第07讲 拓展一：异面直线所成角（知识清单+5类热点题型讲练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦异面直线所成角，构建“传统法（平移转化）-向量法（运算求解）”双轨方法体系，分层突破定值、最值、参数及易错题型，逻辑递进。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2方法|传统法：平移异面直线为相交直线，用余弦定理求角；向量法：利用向量点积公式求角|从空间问题平面化（传统法）到代数化（向量法），体现空间观念与转化思想| |题型精讲|5题型/15典例|定值问题双法并用，最值问题结合动态分析，参数问题逆向推理，易错点强调角的取值范围|覆盖基础应用到综合创新，以题载法培养几何直观与运算能力|

第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法） 第一部分 知识梳理 1、（传统法）核心技巧：平移使相交 具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 第二部分 题型精讲 题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 【典例2】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【变式1】（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·山西临汾·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 【变式3】（2026高三下·全国·专题练习）已知是正四面体，（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）M为AB中点，则SM与BC所成角的余弦值为____________. 题型02求异面直线所成角（定值）(向量法） 【典例1】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【变式1】（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 题型03求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为______． 【变式1】（25-26高二上·浙江·期中）在正方体中，点为线段上的动点，则异面直线与所成角的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（2026·河北沧州·一模）如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 题型04已知线线角求参数 【典例1】（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 【变式2】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【变式3】（2025·江苏盐城·模拟预测）在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法） 第一部分 知识梳理 1、（传统法）核心技巧：平移使相交 具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 第二部分 题型精讲 题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为或其补角， 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， ,, 所以 所以异面直线与所成角的正切值为3. 【典例2】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】连接、，证明出，则异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角，分析可知是等边三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出的大小，即可得解. 【详解】连接、，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角， 易知，故是等边三角形，则， 因为为的中点，所以平分，故， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式1】（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，转化为相交直线所成角，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】连结，交于点，取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 设，则，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式2】（25-26高一下·山西临汾·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到两条异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】因为直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接， 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 在长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【变式3】（2026高三下·全国·专题练习）已知是正四面体，（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）M为AB中点，则SM与BC所成角的余弦值为____________. 【答案】/ 【分析】取AC中点N，连接MN、NS，分析可知SM与BC所成角为（或其补角），利用余弦定理运算求解即可. 【详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则，且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角的余弦值为. 题型02求异面直线所成角（定值）(向量法） 【典例1】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【典例2】（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得. 【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面， 故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    设，可得，，，，. 因为为的中点，因此的坐标为. 则直线的方向向量，直线的方向向量. 设异面直线与所成角为，， ， ，； 所以. 因此直线与所成角的余弦值为. 【变式1】（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 【变式2】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 【变式3】（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 题型03求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过确定点的位置，找出角，表示出的正切值，求解取值范围. 【详解】取的中点分别为，连接， 可以证明平面平面， 故当点在线段上运动时，平面. 因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，所以，连接，显然. 令正方体的棱长为2，，， 则，又， 所以，所以. 故选：B 【典例2】设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为______． 【答案】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，然后根据向量夹角的余弦公式求出最大值即可. 【详解】设正方形的中心为点，连接，由条件知垂直于平面于点，又， 由射影定理知．显然点在点之间． 以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，，，则，，． 易知，因此，． 所以． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即取到最大可能值． 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·浙江·期中）在正方体中，点为线段上的动点，则异面直线与所成角的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法研究即可求解 【详解】设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为， 以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 所以， 所以，， 所以， ， 因为，所以时，取最小值，此时取最大值， 因为，所以的最小值为， 则异面直线与所成角的最小值为． 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用夹角公式得，利用二次函数得，进而求解. 【详解】以为原点建立如图4所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，，，，，则. 因为为线段上的动点，不妨设， 则得，所以， 则， 因为，所以，进而， 所以，故当最大值时， 所以直线与直线所成角余弦值的最大值为. 故选：D. 【变式3】（2026·河北沧州·一模）如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 【答案】 【分析】设的中点为，通过证明平面平面，可解决第一空，由，确定为动直线AP与的夹角，进而可求解. 【详解】 如图，设的中点为，连接，，分别为，的中点， 则, ,又， 所以四边形都是平行四边形， 所以，， 又平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，即平面为平面， 线段为平面与底面的交线， 易得； 连接，因为，所以为动直线AP与的夹角，，过作（H为垂足），则， 在中，由等面积法可得，得， 又, 所以． 即动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是. 题型04已知线线角求参数 【典例1】（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 【典例2】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 【答案】(1) 为中点，. 又平面平面，且交线为平面， 平面，而平面，平面， ； 为中点，则有； ； (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一，得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而，又易证得，故证出； （2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，由两平面的法向量夹角的余弦值的绝对值即为两平面夹角的余弦值； （3）根据共线求出E的坐标，求出的坐标，然后与法向量垂直，得到数量积为0即可算出. 【详解】（1）略 （2）如图以为坐标原点，过作直线与平行，以分别为轴建立空间直角坐标系， ， 则，. . 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得. ，设平面的一个法向量为， 则有，可取， ， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3）， . ． . 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 【答案】或. 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长. 【详解】取线段的中点，连接、，    在四面体中，，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，由余弦定理可得 . 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式2】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，故，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式和同角三角函数关系进行求解； （2）设，．设，其中，则，根据与成30°角得到方程，求出，其中，即，结合求出答案. 【详解】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． 【变式3】（2025·江苏盐城·模拟预测）在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析; (2)或. 【分析】（1）在上取一点，得到，则有，利用余弦定理及勾股定理的逆定理证得，则有平面，即有，再结合可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量间夹角的坐标运算公式建立方程，即可得解. 【详解】（1） 在棱上取一点，使得，连接, 因为，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以. 又因为，根据余弦定理可得，即， 则有，所以， 又平面，则平面， 又平面，则， 又因为平面， 所以平面. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 于是， 化简得，解得或， 所以或. 题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选择恰当的基底，求得向量与夹角的余弦值，其绝对值即为与所成角的余弦值. 【详解】直三棱柱中，平面.又，所以两两垂直. . . 所以， . . . 所以与所成角的余弦值是. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求，，利用空间向量求异面直线夹角的余弦值. 【详解】由题意可知：，平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点为线段的中点，则， 可得，， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底得到，接着依次计算，，再计算即可得解. 【详解】以为基底，则， 而， 所以， ， ， 从而， 故直线和直线所成角的余弦值为. 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $