进阶第7讲 直线与方程重点题型全归纳 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第7讲 直线与方程重点题型全归纳 目 录 题型01 直线与线段有交点问题 题型02 斜率公式及几何意义 题型03 两条直线平行与垂直 题型04 截距式方程与直线过定点 题型05 直线的交点坐标 题型06 距离公式及最值范围问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 直线与线段有交点问题 题型点拨 倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而增大 【典例1】（25-26·广东阳江）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 题型2 斜率公式及几何意义 题型点拨 解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 【典例1】（25-26·河南周口）已知，平面内三点共线，则 ． 题型3 两条直线平行与垂直 题型点拨 1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3、一般式方程下的平行与垂直 （1）平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若 ② （2）平行与垂直的直线系方程 ①平行直线系：与直线平行的直线方程可设为，否则时两直线重合，不是平行直线． ②垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 【典例1】（25-26·广西南宁）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·福建龙岩）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【变式2】（25-26·湖南衡阳）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型4 截距式方程与直线过定点 题型点拨 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 【典例1】（25-26·湖南）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为( ) A． B． C．5 D．10 【变式1】（25-26·福建泉州）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 题型5 直线的交点坐标 题型点拨 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0），则我们将直线方程（其中为参数，且）称为经过直线与交点的直线系方程．当时，此方程即为直线的方程；当时，此方程即为直线的方程． 【典例1】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·上海）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 题型6 距离公式及最值范围问题 题型点拨 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离，是直线外一点到直线上各点所连线段长度的最小值，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 【典例1】若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则的最小值为 . 【变式2】设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 强化训练（共10题） 1．（25-26·广东惠州）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·山东临沂）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 3．（25-26·山西大同）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26·重庆）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 6．（25-26·福建龙岩）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 7．（25-26·辽宁沈阳）对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为 ． 8．已知函数，则的最小值为 ． 9．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 10．（25-26·山东）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 知识小测（共5题） 1．（25-26·福建莆田）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26·上海）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26·湖南株洲）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（多选）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知两直线，，若，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 直线与方程重点题型全归纳 目 录 题型01 直线与线段有交点问题 题型02 斜率公式及几何意义 题型03 两条直线平行与垂直 题型04 截距式方程与直线过定点 题型05 直线的交点坐标 题型06 距离公式及最值范围问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 直线与线段有交点问题 题型点拨 倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而增大 【典例1】（25-26·广东阳江）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 【变式1】经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 题型2 斜率公式及几何意义 题型点拨 解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 【典例1】（25-26·河南周口）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 题型3 两条直线平行与垂直 题型点拨 1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3、一般式方程下的平行与垂直 （1）平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若 ② （2）平行与垂直的直线系方程 ①平行直线系：与直线平行的直线方程可设为，否则时两直线重合，不是平行直线． ②垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 【典例1】（25-26·广西南宁）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 【变式1】（25-26·福建龙岩）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 【变式2】（25-26·湖南衡阳）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 题型4 截距式方程与直线过定点 题型点拨 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 【典例1】（25-26·湖南）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 【典例2】已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为( ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 【变式1】（25-26·福建泉州）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 【答案】 【分析】确定直线过定点，再结合结合直线垂直的斜率公式，即可求解. 【详解】 可得：， 令可得：， 所以直线过定点， 当时，两点间的距离即为最大值， 又,所以， 所以直线方程为，即. 故答案为： 题型5 直线的交点坐标 题型点拨 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0），则我们将直线方程（其中为参数，且）称为经过直线与交点的直线系方程．当时，此方程即为直线的方程；当时，此方程即为直线的方程． 【典例1】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 【变式1】（25-26·上海）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 题型6 距离公式及最值范围问题 题型点拨 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离，是直线外一点到直线上各点所连线段长度的最小值，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 【典例1】若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 【变式1】已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2】设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助反证法证明即可得； （2）联立两直线可解出交点坐标，再借助两点间距离公式计算即可得证. 【详解】（1）假设直线与不相交，则直线与平行或重合，有， 又，得，此时无实数解，从而，即直线与相交； （2）设直线与的交点为点， 解方程组，得，则点， 设原点为， 则， 即直线与的交点到原点的距离为定值1． 强化训练（共10题） 1．（25-26·广东惠州）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，再结合图形求出斜率的取值范围即可. 【详解】解：因为P，， 所以， 因为直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或 故直线的斜率的范围为. 故选：D. 2．（25-26·山东临沂）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 3．（25-26·山西大同）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 4．已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1，由题可得与平行，则与之间的距离为与之间距离的，据此可得答案；方法2，注意到A，B 的选取对直线方程无影响，为此取，可得方程，据此可得答案. 【详解】方法1，直线的方程可化为，又，故直线与平行． 如图，过A作于点，交直线于点，则为所求直线与的距离． 因为，，所以．    方法2，由方法1，直线与平行，则A，B 的选取对直线方程无影响， 不妨设，因为为AB上靠近点的四等分点，则， 设，则. 设直线的方程为，将点的坐标代入，得， 则，故直线与之间的距离． 故选：B 5．（25-26·重庆）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】直线，即，由得点， 设与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 6．（25-26·福建龙岩）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 【答案】1 【分析】根据题意直线方程可得，，分析可知，即可得结果. 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 7．（25-26·辽宁沈阳）对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程先求解出直线所过的定点，然后考虑直线经过点、与定点的连线垂直直线，由此确定出的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以直线过定点， 当直线经过时，此时，即，故， 当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明： 当与直线垂直时，记直线为， 当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为， 过作交于点，如下图所示， 由图可知：为直角三角形且为斜边，所以， 所以取最大值时，与直线垂直，故， 但此时的方程为，即为， 此时无论取何值都无法满足要求，故取不到， 所以， 故答案为：. 8．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 9．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 10．（25-26·山东）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)的周长为，直线的方程 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【详解】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 知识小测（共5题） 1．（25-26·福建莆田）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 2．（25-26·上海）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 3．（25-26·湖南株洲）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时，可得出，当时，得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，，，此时，所以可以推出， 若，由，解得或， 当，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（多选）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，分别求得直线过点以及点的斜率，再结合图像，即可得到结果. 【详解】 设直线的斜率为， 如图，过定点的直线经过点时，直线在轴上的截距为3，此时； 过定点的直线经过点时，直线在轴的截距为，此时， 满足条件的直线的斜率范围是． 故选：BD 5．已知两直线，，若，则 . 【答案】或 【分析】根据一般式方程两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且 所以，解得或. 故答案为：或 学科网（北京）股份有限公司 $