第五单元计算专项：方中圆和圆中方的面积问题（专项训练）-2026-2027学年六年级数学上册苏教版

第五单元专项：方中圆和圆中方的面积问题 知识点梳理 方中圆（正方形内最大的圆） 1. 圆的直径 = 正方形的边长，设正方形边长为 a。 2. 正方形面积： = a²；圆面积： = 3.14 × ()² = 0.785 a²。 3. 正方形与圆之间阴影（边角料）面积： = − = 0.215 a²。 4. 面积倍数关系：圆面积是正方形面积的（即 0.785 倍）。 圆中方（圆内最大的正方形） 1. 正方形对角线 = 圆的直径，设圆半径为 r。 2. 正方形可沿对角线分成 2 个完全一样的三角形：三角形底 = 2r，高 = r。 3. 正方形面积： = 2 × ( × 2r × r) = 2r²；圆面积： = 3.14 r²。 4. 圆与正方形之间阴影面积： = − = 1.14 r²。 5. 面积倍数关系：正方形面积是圆面积的 。 重要提醒：看清条件给的是边长、直径还是半径；区分"方中圆"和"圆中方"，不要混淆公式。 专项练习 考点1：方中圆的面积问题 1．如图中圆的直径是4cm，阴影部分的面积是( )cm2。 2．在一个周长为40厘米的正方形中画一个最大的圆（如图），圆和正方形之间部分的面积是( )平方厘米。 3．如图所示，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是( )cm，正方形的面积是( )cm2。 4．剪纸是中国的一项存在于民间的技艺，每逢佳节，人们会剪出各种图案寓意生活的美好，如图，这张剪纸中圆的面积为15.7平方厘米，那么外面正方形的面积至少是( )平方厘米。 5．求阴影部分面积。 6．计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm）（图：正方形边长8cm，中间有一个最大的圆）。 考点2：圆中方的面积问题 7．如图所示，圆的面积是( )cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 8．如图，已知正方形的面积是，则圆的面积是( )。 9．如图，大正方形的边长是4dm，在大正方形里画一个最大的圆，又在圆里面再画一个最大的正方形。大正方形的面积比圆的面积多( )dm2，小正方形的面积是( )dm2。 10．求阴影部分的面积。（单位：cm） 11．求阴影部分的面积。 12．如图中阴影部分的面积是多少？ 计算逻辑强化应用 13．工人师傅把一块周长是48分米的正方形木板裁成一个最大的圆，裁去部分的面积是多少？ 14．当雨点落到池水中的时候，水面上就出现了一个个音符，这些音符是雨点在水面上击出的圆形波纹。在一个正方形水池中，当水波的波纹波及池边时，所形成的最大整圆的面积是50.24平方米，此时池面剩余部分的面积是多少平方米？ 15．接着来到李叔叔的家，门上一个大大的“福”映入眼帘。“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。这幅圆形“福”字中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 16．中国环境标志（俗称“十环”），图形由中心的青山、绿水、太阳及周围的十个环组成。其寓意为全民联合起来，共同保护人类赖以生存的环境。学校为宣传环境保护在一张直径为20厘米的圆形纸上画出一个最大的正方形，用于绘画环境标志图案，那么除正方形以外的部分的面积是多少平方厘米？ 17．某办公楼前有一块边长是30米的正方形空地，要在这块空地上修建一个面积最大的圆形喷水池，这个喷水池的面积是多少平方米？ 18．如图，小明做手工时，在一张边长为10厘米的正方形纸上画了个最大的圆，再从这个圆里画了一个最大的正方形，则画的新正方形的面积是多少平方厘米？ 19．2025年城市智慧停车系统升级，某超市新增圆形智能车位（如图），车位为圆形，内部规划了一块正方形防滑停车区，已知该圆形车位的直径为6米，请计算这块正方形防滑停车区的实际面积是多少平方米？ 20．一张可折叠的圆桌，折叠后形成一个正方形桌面。已知圆形桌面的直径是2米。（π取3.14） (1)圆形桌面的面积是多少平方米？折叠后正方形桌面的面积是多少平方米？ (2)如果一个人需要0.5米宽的位置就餐，这张圆桌大约能坐多少人？ 21．晓晓家有一张半径为米的可折叠式圆形桌子，如果将桌面四边折下去，就变成了一张正方形桌子（如图，涂色部分为可折叠桌面）。圆形桌面的面积比正方形桌面大多少？ 22．如图1，研究正方形中最大的圆，我们可以叫“外方内圆”；如图2，研究圆内最大的正方形，我们可以叫“外圆内方”。如果把这两个图形重合，可以得到下图3，有人说，大正方形的面积是小正方形的2倍。你觉得有道理吗？请说明理由。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．3.44 【分析】由题图可知正方形的边长为圆的直径，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。由正方形的面积＝边长×边长，圆的半径＝直径÷2，圆的面积＝πr2，代入计算即可。 【详解】4×4－3.14×（4÷2）2 ＝4×4－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 所以阴影部分的面积是3.44cm2。 2．21.5 【分析】由图可知，以正方形的边长为直径的圆是正方形里面最大的圆，先根据“”求出正方形的边长，再利用“”求出正方形的面积，并利用“”求出圆的面积，圆和正方形之间部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，据此解答。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝10×10－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 所以，圆和正方形之间部分的面积是21.5平方厘米。 3． 4 64 【分析】根据d＝C÷π，求出圆的直径， 直径再除以2就得到半径，圆内直径等于正方形的边长，正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】25.12÷3.14＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 8×8＝64（cm2） 在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是4cm，正方形的面积是64cm2。 4．20 【分析】沿正方形边的中点，把图中的正方形分成4个面积相等的小正方形，每个小正方形的边长至少等于圆的半径。根据正方形的面积＝边长×边长，算出一个小正方形的面积，再乘4即可算出大正方形的面积至少是多少。圆的面积S＝πr2，r2＝S÷π。 【详解】 如图： 15.7÷3.14＝5（平方厘米） 5×4＝20（平方厘米） 所以，外面正方形的面积至少是20平方厘米。 5． 3.44平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝。 【详解】正方形面积：（平方厘米） 圆面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 阴影面积：（平方厘米） 6．13.76cm2 【分析】用正方形的面积减去圆的面积，即可求出阴影部分的面积。这个正方形的边长为8cm，根据正方形的面积＝边长×边长即可求出正方形的面积；这个圆的直径为8cm，根据圆的面积＝即可求出圆的面积，作差即可求出阴影部分的面积。 【详解】8×8＝64（cm2） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 64－50.24＝13.76（cm2） 即阴影部分面积为13.76cm2。 7． 1256 456 【分析】观察图形发现正方形的面积可以看作是两个三角形的面积，三角形的底是圆的直径，三角形的高是圆的半径，根据直径＝半径×2，求出三角形的底，再根据三角形的面积S＝底×高×，再乘2，求出正方形的面积；根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据求出圆的面积；阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算即可。 【详解】20×2＝40（cm） ×20×40×2 ＝10×40×2 ＝400×2 ＝800（cm2） 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（cm2） 1256－800＝456（cm2） 圆的面积是1256cm2，阴影部分的面积是456cm2。 8．31.4 【分析】这个正方形的两条对角线正好是圆的两条互相垂直的直径，我们可以把正方形拆成4个完全相同的等腰直角三角形，每个三角形的两条直角边就是圆的半径r，以此根据正方形的面积求出圆的半径平方，再根据圆的面积公式πr2计算即可。 【详解】1个小三角形的面积： 4个小三角形（正方形）的面积： 3.14×10＝31.4（cm2）。 9． 3.44 8 【分析】第①空：大正方形里画最大的圆，圆的直径等于大正方形的边长，依据直径是半径的两倍求出半径，再依据圆的面积公式求出圆的面积，用正方形的面积减去圆的面积即可。 第②空：圆里画最大的正方形，小正方形的对角线长度等于圆的直径（即大正方形的边长），可以把小正方形的面积看作是两个底是直径，高是半径的三角形，依据三角形的面积公式求出一个三角形的面积，最后再让这个三角形的面积乘2即可求出小正方形的面积。 【详解】第①空：4×4＝16（dm2） r＝4÷2＝2（dm）。 （dm2） 16－12.56＝3.44（dm2） 第②空：＝＝（dm2） 【点睛】关键点是理清大正方形、圆、小正方形之间的边长关系，分别利用对应公式计算面积。 10．4.56cm2 【分析】图中圆的直径是4cm，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 圆内的正方形用对角线平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积。 用圆的面积减去正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】圆的半径：4÷2＝2（cm） 圆的面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 正方形的面积：4×2÷2×2＝8（cm2） 阴影部分的面积：12.56－8＝4.56（cm2） 11．28.5cm2 【分析】阴影部分面积＝圆的面积－正方形面积；圆的面积＝π×半径2，正方形面积＝直径×半径，据此解答。 【详解】3.14×52－（5×2）×5 ＝3.14×25－10×5 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） 12．114 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝圆的面积－圆内正方形的面积； 已知圆的直径是20，则圆的半径是（20÷2），根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 用一条对角线把圆内正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径20，高等于圆的半径（20÷2）；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是圆内正方形的面积； 最后用圆的面积减去圆内正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】3.14×（20÷2）2－20×（20÷2）÷2×2 ＝3.14×102－20×10÷2×2 ＝3.14×100－200÷2×2 ＝314－200 ＝114 阴影部分的面积是114。 13．30.96平方分米 【分析】将一块正方形木板裁成一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长。先根据正方形边长＝周长÷4，求出边长，也就是正方形内最大圆的直径，进而求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；最后用正方形的面积减去圆的面积，即是裁去部分的面积。 【详解】正方形的边长：48÷4＝12（分米） 圆的半径：12÷2＝6（分米） 正方形的面积：12×12＝144（平方分米） 圆的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 裁去部分的面积： 144－113.04＝30.96（平方分米） 答：裁去部分的面积是30.96平方分米。 14． 13.76平方米 【分析】正方形水池中最大的整圆是正方形的内接圆，直径等于正方形的边长。先根据圆的面积公式的逆运算，求出半径，半径乘2可得直径，即正方形的边长，再根据计算正方形面积，最后用正方形面积减去圆的面积得到剩余面积。 【详解】（平方米） 因为，所以圆的半径是4米。 （米） （平方米） （平方米） 答：此时池面剩余部分的面积是13.76平方米。 15．114平方厘米 【分析】用圆的面积减去正方形的面积就能得到结果；已知圆的直径是20厘米，半径就是20÷2＝10厘米，根据圆面积公式，把数据代入计算得出圆的面积。 这个正方形的四个顶点都在圆上，它的两条对角线刚好就是圆的直径（长20厘米）。可以把正方形沿一条对角线分成2个完全一样的三角形，每个三角形的底是20厘米，高是圆的半径10厘米，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，把数据代入计算后再乘2得出正方形面积，再用圆的面积减正方形面积即可。 【详解】20÷2＝10（厘米） ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 20×10÷2×2＝200（平方厘米） （平方厘米） 答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。 16．114平方厘米 【分析】直径为20厘米的圆除正方形以外的部分的面积就是题中图上阴影部分的面积，由题意在圆形纸上画出一个最大的正方形，圆的直径是正方形的对角线的长度，此时把正方形看作四个直角边为圆半径的等腰直角三角形，由此求出正方形的面积，最后用圆的面积减正方形面积即可。（） 【详解】圆的半径：20÷2＝10（厘米） 圆的面积：（平方厘米） 正方形的面积：4×直角边为圆半径的等腰直角三角形的面积 4×（10×10÷2）＝4×50＝200（平方厘米） 除正方形以外的部分的面积：314－200＝114（平方厘米） 答：除正方形以外的部分的面积是114平方厘米。 17．706.5平方米 【分析】在正方形空地上修建面积最大的圆形喷水池，圆的直径等于正方形的边长，即30米，先求出圆的半径（r＝d÷2），再代入圆的面积公式S＝πr2计算即可。 【详解】圆的半径：（米） 圆的面积：3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 答：这个喷水池的面积是706.5平方米。 18．50平方厘米 【分析】从一张正方形的纸上剪下一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，再从这个圆里剪下一个最大的正方形，正方形的对角线的长等于圆的直径，据此可知，这个正方形的面积可以看成是两个底为圆的直径、高为圆的半径的三角形的面积之和，根据三角形的面积公式列式计算即可。 【详解】10×（10÷2）÷2×2 ＝10×5÷2×2 ＝50÷2×2 ＝50（平方厘米） 答：画的新正方形的面积是50平方厘米。 19．18平方米 【分析】正方形的四个顶点都在圆上，它的对角线长度等于圆的直径。把正方形沿一条对角线分成两个完全相同的三角形，三角形的底是正方形的对角线，高是圆的半径，用“底×高÷2”算得一个三角形面积，即正方形面积的一半，得数乘2可算得正方形的面积。 【详解】（米） （平方米） （平方米） 答：这块正方形防滑停车区的实际面积是18平方米。 20．(1)3.14平方米；2平方米 (2)12人 【分析】（1）圆的面积公式：S＝πr2（r是半径），已知直径2米，可以求出半径再代入公式求出面积。正方形对角线即为圆的直径，把正方形看成2个以对角线为底、对角线一半为高的三角形，因此正方形面积为对角线乘一半的对角线除以2再乘2。 （2）圆的周长公式：C＝πd，代入直径求出周长，每人需要0.5米宽的位置，人数＝周长÷每人所需宽度，不够1人坐的位置需舍弃，因此人数需向下取整数。 【详解】（1）半径：2÷2＝1（米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） （2×1÷2）×2 ＝1×2 ＝2（平方米） 答：圆形桌面的面积是3.14平方米，折叠后正方形桌面的面积是2平方米。 （2）3.14×2＝6.28（米） 6.28÷0.5＝12.56（人） 向下取整为12人。 答：这张圆桌大约能坐12人。 21．0.9234平方米 【分析】正方形的对角线长度等于圆的直径米，把正方形沿对角线分成两个完全相同的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，由此可快速计算正方形面积。然后用圆的面积减去正方形的面积即可求解。 圆的面积公式：（为半径） 三角形的面积公式： 【详解】 （平方米） （米） （平方米） （平方米） 答：圆形桌面的面积比正方形桌面大0.9234平方米。 22．有道理；设圆的半径是r，则大正方形的边长是2r。大正方形的面积是4r2，小正方形的面积是2r2。大正方形的面积是小正方形的2倍。 【分析】“外方内圆”中，大正方形的边长等于圆的直径；设圆的半径是r，则圆的直径是2r，大正方形的边长是2r；根据正方形的面积＝边长×边长，求出大正方形的面积； “外圆内方”中，连接小正方形的一条对角线，把正方形平均分成两个三角形，这个三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是小正方形的面积； 用大正方形的面积除以小正方形的面积，求出大正方形的面积是小正方形的几倍，据此解答。 【详解】我觉得有道理。理由如下： 如图： 设圆的半径是r，则圆的直径是2r，大正方形的边长是2r； 大正方形的面积：2r×2r＝4r2 小正方形的面积：2r×r÷2×2＝2r2 4r2÷2r2＝2 答：大正方形的面积是小正方形的2倍。 答案第1页（共2页） 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $