精品解析：浙江杭州市之江实验中学等校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试卷（10月 ）

杭州市之江实验中学·之江第一中学九（上）10月阶段自查 数学试题卷 考生须知： 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷密封区内填写班级、姓名和座位号． 3，所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（每题3分，共10小题） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 2. 已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不确定 3. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 已知二次函数的图象上有三个点，其坐标分别为、、，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 6. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 小轩在画二次函数的图象时列表如下： … 0 2 4 … … 12 0 5 … 则下列关于这个函数的结论错误的是（ ） A. 该函数图象开口向上 B. 在函数图象上有两点，，则 C. 该函数图象经过点 D. 当时，随的增大而增大 8. 如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 函数与（，是常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上有两点和 (其中)，则( ) A. 若，当时， B. 若，当时， C. 若，当时， D. 若，当时， 二、填空题（每题3分，共6小题） 11. 函数的二次项系数为_________． 12. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 13. 如图，二次函数的图象与直线交点坐标为，，则不等式的解集是__________． 14. 当时，二次函数的最小值为_________． 15. 如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③；④；⑤（其中）．其中正确的结论是_________． 三、解答题（共72分，共8小题） 17. 如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 18. 如图，在正方形网格中，有一圆弧经过三个点． （1）请在图中标出圆心的位置； （2）若，请判断点与的位置关系，并说明理由． 19. 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． （2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． （3）你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? 20. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 21. 在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 22. 已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． （1）求二次函数的表达式． （2）判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． （3）若，请直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，桌面竖直轮廓如图所示，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． （2）如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点． ①求的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． （3）如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃，使得顶点，，，落在新轮廓上，若，直接写出的长． 24. 已知抛物线（，且）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）． （2）点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，请比较和的大小． ②当时，函数在时取得最小值，求的值及的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市之江实验中学·之江第一中学九（上）10月阶段自查 数学试题卷 考生须知： 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷密封区内填写班级、姓名和座位号． 3，所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（每题3分，共10小题） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类．根据交通信号灯的变化特点，绿灯的出现是可能发生也可能不发生的，属于随机事件． 【详解】经过有交通信号灯的路口时，信号灯可能显示红灯、黄灯或绿灯，遇到绿灯的具体结果无法提前确定． 因此，“遇到绿灯”这一事件是否发生具有不确定性，属于随机事件． 故选A． 2. 已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 3. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选：A． 4. 已知二次函数的图象上有三个点，其坐标分别为、、，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的对称性及增减性． 根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为直线，图象开口向上，利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越近，函数值越小， ，，， 点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴2个单位长度，点距离对称轴5个单位长度， ． 故选：D． 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 6. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质可得，证明，进而得出，根据几何概率，即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是矩形，交于点，过点， ∴,， ∴， ∵， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：C． 7. 小轩在画二次函数的图象时列表如下： … 0 2 4 … … 12 0 5 … 则下列关于这个函数的结论错误的是（ ） A. 该函数图象开口向上 B. 在函数图象上有两点，，则 C. 该函数图象经过点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据表格信息求出二次函数解析式，再根据二次函数解析式判定即可． 【详解】解：把、、代入得， ，解得， 抛物线解析式为， ∵， ∴该函数图象开口向上，A正确，不符合题意； 抛物线经过、，抛物线的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当这两点，在对称轴左侧时，，在对称轴右侧时，， B不正确，符合题意； 把代入，左右两个相等，C正确，不符合题意； 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而增大， D正确，不符合题意； 故选：D． 8. 如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 9. 函数与（，是常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数图象的综合应用．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意， B选项：二次函数中，一次函数中，符合题意， C选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意， D选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象上有两点和 (其中)，则( ) A. 若，当时， B. 若，当时， C. 若，当时， D. 若，当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，可知对称轴为，当时，抛物线开口向上，根据，可得，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵与轴的交点为 ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， 当时，即 ∴ ∴ ∴，故B选项正确 当时，抛物线开口向下， ，无法判断的大小， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共6小题） 11. 函数的二次项系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】函数已经是二次函数的一般形式，直接找出项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数已经是一般形式，其中项的系数为，因此二次项系数是． 12. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 【答案】 800 【解析】 【分析】观察折线统计图，发现随着移植数量增加，成活频率在0.8附近波动并趋于稳定，据此估计成活概率，再计算1000棵的成活数． 【详解】解：由折线统计图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.8附近． ∴ 这种树苗成活的概率约为0.8． ∵ 移植这种树苗1000棵， ∴ 成活的大约有 （棵）． 13. 如图，二次函数的图象与直线交点坐标为，，则不等式的解集是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握图象法是解题关键．不等式可改写成，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：不等式可改写成不等式，表示的是二次函数的图象位于与直线的下方， ∵二次函数的图象与直线交点坐标为，， 由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：． 14. 当时，二次函数的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】对二次函数配方得到开口方向和对称轴，根据的取值范围结合二次函数性质求最小值． 【详解】解：∵ ， ∴ 该二次函数二次项系数为，开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定的取值范围内， ∴ 当时，二次函数取得最小值，代入得最小值为， 即． 15. 如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可．由中得到要使取得最小值，即需取最小值，连接，交于点即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 要使取得最小值，即需取最小值， 连接，交于点，此时取得最小值， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ，    故答案为：． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③；④；⑤（其中）．其中正确的结论是_________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】根据抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断a，b，c符号，判定正负；利用对称性求出另一交点，判断时函数值符号；由抛物线与轴交点个数判断判别式；借助对称轴得到a，b关系，代入点坐标推导b，c关系式；利用开口向下抛物线对称轴处函数值最大，代入化简，对比自变量为时的函数值判断不等式． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线，由对称轴公式，化简可得， 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ，故①错误． 抛物线对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另外一个交点为． 开口向下，在两交点之间， 将代入解析式得，故②正确． 抛物线与轴有两个不同交点， ，故③错误． ∵点在抛物线上， 将代入解析式得 ， 把代入该式，得 ， ，故④正确． 抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，函数取得最大函数值． 将代入解析式，． ，把代入上式， ． 当时，对应的函数值，且， 说明自变量不取对称轴方程的值，对应的函数值小于对称轴处的函数值， ，故⑤正确． 综上：②④⑤正确． 三、解答题（共72分，共8小题） 17. 如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 18. 如图，在正方形网格中，有一圆弧经过三个点． （1）请在图中标出圆心的位置； （2）若，请判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）点在的内部． 理由如下： 解：由题可知，圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，圆心为中垂线的交点即可； （2）根据勾股定理判断半径与的大小即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题可知点， 则可知圆心在的直线上， 连接， 设点， 则， 即 解得：， 点， 可知圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 19. 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． （2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． （3）你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? 【答案】（1） （2） （3） 公平．理由如下： 由树状图可求得P（一次出牌小明胜小刚）=， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=P（一次出牌小明胜小刚），即两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对小刚和小明公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏的公平性、树状图法求概率， （1）易得总情况数为3，小刚出“象”牌的次数为1，结合概率公式求解即可； （2）结合题意画出树状图，则可能出现的结果有9种，其中小刚胜小明的结果有3种，由此结合概率公式计算即可； （3）结合树状图确定小明胜小刚的概率，比较二人获胜的概率的大小关系即可得出结论； 掌握概率公式是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得共3张牌，随机出牌， ∴P（一次出牌小刚出“象”牌）=； 【小问2详解】 在一次出牌小刚胜小明的概率为， 画树状图如图所示， 由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=； 【小问3详解】 略 20. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【小问1详解】 解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 21. 在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或 （3）存在，当时，的面积最大，则． 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； 【小问3详解】 解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 22. 已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． （1）求二次函数的表达式． （2）判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 在，理由如下： ∵二次函数， ∴令，则， ∴ ∴对称轴是直线， 把代入， 顶点坐标为， 把代入， 得， ∴二次函数图象的顶点在直线上， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答． （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把代入，得，即可作答． （3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． ∴令，则， 解得， 即把代入， 得， 解得； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上， ∴当时，则． 23. 综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，桌面竖直轮廓如图所示，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． （2）如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点． ①求的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． （3）如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃，使得顶点，，，落在新轮廓上，若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）设上方抛物线的函数表达式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得平移后的抛物线函数表达式为，令，求得的坐标，进而求得的长；②设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为，代入，求得解析式，进而求得平移的距离； （3）根据，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：顶点的坐标为． 设上方抛物线的函数表达式为． 由题意可知抛物线经过点， ， 解得， 上方抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①将上方抛物线向下平移后， 所得抛物线的函数表达式为， 当时，即， 解得，， ，， ． ②下方抛物线的函数表达式为． 设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为． 将点的坐标代入，得，解得， 新抛物线的函数表达式为， 下方抛物线向上平移的距离为． 【小问3详解】 解：由（2）知上方新抛物线的函数表达式为， 下方新抛物线的函数表达式为， ， 解得，， ． 24. 已知抛物线（，且）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）． （2）点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，请比较和的大小． ②当时，函数在时取得最小值，求的值及的最小值． 【答案】（1） （2）①；②，的最小值为 【解析】 【分析】（1）一般式变顶点式，即可得出结果； （2）①求出，作差法比较大小即可；②求出关于的二次函数解析式，根据题意，得到对称轴为，进行求解即可. 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 ①当时，， 当时，，， ∴， ∴； ②∵， ∴， 又， ∴  ∴是关于的二次函数，在时取最小值， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 解得， 将代入，得； ，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $