湖南长沙市长沙县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次素质检测数学试题

参考答案 1.D【详解】由题意知，2eB,则a+2=2,解得a=0,此时A={0,b}; 又A∩B={2},所以b=2,此时有A={0,2},B={2,5}所以AUB={0,2,5},故选：D 2.D【详解】由x22x解得：x(x一2)≥0，所以x≤0或x22.选D 3A【1M-W--+小-o=01-o+经0> 故选：A. 4.B【详解】由x+2<5台-5<x+2<5台-7<x<3, 所以“x<3”是x+2<5”的必要不充分条件.故选：B 5.A【详解】根据题意可知4x-2y=x+y+3(x-y), 由1≤x-y≤2可得3≤3(x-y)≤6，又-1≤x+y≤1， 所以2≤x+y+3(x-y)s7,即4x-2y的取值范围是[2,7]. 6.C【详解】对于A选项，函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{xx≠0， 这两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不相等； 对于B选项，对于函数f)=可+1，有-120， x+1≥0，解得x≥1， 对于函数g(x)=V2-1,有x2-1≥0，解得x≤-1或x≥1， 函数f(x)的定义域为[l,+o),函数g(x)的定义域为(-o,-1U[l,+o), 这两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不相等： 对于C选项，函数f(x)、(x)的定义域均为R, 且f(x)=x+1=〈 x+1,x≥-1 -x-lx<'C选项中的两个函数相等； 对于D选项，函数f()=4的定义域为{k≠2}，g()的定义域为R, x-2 这两个函数的定义域不相同，D选项中的两个函数不相等.故选：C. 第5页（共11页） 7.C【详解】解：因为不等式+m+1≥0对一切xe0,等价于-a≤+-x+,0<x≤ 恒成立，设fx)=x+,(0<x≤，易得f)在xe(O,]为减函数， 所以。=兮号即as号副a≥-号副a的取值的世是I9四，放选心 8.A【详解】x+y=(x+3)+y-3=[(x+3)+y小1-3 =++n3=2+点 ≥1+4yx+3=1+4=5 Vx+3 y 当且仅当本生k等号即y=43结合中}分 1,11 可得x=1,y=4时，取得最小值5.故选：A. 9BD【详解】对于A取a=-h=1,满定君石而a<b,A佑误 对于B,由0<ac<bc,得0<a2c2<b2c2,则a2<b2,B正确； 对于C,由a=-l,b=-2,c=1,d=2,满足a>b,c<d,但是a-c>b-d,C错误： 对于D,由b>a>0,m>0,得 b_b+m_mb-@>0,D正确故选：BD aa+m a(a+m) 10.AD【详解】A选项a>0,0bs白+-号当且仅当0=6时，等号皮 44 立，A正确；B选项，（Na+b=a+b+2ab=3+2ab>3, 故√a+√b>√5，故B错误. 选项，6+3+b=b+a+6+bb++2220 三一十 a b a b a'b b.0+2=4, 当且仅当会号即a=6时，等号成立，C正确； D选项，。+公_a+-2(a+)+l,b+-26+1+1 a+1b+1 a+1 b+1 第6页（共11页） =a+1+1+b+1+4=1t1+1, a+1 b+14a+1b+1 其中a>0,b>0,a+h=3,故04+b+1-l, -+ 55 所g-(6eg）号+0a 0号散号 2 当且仅当5O+司5口+，即a-b-时，等号成立，D正确故选：ACD a+1b+1 2 11.ABD【详解】①函数y=h(x+6的对称轴是直线x=6,可得函数y=h(x)的对称轴是直 X2-X1 线x=0,即函数y=h()为偶函数：②，12,0，当≠6时，都有()-h5<0, 当x2>x时，h(x2)<h(x),即函数y=h(x)在[-12,0上单调递减， 再根据①其为偶函数，函数y=h(x)在[0,12上单调递增； A.h(-4)=h(4)>h(3),A正确： B.函数y=h(x)在[-12,0上单调递减，在[0,12]上单调递增，h(x)的图象是连续不断的， 故函数y=h(x)在x=0时取最小值，不妨设最小值为M,即x∈[-12,12]，M∈R,使得 h(x)≥M,B正确； C.不等式h(2x-l)>h(3),则 -12s2x-1s12解得-)s。 2x-1>3 2≤x<-1或2<x<3, C错误 D.不等式h(x-)小>0，得>0 x<0 12≥x-1>10或 -10<x-1<0'解得13≥x>11或-9<x<0, 故解集为(-9,0)U(11,13,D正确；故选：ABD 12.x<3且x≠【详解】由题意，函数--少有意义， √-x+3 则 仁x+3>0:解得x<3且x≠1，所以函数的定义域为xx<3且x≠. x-1≠0 第7页（共11页） 13.+2【详解】方程x2+mx-2=0中，△=m2+8>0,而x,x2是该方程的两个实根， 于是x+x2=-m,x2=-2,由x+x号=8，得%+x2)2-2xx2=8, 即m2+4=8,解得m=±2，所以实数m=±2.故答案为：±2 14.[-4,0].【详解】试题分析：：f(x)=x2+a-2,.f()= 「x2+ax-2a,x≥2 [x-ax+2a,x<2' 又.f(x)在(0.+)上单调递增，∴. 2 →4≤a≤0，即实数a的取值范围是[-4.0]， 0 15.【详解】(1)集合A={xx2+3x+2=0}={-1,-2},即A={-1,-2}: 4分 (2)由已知A={-l,-2},B={xx2+(m+1)x+m=0}={x(x+l)(x+m)=0,5分 若x∈B是x∈A的充分条件，则BSA, 7分 情形一：若m=1,则B={-1}cA={-1,-2},故m=1满足题意； 9分 情形二：若m=2,则B=A,故m=2满足题意； 11分 情形三：若m≠1且m≠2，则存在-m∈B,但-m廷A,这与B≤A矛盾，故此情形不符合题 意； 12分 综上所述，满足题意的m的值为1或2 13分 16.【详解】(1)由f(x)为二次函数，可设f(x)=ar2+bx+c(a≠0) 2分 :f(x)图象的对称轴为x=1,最小值为-1，且f(0)=0, 3分 b1 2a a=1 ∴.c=0 .{b=-2, b2 c=0 =-1 4a .f(x)=x2-2x. 8分 (2),f(x)>m-3x,即x2+x>m在[1,3]上有解， 11分 又，当x∈[-1,3]时，x2+x有最大值12， 第8页（共11页） .m<12, ∴.实数的取值范围为(-0,12). 15分 .【10.0时之2哥-2-2写-号 当且仅当x=y=3时，等号成立， 即上+的最小值为 11 2 5分 x y (2)由x>2,则x-2>0, 2-244 则x+4 -2 +222x242+2=6 当且仅当x-22即=4时，等号成立， 即x+4的最小值为6： 10分 x-2 (3)由x>0,y>0, 则+2 2+=2+2 1.x 2y=22, =y,即x=y=√2时，等号成立， 即+ +产+y的最小值为2V2 1 15分 18.【详解】(1)当0≤x≤3时，销售收入为20x亿元（每台售价20万元，x万台）， 总成本为固定研发成本20亿元加上其它成本x2+6x+4亿元， 根据利润=销售收入-总成本，可S(x)=20x-(20+x2+6x+4)=-x2+14x-24,4分 当3<x≤10时，销售收入为20x亿元，总成本为20+24x+14-107亿元， 则S0)=20x-(20+24x+14-107)=87-4x-144 第9页（共11页） -x2+14x-24,0≤x≤3 所以S(x)= 87-4x-14,3<x≤10 8分 (2)当0≤x≤3时，S)=-2+14x-24,图象开口向下，对称轴为x=2x- 14 =7, 但0≤x≤3，所以在这个区间上函数单调递增，所以S(x)=S(3)=9亿元，12分 144 当3<x≤10时，根据基本不等式有4x+ ≥2,4x 14448, 当且仅当4x=144 即x=6取等号， 所以S)=87-(4x+144≤87-48=39亿元，当且仅当4x=14 ,即x=6取等号 16分 因为39>9，所以当年产量为6万台时，该企业获利最大，最大年利润为39亿元 17分 19.【详解】(1)证明：若函数f(x)在区间1上具有性质B, 对任意x,x2∈I且x<x2,由条件可知f(x,)-x2>f(x)-x 变形可得f(x)-f(x)>x-x>0,即f(x2)-f(x)>0, 所以f(x)在区间I上单调递增，即充分性成立： 3分 若函数f(x)位区间I上单调递增，如f(x)=x在任意区间I上单调递增， 但f(x)-x=0,故不符合性质B,即必要性不成立； 所以“f(x)在区间1上具有性质B”是“f(x)在区间1上单调递增的充分不必要条件. 5分 (2)若具有性质A,即可知g()=(因)+x=k+x在区间2，o)上单调递增。 6分 对任意x,x2[2,+∞)，且x<x2, (s-xk->0, 8分 XX2 因为2≤x<x2,则x-x20,xx2》4>0, 可得k<xx2恒成立，则k≤4， 第10页（供11页） 所以实数k的取值范围是{kk≤4： 10分 (3)由条件可知，具有性质4，即y=(x=+在区间aa+上单调道地： 由条件可知，f(:)具有性质B,即y=f(x)-x=x+3在区间[a,a+刊上单调递增：12分 由对勾函数可知：y=3x+的增区问为--小L+切)， y=x+3的增区间为(0，-][5，+o), 15分 要使得条件成立，需要a+1≤-√3或a≥√3， 解得a≤-V3-1或a≥3， 所以实数a的取值范围是{da≤-V3-1或a≥V3}. 17分 第11页（共11页） 长沙县一中2026年高一第一次素质检测数学试卷 时量：120分钟 总分: 150分 一、单选题(每小题只有一个正确答案，每题5分，共40分) 1.设集合A={a,b},B={a+2,5},若A∩B={2},则A∪B= ( ) A.{0,2} B.{0,5} C.{0,2,2,5} D.{0,2,5} 2.不等式 的解集是( ) A. {x|x≥2} B. {x|x≤2} C. {x|0≤x≤2} D. {x|x≤0或x≥2} 3.设M=2a(a-2)+7, N=(a-2)(a-3),则有( ) A. M>N B. M≥N C. M<N D. M≤N 4. “x<3”是“|x+2|<5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知-1≤x+y≤1, 1≤x-y≤2,则4x-2y的取值范围是( ) A.[2,7] B.[3,8] C.[2,8] D.[5,10] 6.下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A. f(x)=1, g(x)=x⁰ 7.若不等式 对一切 都成立，则a的取值范围是( ) A. (-∞,0) B. (-∞,-2] D. [-3,+∞) 8. 已知x>0,y>0,且 则x+y的最小值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题(每小题有多个正确答案，部分选对得分段分，选错误答案得0分，每题6分，共18分) 9.下列命题中，正确的有 ( ) A. 若 则a>b B. 若0<ac<bc, 则 C. 若a>b, c<d, 则a-c<b-d; D. 若b>a>0, m>0, 则 10. 已知a>0, b>0, a+b=3, 则( ) A. ab的最大值为 的最小值为 的最小值为4 的最小值为 11.已知定义在[-12，12]的函数h(x)同时满足以下四个条件：①函数y=h(x+6)的对称轴是直线x=-6, ②∀x₁,x₂∈[-12,0],当 时，都有 ③h(-10)=0, ④h(x)的图象是连续不断的.则下列选项成立的有( ) A. h(3)<h(-4) B. ∀x∈[-12,12], ∃M∈R, 使得h(x)≥M C. 不等式h(2x-1)>h(3)的解集是(-1,2) D. 不等式 xh(x-1)>0的解集是(-9,0)∪(11,13] 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 函数 的定义域是 . 13.已知关于x的方程. 有两个实根x₁，x₂，满足 则实数m= . 14.若函数 在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 四、解答题(写出必要的解答步骤，共77分) 15.(满分13分)设集合 (1)用列举法表示集合A； (2)若x∈B是x∈A的充分条件,求实数m的值; 16.(满分15分)若二次函数y=f(x)的图象的对称轴为x=1,，最小值为-1,且f(0)=0. (1)求f(x)的解析式; (2)若关于x的不等式.f(x)>m-3x在区间[-1,3]上有解，求实数m的取值范围. 17. (满分15分)(1)设x>0,y>0,且xy=9,求 的最小值； (2)若x>2,求 的最小值； (3)若x>0, y>0,求 的最小值. 18.(满分17分)某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车x万台(0≤x≤10)且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为 (单位：亿元)，(其中，利润=销售收入-总成本) (1)写出年利润S(x)(亿元)关于年产量x(万台)的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润. 19.(满分17分) 设函数y=f(x)的定义域为M, 且区间I⊆M. 若函数y=f(x)+x在区间I上单调递增，则称函数f(x)在区间I上具有性质A；若函数y=f(x)-x在区间I上单调递增，则称函数f(x)在区间I上具有性质B. (1)试证明：“函数f(x)在区间I上具有性质B”是“函数f(x)在区间I上单调递增”的充分不必要条件； (2)若函数 在区间[2，+∞)上具有性质A，求实数k的取值范围； (3)若函数 在区间[a，a+1]上同时具有性质A 和性质B，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $