2.4 圆的方程9题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学圆的方程核心知识点，系统梳理圆的标准方程（含圆心、半径及原点特例）、一般方程（条件及图形判断）、点与圆位置关系（距离与方程两种判断方法），并通过9类题型构建从定义到应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，涵盖对称、轨迹等问题，例题结合月牙形、三角形外接圆等情境，培养数学思维的逻辑性与推理能力，发展几何直观的数学眼光，助力学生用数学语言表达现实问题。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.4 圆的方程9题型分类 一、圆的标准方程 1．圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 二、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心,以为半径的圆 （一） 求圆的标准方程 1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： 2．几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程． 3．求圆的标准方程的策略: 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 题型1：求圆的标准方程 1．（2026高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2．（2026高二·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3．（2026·广东·模拟预测）如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 4．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【详解】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况：    故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 题型2：由圆的方程求圆心或半径 5．（2026高二·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 6．（2026高一·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 7．（2026高二·湖南郴州·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据圆的标准方程得到答案即可. 【详解】由题意得圆， 化简可得，则圆心坐标为, 故选：C 8．（2026高二·广东佛山·阶段检测）曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 【答案】C 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：C. 题型3：与圆有关的对称问题 9．（2026高一·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 10．（2026高二·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称后圆心关于直线对称，半径不变可求出圆的方程。 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆半径为，设圆圆心为， 则两圆圆心连线的中点在直线上 ，且两圆心所在直线与直线垂直， 故，解得 ，所以圆圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B 11．（2026高二·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，即可写出标准方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 故答案为： 12．（2026高二·山东菏泽·阶段检测）圆与圆关于直线对称，则圆的方程为______． 【答案】/ 【分析】先求出圆心关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 故圆心关于直线的对称点为， 则对称圆的方程为． 故答案为： （二） 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系： 1．代数法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． 假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内；d=r点在圆上；d＞r点在圆外. 2． 几何法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 点P（x1,y1)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系： （1）当(x1- a)²+(y1-b)²＞r²时，则点P在圆外. （2）当(x1- a)²+(y1-b)²=r²时，则点P在圆上. （3）当(x1- a)²+(y1-b)²＜r²时，则点P在圆内. 题型4：判断点与圆的位置关系 13．【多选】（2026高二·全国·课后作业）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答. 【详解】对于A，，点在圆内； 对于B，，点在圆外； 对于C，，在圆上； 对于D，，在圆内. 故选：ACD 14．（2026高二·河北邯郸·阶段检测）若点在圆内，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】由关于的二次方程表示圆可得或，又由点在圆内可得，取交集即可. 【详解】解：由题可知， 解得或， 又因为点在圆内，所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（2026高二·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外. 【详解】因为，所以点在圆外， 故选：C 16．（2026高二·上海浦东新·阶段检测）若点在圆外，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案． 【详解】点在圆外， ，且， 解得或． 实数的取值范围为． 故答案为：. （三） 圆的一般方程的辨析 圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 圆的一般方程的辨析: (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不是圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 题型5：圆的一般方程的辨析 17．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆整理可得， 可知圆心为，半径，且， 若圆不经过第三象限， 等价于原点不在圆内，则，可得， 且是的真子集， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件. 故选：B. 18．（2026高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 19．（2026高二·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 20．（2026高二·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将圆化为标准形式，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 21．【多选】（2026高二·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【分析】化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. （四） 求圆的一般方程 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 题型6：求圆的一般方程 22．在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【分析】设出的外接圆的方程，利用待定系数法求出圆的方程． 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 23．（2026高三·全国·专题练习）过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 24．（2026高二·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 25．（2026·天津北辰·模拟预测）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 26．（2026高二·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 题型7：圆过定点问题 27．（2026高二·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 28．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 29．（2026高二·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 30．（2026高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 31．（2026高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. （五） 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 题型8：与圆有关的最值问题 32．（2026高二·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 33．（2026高一·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 34．【多选】（2026高二·陕西·阶段检测）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 35．（2026高二·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点到圆心的距离，再利用圆的性质求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为. 故选：A 36．（2026高二·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 37．（2026高二·上海·阶段检测）已知圆上一点，则的最大值为______. 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 38．（2026高二·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D （六） 求动点的轨迹方程 1、求动点的轨迹方程常用方法“四步一回头”： 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x,y). （2）写出适合条件的点M的集合P=P{M|P(M)}. （3）将P(M)“翻译”成代数方程f(x,y)=0. （4）化简代数方程f(x,y)=0为最简形式. 一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程. 2、求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 题型9：求动点的轨迹方程 39．（2026高二·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 40．（2026高一·广西玉林·期中）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 41．（2026高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 42．（2026·四川广元·模拟预测）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 43．（2026高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【答案】(1) (2)，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【分析】（1）设圆心的坐标为，通过半径列出等式求解即可； （2）设线段中点，由中点坐标公式求得坐标，代入（1）所得方程即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为， 则有， 整理求得，故圆心为， 半径r满足， 则圆P的方程为. （2）设线段中点，， 由可知，， ∵点C在圆上运动，∴， ∴的轨迹方程为. ∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 44．（2026高二·上海奉贤·阶段检测）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________. 【答案】 【分析】设点，则，由，所以，代入，即可求解. 【详解】设点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即. 因此点P的轨迹方程是. 故答案为： 45．（2026高二·山东枣庄·期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长． 【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，      则，设点， 由，得，化简并整理得：， 于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为， 所以M点的轨迹长为. 故选：A. 1．（2026·北京）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2026·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 4．（2026高三·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为圆， 所以圆，则圆心坐标为，半径， 因为半径，所以，化简得：， 解得，又因为，所以， 若圆不经过第四象限，则圆心到轴的距离要大于等于半径， 即，移项可得：，解得：或， 又因为，可得，所以可推出， 所以是的充分条件， 当时，不满足，所以是的不必要条件， 综上，圆不经过第四象限是的充分不必要条件. 7．（河北衡水中学2024届高三学期一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 8．【多选】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 9．（2026高二·全国·课后作业）已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心的坐标，然后结合题意以及中点坐标公式即可求解. 【详解】由可得，所以圆心， 设，又因为，是圆的一条直径，则由中点坐标公式得，解得， 所以点的坐标为． 10．（2026高二·安徽·阶段检测）圆关于直线对称的圆的标准方程为____. 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点的坐标后可得． 【详解】将圆整理得，则圆心为，半径. 设圆心关于直线的对称点为， 所以解得， 所以所求对称圆的标准方程为． 故答案为：． 11．（2026高二·安徽·阶段检测）已知动点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】画出点对应轨迹的图象，结合两点间的距离公式确定正确答案. 【详解】依题意，动点满足， 即：当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 由此画出点对应的轨迹如下图所示， 表示点与点两点间距离的平方， 最大值为. 故答案为：    12．（2026高三·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 13．（2026高二·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 14．（2026高二·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 15．（2026高二·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 16．（2026高二·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 17．（2026高二·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 18．（2026高二·福建·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可设，由求得的值，从而得到圆心坐标及半径，求出圆的方程； （2）设点的坐标为，根据两点间距离公式，结合圆的方程可证得为定值. 【详解】（1）由题可设，由得，解得. 所以圆心，半径. 所以圆的方程为. （2）设，则. . 即为定值. 19．（2026高二·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求边的中点为，结合直线的两点式方程运算求解； （2）设的外接圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.4 圆的方程9题型分类 一、圆的标准方程 1．圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 二、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心,以为半径的圆 （一） 求圆的标准方程 1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： 2．几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程． 3．求圆的标准方程的策略: 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 题型1：求圆的标准方程 1．（2026高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·模拟预测）如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 4．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 题型2：由圆的方程求圆心或半径 5．（2026高二·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 6．（2026高一·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 7．（2026高二·湖南郴州·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·广东佛山·阶段检测）曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 题型3：与圆有关的对称问题 9．（2026高一·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 10．（2026高二·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 12．（2026高二·山东菏泽·阶段检测）圆与圆关于直线对称，则圆的方程为______． （二） 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系： 1．代数法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． 假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内；d=r点在圆上；d＞r点在圆外. 2． 几何法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 点P（x1,y1)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系： （1）当(x1- a)²+(y1-b)²＞r²时，则点P在圆外. （2）当(x1- a)²+(y1-b)²=r²时，则点P在圆上. （3）当(x1- a)²+(y1-b)²＜r²时，则点P在圆内. 题型4：判断点与圆的位置关系 13．【多选】（2026高二·全国·课后作业）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·河北邯郸·阶段检测）若点在圆内，则实数的取值范围为________. 15．（2026高二·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 16．（2026高二·上海浦东新·阶段检测）若点在圆外，则实数a的取值范围是______. （三） 圆的一般方程的辨析 圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 圆的一般方程的辨析: (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不是圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 题型5：圆的一般方程的辨析 17．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2026高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 19．（2026高二·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 20．（2026高二·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 21．【多选】（2026高二·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 （四） 求圆的一般方程 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 题型6：求圆的一般方程 22．在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 23．（2026高三·全国·专题练习）过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 25．（2026·天津北辰·模拟预测）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 26．（2026高二·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 题型7：圆过定点问题 27．（2026高二·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 28．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 29．（2026高二·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 30．（2026高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． （五） 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 题型8：与圆有关的最值问题 32．（2026高二·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 33．（2026高一·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．【多选】（2026高二·陕西·阶段检测）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 35．（2026高二·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 36．（2026高二·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高二·上海·阶段检测）已知圆上一点，则的最大值为______. 38．（2026高二·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 （六） 求动点的轨迹方程 1、求动点的轨迹方程常用方法“四步一回头”： 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x,y). （2）写出适合条件的点M的集合P=P{M|P(M)}. （3）将P(M)“翻译”成代数方程f(x,y)=0. （4）化简代数方程f(x,y)=0为最简形式. 一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程. 2、求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 题型9：求动点的轨迹方程 39．（2026高二·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 40．（2026高一·广西玉林·期中）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 41．（2026高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 42．（2026·四川广元·模拟预测）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（2026高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 44．（2026高二·上海奉贤·阶段检测）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________. 45．（2026高二·山东枣庄·期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·北京）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 4．（2026高三·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（河北衡水中学2024届高三学期一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 9．（2026高二·全国·课后作业）已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 10．（2026高二·安徽·阶段检测）圆关于直线对称的圆的标准方程为____. 11．（2026高二·安徽·阶段检测）已知动点满足，则的最大值为___________． 12．（2026高三·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 13．（2026高二·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 14．（2026高二·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 15．（2026高二·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为__________. 16．（2026高二·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 17．（2026高二·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 18．（2026高二·福建·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 19．（2026高二·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $