精品解析：湖南省娄底市冷水江市第六中学等校联考2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题

2026年下学期高一10月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若实数满足，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 6. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义域为的函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域是 C. 的值域是 D. 若，则 10. 下列命题中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是“” D. 命题“”是真命题 11. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 13. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是_________. 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）求，； （2）求，. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 17. 已知集合. （1）若，求的取值范围； （2）若是的必要条件，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 18. 已知，，且，证明： （1）； （2）． 19. 已知为二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式； （3）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高一10月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系即可判断. 【详解】由元素与集合的关系可知，故A，B错误，C正确； 由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题.所以原命题的否定为“”. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法，通过已知定义域求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得，解得， 所以的定义域为， 又因为，解得， 所以函数的定义域为． 4. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 5. 若实数满足，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B，根据不等式的性质进行加减计算即可；对于C，D，将表示成形式进行计算即可. 【详解】对于A，由，两式相加得， 即，故A错误； 对于B，由，得，又， 两式相加得，所以，故B错误； 对于C，D，设， 由解得，即. 因为，所以，又， 所以，所以，故C错误，D正确，故选D. 6. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析集合M、N，得到，再对选项逐个分析判断. 【详解】， ， 因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数，所以. 对于A：，故A错误； 对于B，C：，故B正确、C错误； 对于D：，故D错误． 故选：B． 7. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知集合仅有1个元素，因此可以得到的关系，再利用基本不等式可以得到式子最小值. 【详解】由题意得有且仅有两个子集，故集合仅有1个元素，则，即， 因为，所以，故， 得到，当且仅当，即时，等号成立， 可得的最小值为8. 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，故可得不等式的解集中的三个整数为，据此可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 故的解集中有整数1，而， 故不等式的解集中的三个整数为，故， 所以，故， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义域为的函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域是 C. 的值域是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】，A正确；的值域是，C正确，B错误；因为，所以，由的值域是， 得或或，由，，，合并得，D正确. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是“” D. 命题“”是真命题 【答案】BC 【解析】 【详解】若，则；但可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，A错误； 若，则，但可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 命题“”的否定是“”，故C正确； 因为，所以命题“”是假命题，D错误. 11. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把条件化成，根据等式两边的符号可判断A的真假；利用消元，再结合基本不等式，可判断B的真假；条件化成，再结合基本不等式，可判断C的真假；将代入得再利用换元法结合基本不等式可判断D的真假. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因为，显然，等号右边大于0，则等号左边必大于0，又因为，所以，得，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则， 当且仅当，即时取等号， 此时的最小值为，故B正确； 对于C，由去分母，得，即得， 因，所以，则， 当且仅当时等号成立，由解得，即当时，取得最小值为2，故C错误； 对于D，由A得，代入，得， 设0，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立， 此时取得最小值，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数. 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 13. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】方程有两个根，则判别式非负，之后结合韦达公式对不等式进行化简求解. 【详解】由题意得，解得或. 又，即，故0，解得或. 综上，的取值范围是. 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 【答案】4 【解析】 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件化简集合，利用集合的基本运算得到结果. （2）根据补集的概念计算，利用集合的基本运算得到结果. 【小问1详解】 由题意得，，，， ∴. 【小问2详解】 由题意得，，， ∴，. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先配方为完全平方式，结合平方的非负性直接求解； （2）将分式大于 0 转化为分子分母同号的两类不等式组，分别求解后取并集； （3）去掉绝对值号，解一元一次不等式即可. 【小问1详解】 由得，即，解得， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 因为，所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问3详解】 ，解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知集合. （1）若，求的取值范围； （2）若是的必要条件，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，解出的取值范围即可. （2）由题可得，然后找到约束条件，解出的取值范围 （3）根据题意找到的约束条件，解出的取值范围. 【小问1详解】 因为，由，所以， 即解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 由已知得， ①若，则，解得； ②若，则解得， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 当时，不满足. 当时， 由，可得， 解得，则的取值范围为. 18. 已知，，且，证明： （1）； （2）． 【答案】（1） ， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知为二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式； （3）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，原不等式无解； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解. （2）求出方程的根，根据根的大小对进行分类讨论，在不同情况下解不等式. （3）令，结合二次函数的性质列出满足条件的的约束条件，解出的取值范围. 【小问1详解】 设，则， ，解得， 则； 【小问2详解】 将得， 即， 当即时，原不等式无解； 当即时，原不等式的解集为， 当即时，原不等式的解集为， 综上所述： 当时，原不等式无解； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 【小问3详解】 方程在区间上有两个不相等的实数根，令，函数的图像开口向上，且对称轴为. 则， 解得， 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $