圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程讲义 圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程讲义 考点目录 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的轨迹方程 考点一 圆的标准方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方程来源：圆的几何定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径。 1. 标准方程形式 若圆心坐标为 ，半径为 ，则圆的标准方程为： · 核心参数： 为圆心坐标， 为半径（）； · 方程本质：圆上任意一点 到圆心的距离恒等于半径。 1. 特殊形式 当圆心在坐标原点 时，标准方程简化为： 1. 优势与适用场景 · 直接体现圆心和半径，几何意义清晰； · 适合分析圆的位置关系、切线、弦长等几何问题。 二、高频易错点 · 圆心坐标符号记反：误将 的圆心认为是 ，实际为 ； · 忽略半径为正： 必须为正数，方程才表示实圆； · 平方漏写：右边是半径的平方，不是半径本身。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 考点二 圆的一般方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 推导：标准方程展开 将标准方程 展开整理： · 令 ，，，得到一般方程。 1. 一般方程形式 · 核心特征：① 与 的系数相等且不为 0；② 不含 交叉项。 这两个条件是判断二元二次方程是否表示圆的必要条件。 1. 配方还原与成立条件 将一般方程配方，可转化为标准形式： · 圆心坐标： · 半径： · 成立条件： · ：表示实圆； · ：表示一个点（点圆）； · ：不表示任何图形（虚圆）。 1. 适用场景 · 已知圆上多点坐标求方程时，代入计算更简便； · 轨迹方程、代数运算中更便于整理化简。 二、高频易错点 · 忽略一般方程的前提：、 系数必须相等且无 项，不满足的不是圆的方程； · 圆心符号错误：误将圆心记为 ，正确为横坐标、纵坐标均取负； · 半径公式漏乘 ，或根号内的判别式符号记错。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． 例4．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为___________ 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 变式4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 考点三 圆的轨迹方程 【知识点解析】 一、核心知识点 轨迹方程问题的核心：求动点运动形成的圆的方程，本质是将动点满足的几何条件转化为坐标的代数方程。 1. 求解的一般步骤 1. 建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为 ； 1. 列等量式：根据几何条件，写出动点满足的等量关系； 1. 坐标代换：将几何等量关系转化为含 的代数方程； 1. 化简整理：整理为标准方程或一般方程； 1. 验证完备性：检验方程上的点是否都满足条件，去掉不符合题意的点。 2. 四种核心求解方法 （1）定义法（最常用） · 适用场景：动点满足圆的几何定义（到定点距离为定长；直径所对圆周角为直角等）。 · 操作：直接确定圆心和半径，写出标准方程。 · 补充：直径式方程 若已知圆的直径两端点为 、，则圆的方程为： · 原理：直径所对的圆周角为直角，利用向量垂直的数量积为 0 推导。 （2）待定系数法 · 适用场景：已知圆过三个定点，或已知圆心所在直线、半径条件等。 · 操作：设出圆的标准方程或一般方程，根据已知条件列出关于 （或 ）的方程组，解出参数，代入得方程。 （3）相关点法（代入法） · 适用场景：动点 随另一个在已知圆上运动的点 运动，两点坐标存在明确的对应关系。 · 操作： ① 设动点 ，相关点 ，且 在已知圆上； ② 找出 与 的坐标关系，用 表示 ； ③ 将 代入已知圆的方程，化简得到 的轨迹方程。 （4）几何性质法 · 适用场景：利用垂径定理、切线长定理、弦长条件等几何性质求圆心、半径。 · 操作： ① 圆心在弦的垂直平分线上，结合其他条件确定圆心坐标； ② 利用切线长、半径、点到圆心距离的勾股关系求半径； ③ 写出标准方程。 二、高频易错点 · 轨迹与轨迹方程混淆：只答方程不说明图形，或只说图形不写方程； · 未检验纯粹性：化简后方程包含不符合条件的点，未剔除； · 相关点法中坐标关系颠倒，用未知点表示已知点时代入错误； · 直径式方程记错形式，漏写坐标差的乘积项。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 例2．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 例3．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 变式2．（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）已知，点P在y轴上，满足． (1)求点P的坐标； (2)若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 变式3．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程讲义 圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程讲义 考点目录 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的轨迹方程 考点一 圆的标准方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方程来源：圆的几何定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径。 1. 标准方程形式 若圆心坐标为 ，半径为 ，则圆的标准方程为： · 核心参数： 为圆心坐标， 为半径（）； · 方程本质：圆上任意一点 到圆心的距离恒等于半径。 1. 特殊形式 当圆心在坐标原点 时，标准方程简化为： 1. 优势与适用场景 · 直接体现圆心和半径，几何意义清晰； · 适合分析圆的位置关系、切线、弦长等几何问题。 二、高频易错点 · 圆心坐标符号记反：误将 的圆心认为是 ，实际为 ； · 忽略半径为正： 必须为正数，方程才表示实圆； · 平方漏写：右边是半径的平方，不是半径本身。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 例2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为. 故选：B 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得圆心坐标与半径，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心坐标为，圆直径为：，则圆半径为. 从而圆方程为：. 故选：C 变式3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 考点二 圆的一般方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 推导：标准方程展开 将标准方程 展开整理： · 令 ，，，得到一般方程。 1. 一般方程形式 · 核心特征：① 与 的系数相等且不为 0；② 不含 交叉项。 这两个条件是判断二元二次方程是否表示圆的必要条件。 1. 配方还原与成立条件 将一般方程配方，可转化为标准形式： · 圆心坐标： · 半径： · 成立条件： · ：表示实圆； · ：表示一个点（点圆）； · ：不表示任何图形（虚圆）。 1. 适用场景 · 已知圆上多点坐标求方程时，代入计算更简便； · 轨迹方程、代数运算中更便于整理化简。 二、高频易错点 · 忽略一般方程的前提：、 系数必须相等且无 项，不满足的不是圆的方程； · 圆心符号错误：误将圆心记为 ，正确为横坐标、纵坐标均取负； · 半径公式漏乘 ，或根号内的判别式符号记错。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 例2．（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 例3．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. 例4．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为___________ 【答案】 【分析】将方程化为，根据其表示圆列不等式求参数范围. 【详解】由题设表示圆，则，即. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【详解】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 变式3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 变式4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而由半径的范围列不等式即可得的取值范围. 【详解】圆方程可化为， 由于圆的半径不超过2， 所以，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 考点三 圆的轨迹方程 【知识点解析】 一、核心知识点 轨迹方程问题的核心：求动点运动形成的圆的方程，本质是将动点满足的几何条件转化为坐标的代数方程。 1. 求解的一般步骤 1. 建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为 ； 1. 列等量式：根据几何条件，写出动点满足的等量关系； 1. 坐标代换：将几何等量关系转化为含 的代数方程； 1. 化简整理：整理为标准方程或一般方程； 1. 验证完备性：检验方程上的点是否都满足条件，去掉不符合题意的点。 2. 四种核心求解方法 （1）定义法（最常用） · 适用场景：动点满足圆的几何定义（到定点距离为定长；直径所对圆周角为直角等）。 · 操作：直接确定圆心和半径，写出标准方程。 · 补充：直径式方程 若已知圆的直径两端点为 、，则圆的方程为： · 原理：直径所对的圆周角为直角，利用向量垂直的数量积为 0 推导。 （2）待定系数法 · 适用场景：已知圆过三个定点，或已知圆心所在直线、半径条件等。 · 操作：设出圆的标准方程或一般方程，根据已知条件列出关于 （或 ）的方程组，解出参数，代入得方程。 （3）相关点法（代入法） · 适用场景：动点 随另一个在已知圆上运动的点 运动，两点坐标存在明确的对应关系。 · 操作： ① 设动点 ，相关点 ，且 在已知圆上； ② 找出 与 的坐标关系，用 表示 ； ③ 将 代入已知圆的方程，化简得到 的轨迹方程。 （4）几何性质法 · 适用场景：利用垂径定理、切线长定理、弦长条件等几何性质求圆心、半径。 · 操作： ① 圆心在弦的垂直平分线上，结合其他条件确定圆心坐标； ② 利用切线长、半径、点到圆心距离的勾股关系求半径； ③ 写出标准方程。 二、高频易错点 · 轨迹与轨迹方程混淆：只答方程不说明图形，或只说图形不写方程； · 未检验纯粹性：化简后方程包含不符合条件的点，未剔除； · 相关点法中坐标关系颠倒，用未知点表示已知点时代入错误； · 直径式方程记错形式，漏写坐标差的乘积项。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由方向向量确定直线斜率，进而由点斜式即可求解； （2）法一：由即可求解，法二：设线段的中点为，由，结合圆的方程即可求解. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 例2．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 例3．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【答案】(1) (2)，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【分析】（1）设圆心的坐标为，通过半径列出等式求解即可； （2）设线段中点，由中点坐标公式求得坐标，代入（1）所得方程即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为， 则有， 整理求得，故圆心为， 半径r满足， 则圆P的方程为. （2）设线段中点，， 由可知，， ∵点C在圆上运动，∴， ∴的轨迹方程为. ∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 变式2．（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）已知，点P在y轴上，满足． (1)求点P的坐标； (2)若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直关系转化为数量积为，设出点坐标，由坐标运算求解可得； （2）设动点，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程. 【详解】（1）由点P在y轴上，设，则， 由，则， 即，解得， 故点P的坐标为. （2）设，， 由，得，即， 则， ， 则有 化简得，即. 则动点Q的轨迹方程. 变式3．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【答案】(1) (2) 当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可； （2）设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况. 【详解】（1）设点的坐标为，由， 得，化简得， 即. （2）设点的坐标为，由，得， 化简得， 当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，方程可化为， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 2 学科网（北京）股份有限公司 $