直线和圆的方程：曼哈顿距离问题、切比雪夫距离问题、阿波罗尼斯圆问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线和圆的方程：曼哈顿距离问题、切比雪夫距离问题、阿波罗尼斯圆问题讲义 直线和圆的方程：曼哈顿距离问题、切比雪夫距离问题、阿波罗尼斯圆问题讲义 考点目录 曼哈顿距离问题 切比雪夫距离问题 阿波罗尼斯圆问题 考点一 曼哈顿距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与公式 平面内两点 、 的曼哈顿距离，定义为两点在横、纵坐标轴上投影的距离之和，也叫 距离： 1. 几何意义 又称为出租车距离：在只能沿平行于坐标轴的街道行走的网格中，从一点到另一点的最短路径长度，等于曼哈顿距离。 · 与欧氏距离的区别：欧氏距离是直线最短距离，曼哈顿距离是沿网格的最短路径，路径不唯一但长度唯一。 1. 等距线特征 到定点 的曼哈顿距离等于定值 的点的轨迹，是对角线平行于坐标轴的正方形： · 正方形中心为 ，对角线长为 ，边长为 ； · 四个顶点分别在 的上下左右四个坐标轴方向上。 1. 核心性质 · 满足距离公理：非负性、对称性、三角不等式； · 可拆分性：横、纵方向的距离相互独立，可分别计算再求和。 二、常见题型 1. 网格路径问题：方格纸中沿格线行走的最短路径长度、路径计数； 1. 绝对值函数最值：形如 的最值，可拆分为 、 两部分分别求最小值再相加； 1. 选址问题：到多个点的曼哈顿距离之和最小的点的位置（中位数点）。 三、解题思路 1. 坐标化：写出各点坐标，代入曼哈顿距离公式； 1. 拆分计算：横、纵方向的距离分别处理，分别计算再求和； 1. 最值问题：利用绝对值不等式，或结合等距线的几何意义找临界点； 1. 复杂问题可通过坐标变换转化为切比雪夫距离简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得， 则圆心，半径， 设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形， 其中，则， 则，所以的最大值为. 故选：D. 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“好点”的定义逐个验证即可. 【详解】对于A，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于B，设， 则， ， 所以， 所以点是的“好点”； 对于C，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于D，设， 则， 所以点不是的“好点”. 故选：B. 例3．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测·多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 【答案】CD 【分析】由曼哈顿距离的定义即可判断A；令直线a上任意点为，可得到点与直线上任意一点的曼哈顿距离的表达式，可判断B；设动点坐标，采用分类讨论的方法确定动点轨迹，数形结合进行求解，判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令直线a上任意点为， 则， 则当时，的最小值为1，B错误； 对于C，设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则； 则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形： 则的轨迹围成图形的面积是，C正确； 对于D，，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小， 由此可得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则M点轨迹如图示： 则的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确， 故选：CD 【点睛】关键点睛：对于动点的轨迹问题，解答时先设动点坐标，可得满足的方程，利用分类讨论确定动点轨迹，数形结合，即可求解. 例4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，    则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是将点的曼哈顿距离转化为图形，从而利用数形结合即可得解. 例5．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值与最小值之和为_________． 【答案】 【分析】设点，然后列出，由不同的取值，化简，然后利用辅助角公式化简，由三角函数的单调性求得最值，从而得到答案. 【详解】设， 由题意可知， ∵，∴， 取，则， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， 当，取， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， ∴当时，取最大值，当时，取最小值， ∴的最大值与最小值之和为， 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，利用题意得到，然后三角换元，表示，然后化简求最值即可. 【详解】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 变式2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值. 【详解】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D 变式3．（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测·多选）“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．下列命题是真命题的是（    ） A．若点，，则的值可能是3 B．若点，，则在轴上存在点，使得 C．若点， ，，则在线段上存在点，使得 D．若点在曲线上，点在直线上，则的值可能为3 【答案】BD 【分析】由题意得到，并利用绝对值的性质化简得到最小值，判断A选项；设得到表达式，令，通过讨论的不同取值，去掉绝对值符号后解得，即可判断B选项；由两点坐标得到线段的直线方程，设点坐标后得到，由参数的取值范围去掉绝对值即可判断C选项；取特殊点，点即可判断D选项. 【详解】由题意可知， ∵，，∴，A选项错误； 设，则， 令，即， 当时，，即， 当时，，无解， 当时，，即， ∴在轴上存在两个不同点，使得，B选项正确； ，∴线段，令， 则，C选项错误； 取，，则，D选项正确. 故选：BD. 变式4．（25-26高三上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为________；若为圆上任意一点，则最大值是________. 【答案】 8 / 【分析】根据新定义，分类讨论去绝对值，可得点的轨迹，据此求出所围正方形的面积，再利用圆的性质结合点的轨迹求最大值. 【详解】由题设， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如图所示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段上存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 变式5．（24-25高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 考点二 切比雪夫距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与公式 平面内两点 、 的切比雪夫距离，定义为两点在横、纵坐标轴上投影距离的最大值，也叫 距离： 1. 几何意义 又称为国王距离：国际象棋中，国王可以横、竖、斜走一格，从一点到另一点的最少步数，等于切比雪夫距离。 1. 等距线特征 到定点 的切比雪夫距离等于定值 的点的轨迹，是边平行于坐标轴的正方形： · 正方形中心为 ，边长为 ； · 四条边分别平行于 轴、 轴。 1. 核心技巧：坐标转化 通过坐标变换 ，（坐标旋转45°+缩放），可实现曼哈顿距离与切比雪夫距离的相互转化，是解题的关键技巧： · 原坐标系中的曼哈顿距离问题，可转化为新坐标系中的切比雪夫距离问题； · 原坐标系中的切比雪夫距离问题，可转化为新坐标系中的曼哈顿距离问题。 作用：将不熟悉的距离形式转化为熟悉的形式，大幅简化最值计算。 二、常见题型 1. 棋盘移动问题：最少步数、覆盖范围； 1. 矩形覆盖、正方形边界问题； 1. 结合坐标转化的距离最值问题。 三、解题思路 1. 直接套用公式计算两点的切比雪夫距离； 1. 最值问题优先尝试坐标转化，转为更熟悉的距离模型； 1. 结合等距线的正方形特征，分析边界与极值。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出点，再利用切比雪夫距离的定义，即可求解. 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 例2．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点、 的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到 直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题： ① 对任意三点、、，都有； ② 已知点和直线，则； ③ 定点、，动点满足（）， 则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】设，由题意可得： 同理可得：,则： ， 命题①成立； 设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x,2x-1），可得， 由，解得，即有，当时取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最小值. 综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为. 说法②正确. 定点、，动点满足（），则： ， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0. (1)当时，有，得：； (2)当时，有，此时无解； (3)当时，有； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.    结合图象可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确. 综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3. 本题选择D选项. 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 例3．（25-26高二上·广东·期中·多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．对任意平面内的三点A、B、C，都有 C．平面内到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”都等于1的点只有4个 D．已知点和直线l：，则 【答案】BCD 【分析】A.根据新定义，直接求，B.首先根据坐标写出，再根据绝对值不等式的性质，即可判断；C.根据距离转化为轨迹问题，即可判断；D.根据新定义，求的最小值，即可判断. 【详解】A. ，，，， 所以，故A错误； B.设，，， ， ， 同理， 所以，故B正确； C.设点，到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等切距离为1的点为，则到定点的距离为1的点的轨迹是单位圆，到的“切比雪夫距离”的距离为1的点，所以，即或，点的轨迹是正方形，所以只有四个点，，，符合要求，故C正确； D. 设为直线上任一点， ，当时，得或，此时， 当，得，此时， 所以的最小值为，即，故D正确. 故选：BCD 例4．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 例5．（25-26高二上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为______． 【答案】①②③ 【详解】①讨论，,三点共线，以及不共线的情况，结合图像和新定义，即可判断； ②设点Q是直线上一点，且，则．由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，此时的范围是，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为． ③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断； 综上，①②③正确． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·上海浦东·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题： ①对任意三点、、，都有； ②已知点和直线，则； ③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4； 其中真命题的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由新定义表示出三点两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①， 由新定义计算出，判断②， 根据新定义求出的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设，则， ， 显然，同理， ∴，①正确； ②设是直线上任一点，则， ，易知在上是增函数，在上是减函数，∴时，，②错； ③由得，易知此曲线关于轴，轴，原点都对称，它是以为顶点的正方形，其转成图形面积为，③错． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解． 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测·多选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（    ） A．对任意三点，都有 B．点满足，则点组成的图形面积为4 C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D．点.到直线的“切比雪夫距离” 【答案】ABD 【分析】讨论三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断A；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断B；讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断C；分同号和异号利用距离新定义可得D. 【详解】对于A，对任意三点，若它们共线，设、、， 如下图，结合三角形相似可得或，或，或， 若，则，， 若，则，， 所以；    若、或、对调，可得； 若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ； 则对任意的三点、、，都有，故A正确；    对于B，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，若，则； 若，则，故所求轨迹是正方形，面积为4，故B正确； 对于C，定点、，动点，满足， 可得不在上，在线段间成立，可得，解得. 由对称性可得也成立，即有两点满足条件；    若在第一象限内，满足，即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故C错误. 对于D，对于直线，若同号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以； 同理，若异号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以，故D正确.    故选：ABD. 变式3．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为______． 【答案】16 【详解】由前文知点P的轨迹是边长为4的正方形，则轨迹长度之和为16． 变式4．（25-26高二上·广东韶关·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6 【分析】由条件确定与两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可. 【详解】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时， 所以，由方程组，解得，， 所以，，两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6. 考点三 阿波罗尼斯圆问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 平面内到两个定点 、 的距离之比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是一个圆，称为阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆）。 · 特例：当 时，轨迹是线段 的垂直平分线，不是圆。 1. 标准模型与参数 设两定点 、，动点 满足 （）： · 圆心在 所在直线（ 轴）上，坐标为 ； · 半径 ； · 圆与直线 的两个交点，是线段 的内分点和外分点，分比均为 。 1. 核心性质 · 阿氏圆上任意一点到 、 的距离比恒为 ； · 与角平分线定理关联：、 分别是 的内角、外角平分线。 二、常见题型 1. 轨迹问题：已知距离比条件，求动点的轨迹方程； 1. 线段最值问题：形如 的最值（），利用阿氏圆将 转化为等长线段，再用“两点之间线段最短”求解； > 区分： 时是将军饮马模型（对称转化）， 时是阿氏圆模型。 1. 几何证明：比例线段、角平分线相关证明。 三、解题思路 1. 确定两个定点与距离比 ，先判断 是否等于1，排除中垂线的情况； 1. 轨迹问题：设动点坐标，代入距离比条件，平方化简得圆的方程； 1. 最值问题： ① 识别阿氏圆，确定比例系数； ② 利用阿氏圆性质，将带系数的线段转化为共线线段； ③ 三点共线时取最值，结合两点间距离计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东烟台·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，若圆上存在点，使，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列式，化简可得，点M在以为圆心，1为半径的圆上，由圆上存在点，使，得两圆位置关系，利用圆心距和两圆半径的关系，求得实数的取值范围. 【详解】设点. 则，化简得，即. 所以点M在以为圆心，1为半径的圆上. 根据题意，有，即.. 化简，得，解得. 故实数的取值范围为. 故选：C. 例2．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 例3．（25-26高二上·黑龙江·期中·多选）已知平面上两点，则所有满足的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中两点，，点满足，设点所构成的曲线为，则（     ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点的到直线的最小距离为 C．曲线上任意点，则的最大值为 D．曲线上任意点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A设，由，利用两点间距离公式化简即可判断，对于B利用点到直线的距离公式即可判断，对于C设，利用点到直线的距离即可判断，对于D根据表示圆上点到原点距离的平方，利用点到圆心距离与半径的关系求解. 【详解】对于A： 设，则 ，整理可得，故A正确； 对于B： 圆圆心，半径，圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线最小距离为，故B错误； 对于C：设，则，解得，所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，，， 所以， 所以则的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 例4．（25-26高二上·河南郑州·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后人以他名字将此圆命名为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，直线：，直线：，若Q为与的交点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】首先根据阿波罗尼斯圆的定义求出点P的轨迹方程，再确定直线与的交点Q的轨迹，最后根据点与圆的位置关系求出的最大值. 【详解】设，由得到，， 化简得到，因此，点P的轨迹是以为圆心、半径的圆， 直线：，变形为，则直线恒过定点， 直线：，变形为，则直线恒过定点， 又因为，所以， 则点Q的轨迹是以和为直径端点的圆，圆心坐标为 ，半径为, 两圆的圆心距为，两圆内含. 根据点与圆的位置关系，的最大值等于两圆的圆心距加上两圆的半径之和， 即. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·四川成都·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，，即， 整理得，则，解得，即， 点到直线的距离为， 由得， 当且仅当三点共线时取等号， 此时直线的斜率为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线， 所以的最小值为.    故答案为： 【变式训练】 变式1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 变式2．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得到轨迹方程，并得到，表达出，当时，面积最大，求出，，由余弦定理得到答案. 【详解】由题意设，，， 由得：， 化简得，故， ∵，∴当时，面积最大， 此时不妨设，则，. ∴. 故选：D. 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期中·多选）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（   ） A．点的轨迹的方程是 B．直线与点的轨迹相离 C．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 D．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是 【答案】AC 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】对于A，设，由可得，整理得，故A正确； 对于B，方程可变形为，圆心为，半径，     圆心到直线的距离为， 所以直线与点的轨迹相交，故B错误； 对于C，点在圆内，且到圆心的距离， 当直线与垂直时，圆被直线所截得的弦长最小， 此时点到直线的距离即为， 所以弦长，故C正确； 对于D，四边形的面积， 当最小时，最小，的最小值即为点到直线的距离即， 所以，故D错误. 故选：AC 变式4．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）阿波罗尼斯（公元前262年～公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例如：已知平面上两点，，则所有满足的点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用给定关系列式化简即可得点的轨迹方程. 【详解】设点，由，得， 两边平方得，所以， 所以，整理得. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·安徽亳州·期末）对于一个圆，若点使得圆上任意一点都满足为常数，则称是一对与此圆对应的阿波罗尼斯点.已知点为圆上任意一点，点与点是一对与圆对应的阿波罗尼斯点，则__________. 【答案】 【分析】根据阿波罗尼斯点的定义设出点的坐标，再结合点在圆上，利用两点间距离公式列出等式，通过等式恒成立即可求出. 【详解】点与点是一对与圆对应的阿波罗尼斯点，设 设，则， ，两边同时平方得， 把代入得， ，，， 即，解得或， 又，，，. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线和圆的方程：曼哈顿距离问题、切比雪夫距离问题、阿波罗尼斯圆问题讲义 直线和圆的方程：曼哈顿距离问题、切比雪夫距离问题、阿波罗尼斯圆问题讲义 考点目录 曼哈顿距离问题 切比雪夫距离问题 阿波罗尼斯圆问题 考点一 曼哈顿距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与公式 平面内两点 、 的曼哈顿距离，定义为两点在横、纵坐标轴上投影的距离之和，也叫 距离： 1. 几何意义 又称为出租车距离：在只能沿平行于坐标轴的街道行走的网格中，从一点到另一点的最短路径长度，等于曼哈顿距离。 · 与欧氏距离的区别：欧氏距离是直线最短距离，曼哈顿距离是沿网格的最短路径，路径不唯一但长度唯一。 1. 等距线特征 到定点 的曼哈顿距离等于定值 的点的轨迹，是对角线平行于坐标轴的正方形： · 正方形中心为 ，对角线长为 ，边长为 ； · 四个顶点分别在 的上下左右四个坐标轴方向上。 1. 核心性质 · 满足距离公理：非负性、对称性、三角不等式； · 可拆分性：横、纵方向的距离相互独立，可分别计算再求和。 二、常见题型 1. 网格路径问题：方格纸中沿格线行走的最短路径长度、路径计数； 1. 绝对值函数最值：形如 的最值，可拆分为 、 两部分分别求最小值再相加； 1. 选址问题：到多个点的曼哈顿距离之和最小的点的位置（中位数点）。 三、解题思路 1. 坐标化：写出各点坐标，代入曼哈顿距离公式； 1. 拆分计算：横、纵方向的距离分别处理，分别计算再求和； 1. 最值问题：利用绝对值不等式，或结合等距线的几何意义找临界点； 1. 复杂问题可通过坐标变换转化为切比雪夫距离简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测·多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 例4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________． 例5．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值与最小值之和为_________． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测·多选）“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．下列命题是真命题的是（    ） A．若点，，则的值可能是3 B．若点，，则在轴上存在点，使得 C．若点， ，，则在线段上存在点，使得 D．若点在曲线上，点在直线上，则的值可能为3 变式4．（25-26高三上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为________；若为圆上任意一点，则最大值是________. 变式5．（24-25高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 考点二 切比雪夫距离问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与公式 平面内两点 、 的切比雪夫距离，定义为两点在横、纵坐标轴上投影距离的最大值，也叫 距离： 1. 几何意义 又称为国王距离：国际象棋中，国王可以横、竖、斜走一格，从一点到另一点的最少步数，等于切比雪夫距离。 1. 等距线特征 到定点 的切比雪夫距离等于定值 的点的轨迹，是边平行于坐标轴的正方形： · 正方形中心为 ，边长为 ； · 四条边分别平行于 轴、 轴。 1. 核心技巧：坐标转化 通过坐标变换 ，（坐标旋转45°+缩放），可实现曼哈顿距离与切比雪夫距离的相互转化，是解题的关键技巧： · 原坐标系中的曼哈顿距离问题，可转化为新坐标系中的切比雪夫距离问题； · 原坐标系中的切比雪夫距离问题，可转化为新坐标系中的曼哈顿距离问题。 作用：将不熟悉的距离形式转化为熟悉的形式，大幅简化最值计算。 二、常见题型 1. 棋盘移动问题：最少步数、覆盖范围； 1. 矩形覆盖、正方形边界问题； 1. 结合坐标转化的距离最值问题。 三、解题思路 1. 直接套用公式计算两点的切比雪夫距离； 1. 最值问题优先尝试坐标转化，转为更熟悉的距离模型； 1. 结合等距线的正方形特征，分析边界与极值。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 例2．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点、 的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到 直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题： ① 对任意三点、、，都有； ② 已知点和直线，则； ③ 定点、，动点满足（）， 则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 例3．（25-26高二上·广东·期中·多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．对任意平面内的三点A、B、C，都有 C．平面内到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”都等于1的点只有4个 D．已知点和直线l：，则 例4．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 例5．（25-26高二上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为______． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·上海浦东·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题： ①对任意三点、、，都有； ②已知点和直线，则； ③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4； 其中真命题的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测·多选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（    ） A．对任意三点，都有 B．点满足，则点组成的图形面积为4 C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D．点.到直线的“切比雪夫距离” 变式3．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为______． 变式4．（25-26高二上·广东韶关·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 考点三 阿波罗尼斯圆问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 平面内到两个定点 、 的距离之比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是一个圆，称为阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆）。 · 特例：当 时，轨迹是线段 的垂直平分线，不是圆。 1. 标准模型与参数 设两定点 、，动点 满足 （）： · 圆心在 所在直线（ 轴）上，坐标为 ； · 半径 ； · 圆与直线 的两个交点，是线段 的内分点和外分点，分比均为 。 1. 核心性质 · 阿氏圆上任意一点到 、 的距离比恒为 ； · 与角平分线定理关联：、 分别是 的内角、外角平分线。 二、常见题型 1. 轨迹问题：已知距离比条件，求动点的轨迹方程； 1. 线段最值问题：形如 的最值（），利用阿氏圆将 转化为等长线段，再用“两点之间线段最短”求解； > 区分： 时是将军饮马模型（对称转化）， 时是阿氏圆模型。 1. 几何证明：比例线段、角平分线相关证明。 三、解题思路 1. 确定两个定点与距离比 ，先判断 是否等于1，排除中垂线的情况； 1. 轨迹问题：设动点坐标，代入距离比条件，平方化简得圆的方程； 1. 最值问题： ① 识别阿氏圆，确定比例系数； ② 利用阿氏圆性质，将带系数的线段转化为共线线段； ③ 三点共线时取最值，结合两点间距离计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东烟台·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，若圆上存在点，使，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·黑龙江·期中·多选）已知平面上两点，则所有满足的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中两点，，点满足，设点所构成的曲线为，则（     ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点的到直线的最小距离为 C．曲线上任意点，则的最大值为 D．曲线上任意点，则的取值范围为 例4．（25-26高二上·河南郑州·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后人以他名字将此圆命名为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，直线：，直线：，若Q为与的交点，则的最大值为__________． 例5．（25-26高二上·四川成都·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 【变式训练】 变式1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期中·多选）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（   ） A．点的轨迹的方程是 B．直线与点的轨迹相离 C．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 D．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是 变式4．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）阿波罗尼斯（公元前262年～公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例如：已知平面上两点，，则所有满足的点的轨迹方程为______. 变式5．（25-26高二上·安徽亳州·期末）对于一个圆，若点使得圆上任意一点都满足为常数，则称是一对与此圆对应的阿波罗尼斯点.已知点为圆上任意一点，点与点是一对与圆对应的阿波罗尼斯点，则__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $