进阶第4讲 空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第4讲 空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题 目 录 题型01 折叠问题 题型02 轨迹问题 题型03 截面问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 折叠问题 题型点拨 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 【典例1】（25-26·浙江金华）如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点，    (1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小； (2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1】（25-26·云南昆明）如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图． (1)证明：平面⊥平面； (2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【变式2】（25-26·福建厦门）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 题型2 轨迹问题 题型点拨 1、由动点保持平行性求轨迹 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. 2、动点保持垂直求轨迹 （1）可利用线线垂直、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹. 3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹 （1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹. 4、由动点保持定角求轨迹 （1）过定点的动直线与定平面或定直线成定角时，其轨迹可能是圆锥面的一部分；（2）利用空间坐标系计算求轨迹. 5、投影求轨迹 （1）球的非正投影可能是椭圆或椭圆区域；（2）多面体的投影，多为多边形. 6、翻折与动点求轨迹 （1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间坐标运算求轨迹. 【典例1】（25-26·福建三明）（多选）在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【变式1】（25-26·安徽铜陵）正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ． 【变式2】（25-26·安徽）如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为 ． 题型3 截面问题 题型点拨 1、截面问题的理论依据 （1）确定平面的条件 ①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 （4）如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 （1）定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③截平面与几何体的棱的交点叫做实截点. ④作图过程中相关直线与几何体棱或棱的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截平面上已经确定的一部分图形叫做截小面. （2）作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截平面上已确定的一条直线，与几何体的棱或棱的延长线相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：①三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； ②“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1点较为特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 5、正方体中的基本截面类型 【典例1】（25-26·云南曲靖）（多选）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当平面时，不可能垂直 B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D．当时，的最小值为 【变式1】如图所示的一块长方体木料中，已知，设E为底面ABCD的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为 ．    【变式2】（25-26·上海）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 强化训练（共10题） 1．（25-26·安徽马鞍山）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，是侧面内的动点，是空间内任意一点，下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹为圆的一部分 C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．，直线与所成角的正切值的取值范围为 2．（25-26·四川宜宾）（多选）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（    ） A．过点的平面截该正方体所得截面面积为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，三棱锥的体积为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 3．（25-26·江苏南通）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    4．（25-26·湖北襄阳）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示． (1)求证：平面； (2)设直线与平面所成线面角为，求的最大值． 5．（25-26·湖北武汉）如图（1），在平面四边形中，，，，，过点作，垂足为.如图（2），将沿折起，使得点到达点处，且. (1)证明：. (2)若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 6．（25-26·山东泰安）如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 7．（25-26·湖北十堰）如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8．（25-26·重庆铜梁）如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段 上的动点（包含端点）. (1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； (2)是否存在点，使二面角为？若存在，求出线段的大小；若不存在，请说明理由. 9．（25-26·重庆）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. (1)在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； (2)设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值取得最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10．（25-26·广东惠州）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 知识小测（共5题） 1．（25-26·黑龙江齐齐哈尔）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·上海）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26·山西）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（   ）    A．存在点满足 B．满足的点的轨迹长度是 C．满足平面的点的轨迹长度是 D．满足的点的轨迹长度是 4．如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 5．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为 ，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题 目 录 题型01 折叠问题 题型02 轨迹问题 题型03 截面问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 折叠问题 题型点拨 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 【典例1】（25-26·浙江金华）如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点，    (1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小； (2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可求得其大小； （2）建立新的空间直角坐标系利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，所以即为二面角的平面角， 当折成直二面角时，可得， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    设正方形的边长为2， 则， 又，分别为，的中点，所以； 可得， 因此，所以； 可得直线与所成角的大小为； （2）由（1）可知，当折成二面角的平面角为，即； 在平面内，过点作垂直于的直线作为轴，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    则， 又，分别为，的中点，所以； 可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以； 设直线与平面所成的角为， 可得； 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式1】（25-26·云南昆明）如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图． (1)证明：平面⊥平面； (2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证平面⊥平面，二面角的平面角. （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求出二面角的余弦值. 【详解】（1） 证明： 由题设可得， . 又， 取的中点，连接，.则，， 又因为是正三角形，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 又，，所以， 故.所以平面⊥平面. （2）由题设及（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点， 的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为D到平面的距离的， 即为的中点，得.故，，. 设是平面的法向量，则，即， 可取. 设是平面的法向量，则即， 可取． 则. 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【变式2】（25-26·福建厦门）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）线线平行得到线面平行； （2）证明三条线两两垂直，从建立空间直角坐标系，得到点的坐标后得到向量坐标，然后求得面的法向量，由投影得到点到面的距离； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，设动点坐标，然后得到向量的坐标，由得到向量数量积为0，求得点的坐标，由直线外一点及其在直线上的投影和直线上的点建立等式，求得点的坐标，然后由向量和平面的法向量，求得线面角正弦值，平方后构造双勾函数，函数的单调性得到函数最小值，从而求得线面角正弦值的范围. 【详解】（1）在四棱锥中，，而平面平面， 所以平面 （2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，， 由二面角是直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，平面， ∵平面，∴ 以分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面法向量为，则， 令，得， 所求点面距为. （3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设，显然， ， ，得出，则， 则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且且，即， 平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 题型2 轨迹问题 题型点拨 1、由动点保持平行性求轨迹 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. 2、动点保持垂直求轨迹 （1）可利用线线垂直、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹. 3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹 （1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹. 4、由动点保持定角求轨迹 （1）过定点的动直线与定平面或定直线成定角时，其轨迹可能是圆锥面的一部分；（2）利用空间坐标系计算求轨迹. 5、投影求轨迹 （1）球的非正投影可能是椭圆或椭圆区域；（2）多面体的投影，多为多边形. 6、翻折与动点求轨迹 （1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间坐标运算求轨迹. 【典例1】（25-26·福建三明）（多选）在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABC 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法求点到直线的距离与线面角的余弦值可判断CD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为， 对于A选项，当时，、、三点共线， 则点的轨迹为线段，故A正确； 对于B选项，若，即点， 此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，故B正确； 对于C选项，若，即点，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，则点到平面的距离为， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取最小值，此时取最大值，且， 则， 因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 【变式1】（25-26·安徽铜陵）正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由平面，得，计算可得点的轨迹方程，再由题意即得点的轨迹长度. 【详解】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系， 由题意可知，，，，， 因点是正方形内的动点，可设，， 因 设平面的法向量， 则，令，则， 因平面，则，即， 整理得：. 是正方形内的动点，取，得；取，得， 故点的轨迹长度为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，由求得，结合点的位置即可求得其轨迹长度. 【变式2】（25-26·安徽）如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用可得关于，的方程，进而求解. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则． 因为，所以，得， 所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 所以符合条件的点形成的轨迹的长度为． 故答案为： 题型3 截面问题 题型点拨 1、截面问题的理论依据 （1）确定平面的条件 ①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 （4）如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 （1）定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③截平面与几何体的棱的交点叫做实截点. ④作图过程中相关直线与几何体棱或棱的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截平面上已经确定的一部分图形叫做截小面. （2）作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截平面上已确定的一条直线，与几何体的棱或棱的延长线相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：①三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； ②“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1点较为特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 5、正方体中的基本截面类型 【典例1】（25-26·云南曲靖）（多选）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当平面时，不可能垂直 B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D．当时，的最小值为 【答案】BD 【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹长判断B；由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置判断C；将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理求解判断D. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误； 对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理得， 所以，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 【变式1】如图所示的一块长方体木料中，已知，设E为底面ABCD的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】作出辅助线，得到平行四边形即为该长方体中经过点的截面，建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式表达出截面面积，求出最值. 【详解】连接并延长，交于点，过点作平行于交于点， 连接，则平行四边形即为该长方体中经过点的截面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，则， 故点到直线的距离为 ， 则截面面积为 ， 因为，所以当时，取得最小值， 故截面面积最小值为    故答案为： 【变式2】（25-26·上海）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 【答案】/ 【分析】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，取，六边形UVWXYZ即是所求截面，再求出其面积即可. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 当时， 则，所以， 又， 设，则，解得， 即，所以共面， 所以共面， 因为，所以，即， 又因为所以是正方形， 所以当时，六边形UVWXYZ就是所求截面， 此时, 所以截面UVWXYZ的面积为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的截面面积，找到符合题意的截面是解决问题的关键.本题借助空间直角坐标系，确定构成六边形UVWXYZ就是所求截面，进而求出面积.研究正方体截面问题的常用方法还有平行线法和相交线法. 强化训练（共10题） 1．（25-26·安徽马鞍山）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，是侧面内的动点，是空间内任意一点，下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹为圆的一部分 C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．，直线与所成角的正切值的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量法计算距离和判断A，计算轨迹判断B，计算两角和正切判断D，再应用面积的最值判断C. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，故A错误； ，， 所以，化简可得圆的方程，所以B正确； 对于C，当时，为线段上靠近点的四等分点，如图1， 易知正方体的外接球的球心为正方体的中心， 过点作于点，连接， 因为，， 则，球的半径， 若要截面面积最小，需球心到截面的距离最大，最大为， 此时，故C正确； ，即把直线绕旋转一周后得到一个母线与旋转轴所成的角为的圆锥， 设，，， 在旋转过程中，与所成的角在如图2所示的轴截面内分别取得最值， ， ， 所以与所成角的正切值的取值范围为，D正确， 故选：BCD． 2．（25-26·四川宜宾）（多选）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（    ） A．过点的平面截该正方体所得截面面积为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，三棱锥的体积为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用平行线的性质，找到所求截面，利用梯形面积公式求解面积判断A，建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，再结合两点间距离公式求解长度判断B，利用三角形面积公式求解底面积，结合点到平面的距离公式求解点到平面的距离，再求解三棱锥体积判断C，利用球的性质判断截面形状并得到截面最小的情况，再结合勾股定理求解底面半径，利用圆的面积公式求解面积判断D即可. 【详解】对于A，如图，连接，作， 因为分别是棱的中点，所以是的中位线， 由中位线定理得，由正方体性质得，， 得到四边形是平行四边形，则，故， 即四点共面，则该平面截该正方体所得截面是梯形， 由勾股定理得，，同理可得， 由题意得四边形是矩形，则，故， 由勾股定理得，且设梯形面积为， 由梯形面积公式得， 即过点的平面截该正方体所得截面面积为，故A正确， 对于B，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 因为正方体的棱长为， 所以，，，，设 因为分别是棱的中点，所以，， 则，，， 设面的法向量为，则，得到， 而，得到， 令，解得，，故， 因为平面，所以， 得到，即， 化简得，则点的轨迹是直线，在面内， 由题意得，当时，， 当时，，得到轨迹是点和点构成的直线， 连接，由两点间距离公式得， 即此时点的轨迹长度为，故B正确， 对于C，如图，连接， 设，，则， 而，因为，所以， 得到，解得，故， 在正方体中，由勾股定理得， 则是等边三角形，得到， 故， 且，，，， 设面的法向量为，则， 得到，而，则， 令，解得，，故， 设点到面的距离为， 则由点到平面的距离公式得， 故，故C错误， 对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心， 如图，我们把球心记为，且连接， 由外接球性质得，外接球半径为， 由两点间距离公式得， 而截面一定是圆，且设圆的半径为，由勾股定理得， 得到截面面积为，即截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后利用点面距离的向量求法求解距离，结合三角形面积公式求解底面积，得到所要求的三棱锥体积即可． 3．（25-26·江苏南通）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    【答案】 / 【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解. 【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    第一空：因为分别为的中点，所以， 因为， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以，即四点共面， 所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形， 因为正方体棱长为4， 所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为， 所以梯形的高为， 故所求截面面积为； 第二空：由题意，且， 所以， 在中，当时，， 所以表示经过点且法向量为的平面， 即点在平面上， 由以上分析可知，， 若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有， 由题意设，而， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 显然平面的一个法向量可以是， 二面角的余弦值为. 故答案为：18，. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证. 4．（25-26·湖北襄阳）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示． (1)求证：平面； (2)设直线与平面所成线面角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，结合二次函数的性质来求得的最大值. 【详解】（1）因为，则，且，可得， 将沿DE折起到的位置，始终有， 因为平面，所以平面， 由平面，可得， 且平面， 所以平面. （2）由（1）可知，，CD，CB两两垂直，翻折后， 由勾股定理得， 以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 可知 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 且， 因为直线BM与平面线面角为，则 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 5．（25-26·湖北武汉）如图（1），在平面四边形中，，，，，过点作，垂足为.如图（2），将沿折起，使得点到达点处，且. (1)证明：. (2)若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到，连接，再由线面垂直的判定定理证明平面可得； （2）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【详解】（1）由题意得，又． 为平面内两条相交直线， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，又有公共边， 所以与全等， 所以，， 如图，连接，则． 因为，，平面PCE， 所以平面． 因为平面，所以． （2）由（1）知平面，且平面BCDE， 所以，．又， 所以两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系， 如下图，过作， 由（1）知为等边三角形，所以， 因为，所以， 所以，即， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 6．（25-26·山东泰安）如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）在中， 所以，解得， 所以，， 所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）因为，所以， 又，所以，即， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，所以， 显然为平面的一个法向量， 所以， 平面与平面的余弦值为. 7．（25-26·湖北十堰）如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明，根据直线和平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量之间夹角的余弦值，即可得到二面角的大小； （3）假设存在点满足题意，设，分别求出平面和平面的法向量，根据其法向量垂直，数量积为零列方程解的值得到答案. 【详解】（1）证明：在梯形中，因为为的中点， 所以，连接，所以四边形为平行四边形， 因为，所以为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. （2）在平行四边形中，因为， 所以四边形为菱形，所以， 所以在三棱锥中，. 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 所以，即. 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则，所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的大小为. （3）假设在线段上存在点，使得平面平面， 设，因为，所以， 所以， 易知. 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 由，解得， 所以当为线段的中点时，平面平面，此时. 8．（25-26·重庆铜梁）如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段 上的动点（包含端点）. (1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； (2)是否存在点，使二面角为？若存在，求出线段的大小；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)点在的延长线上，且，证明见解析 (2)存在，线段为 【分析】（1）由题意点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长EA，FM交于点O，连接OD，可得点O位置；连接DF交EC于点N，可得，从而可证； （2）取AE的中点H，连接DH，则，可证DH⊥平面ABFE，过点H作直线，以为坐标原点，以HA，HT，HD分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量法求解即可. 【详解】（1）直线平面，点在平面内，也在平面内， 点在平面与平面的交线上， 延长交于点，连接，如图所示，   ，为的中点，与全等， ， 点在的延长线上，且， 连接交于点，连接， 四边形为矩形，是的中点， 为的中位线，， 又平面，平面， 直线平面. （2）如图，由已知可得，， 又，平面，平面， 又平面，平面⊥平面， ，为等边三角形， 取的中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，过点作直线， 以为坐标原点，以，，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，则， 设（），则， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 要使二面角的大小为， 则，解得， 存在点，使二面角为， 此时线段为. 9．（25-26·重庆）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. (1)在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； (2)设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值取得最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由菱形易得,再证,即可得平面PAG，从而有平面平面PAG. （2）四棱锥的体积最大，则点到平面MNDB的距离最大.通过建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，表示出，将直线MQ与平面PAB所成角为的正弦表示成的函数再求最大值及的值. 【详解】（1）在翻转过程中总有平面平面PAG. 证明如下：点M，N分别是边BC，CD的中点，∴ 又菱形ABCD中，， ∴是等边三角形， ∴是MN的中点，∴. ∴ ∵在菱形ABCD中，，即 平面PAG， ∴平面PAG， 平面，∴平面平面PAG. （2）由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且， 所以等腰梯形MNDB的面积. 要使得四棱锥的体积最大，只要点到平面MNDB的距离最大即可. 以点为坐标原点，GA、GM、GP所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图. 则， 点为线段PA的中点，， 设，则， ， 设平面PAB的法向量为， 由，得， 令，则，所以平面PAB的法向量. 又， 设直线MQ与平面PAB所成角为，则. 当且仅当时，取得最大值. 10．（25-26·广东惠州）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 知识小测（共5题） 1．（25-26·黑龙江齐齐哈尔）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,, 则，. 因为，所以， 所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段. 易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为， 所以动点的轨迹长度为 故选：A 2．（25-26·上海）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点，连接、，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出动点的轨迹方程，即可得解. 【详解】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点， 连接、，则平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，设点， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，则，， 则点到平面的距离为， 而点到直线的距离为， 根据题意可得， 在平面内，如下图所示：    在平面直角坐标系中，易知点、， 则，所以，直线的方程为， 即，即， 显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且， 所以，由可得， 即，即点在区域内的轨迹是一条线段， 直线的斜率为， 则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决空间中的动点的轨迹问题，一般就是要通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出动点的轨迹方程，再进行判断. 3．（25-26·山西）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（   ）    A．存在点满足 B．满足的点的轨迹长度是 C．满足平面的点的轨迹长度是 D．满足的点的轨迹长度是 【答案】ACD 【分析】对A，利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度，再根据判断即可；对B，由A可得在底面内轨迹的长度是以为圆心，1为半径的圆周长的，进而可得弧长；对C，设面的法向量，根据线面平行的向量方法可得的轨迹方程为，进而可得轨迹的长度；对D，根据求解的轨迹方程即可. 【详解】    如图建立空间直角坐标系，则有，，，，，， 对于A选项，若，则，且，，则， 即，故轨迹方程为， 当时，，点既在轨迹上也在底面内，故存在这样的点存在，故A正确. 对于B选项，，， 在底面内轨迹的长度是以为圆心，1为半径的圆周长的， 故长度为，B错误 对于C选项，，，设面的法向量 故有，解得故 平面，，的轨迹方程为 ，，在底面内轨迹的长度为，C正确 对于D选项，， ，，的轨迹方程为 ，，在底面内轨迹的长度为，D正确 故选：ACD 4．如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ; 所以, , ; 故，即，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又平面， 所以平面平面； 因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF， 所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 5．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为 ，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 ． 【答案】 【分析】第一空，求出长方体的体对角线即可得长方体外接球的半径，即可求得外接球表面积；第二空，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，即可证明，从而确定三棱锥外接球的球心位置，求出外接球半径，继而求得截面圆半径，即可求得答案. 【详解】设长方体外接球半径为R， ，， 所以长方体外接球表面积为； 以点为原点,以为轴，建立空间直角坐标系如图所示： 依题意得：，，， 则，， 所以，则即； 设为中点，连接, 因为，，则， 所以点为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径为， 设球心到平面的距离为，又因为为中点， 所以点到平面的距离为， 根据长方体特征可知平面平面, 所以,又，而平面， 故平面，设交于H，则平面, 故到平面的距离为, 因为F为的中点，故，所以， 故截面圆的半径为， 所以截面圆面积为， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：要求得平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积，关键点在于首先要确定外接球的球心位置，从而可得其半径，继而求出截面圆的半径，即可求得答案. 学科网（北京）股份有限公司 $