面积的最值/取值范围 一般步骤： 1.设直线方程，联立圆锥曲线得到一元二次方程，写出判别式与韦达定理结果。 2.用弦长公式求底边长，结合点到直线距离公式得到高，写出面积表达式。 3.代入韦达定理化简，通过换元转化为二次函数，结合基本不等式求最值或值域。 【例题精讲】 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知是椭圆：的右焦点，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方. （i）求三角形面积的最大值； （ii）设，求证：. 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，求三角形面积的最大值. 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知椭圆的离心率为，右顶点与的上、下顶点所围成的三角形面积为．. (1)求的方程. (2)不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点；并求定点坐标. （ii）求面积的最大值． 5．（25-26高二上·广东河源·期末）已知圆O：，直径为，圆M过点A，B，且与直线相切. (1)若所在直线的倾斜角为，求圆M的半径. (2)设点.若点A在圆O上运动过程中，圆心M形成的轨迹为曲线. （i）求的值； （ii）在曲线上取点M，N，使得，求三角形面积的最小值 6．（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆（）与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，若椭圆的离心率，三角形的面积. (1)求椭圆的标准方程； (2)若是第一象限内椭圆上一点，直线与轴正半轴相交于点，直线与轴正半轴相交于点. （ⅰ）求证：等于定值； （ⅱ）求三角形面积的最小值. 题型三、四边形面积的最值/取值范围 一般步骤： 1.拆分四边形为两个共底的三角形，分别计算两个三角形的面积再求和。 2.利用韦达定理消元，将面积表达式转化为单变量函数，结合定义域求值域。 【例题精讲】 1．（2027高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，A为椭圆上一点，M为线段上的动点，过点M作直线交椭圆于P，Q两点，若，求四边形面积S的最大值． 2．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知点，圆，一动圆过点，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知为曲线上一点（异于），设曲线在点处的切线分别为，在点处的切线为与分别交于两点． （i）若切线的斜率为，求； （ii）当点在曲线上运动时，求四边形的面积的取值范围，并求面积取得最小值时直线的方程． 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点. （i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ii）求四边形面积的取值范围. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 5．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆E上且的周长为6． (1)求椭圆E的方程． (2)设过点的直线与椭圆E交于A，B两点，过点的直线与椭圆E交于C，D两点，与的交点为P，且与的斜率之积为． ①求点P的轨迹方程； ②求四边形ACBD面积的取值范围． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 题型四、向量数量积的取值范围 一般步骤： 1.设动点坐标，将向量点积转化为x₁x₂y₁y₂的代数形式。 2.代入韦达定理消去变量，得到单变量函数，结合参数的已知范围求值域。 【例题精讲】 1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)判断过点是否能作的一条切线，并说明理由； (2)设，若函数有两个零点，，且． （i）求证：； （ii）记点，若轴上存在两个横坐标大于的点，使得四点共圆，求的取值范围． 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 4．（25-26高二上·河北·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． (1)若，，求曲线，的方程. (2)若，，证明：为定值. (3)若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. (1)求交点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； (3)若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 题型五、纯参数（斜率/截距/离心率）范围 一般步骤： 1.利用判别式大于0构造不等式，得到参数的初步约束。 2.结合题目给出的几何条件，补充额外不等关系，联立求解得到最终范围。 【例题精讲】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与抛物线交于异于原点的两点，． (1)若，，求证：； (2)若，过作的垂线，垂足为，求的取值范围． 2．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 3．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 4．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 5．（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 6．（25-26高二下·重庆·期中）椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值范围． 【真题回顾】 1．（2007·四川·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标； (2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 4．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 5．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $