精品解析：湖南长沙市岳麓实验中学2026-2027学年高一上学期10月学情检测数学试题

岳麓实验2026年下学期高一10月学情检测 数学 考试范围：必修一1-2章；考试时间：120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共8小题，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题错误的个数有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. “高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80位，使用过扫码支付的学生共有65位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30位，则使用过共享单车的学生人数为（ ） A. 65 B. 55 C. 45 D. 35 8. 若是正数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，共18分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题p的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 10. 集合，且，实数a的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，共15分） 12. 已知，则实数的值为___________． 13. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______. 14. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知命题成立；命题：方程有两个不相等的负根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最大值 17. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 18. 已知集合，集合 （1）求集合； （2）若集合，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳麓实验2026年下学期高一10月学情检测 数学 考试范围：必修一1-2章；考试时间：120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共8小题，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断原命题类型，再根据特称量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题“，”的否定是“，”. 故选：B 2. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐一判断选项可得结果. 【详解】解：若，则，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误； 故选：A. 3. 已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义，运用排除法直接得出结论. 【详解】因为元素，且，所以该元素是3； 故选：D. 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，由不等式的性质得，故选项A正确. 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 6. 下列命题错误的个数有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、圆周角性质、确定圆的条件、反比例函数图象性质、三角形的内心性质和外心定义逐一分析即可得出结果. 【详解】因为平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ，所以①错误； 因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确； 因为经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以③错误； 因为，所以反比例函数的图象在一、三象限， 当时，，当时，，，与y随x 的增大而减小矛盾，所以④错误； 因为三角形的内心到三角形三条边距离相等，三角形三边的垂直平分线的交点叫做外心，所以 ⑤正确. 综上，①③④错误. 故选：C. 7. “高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80位，使用过扫码支付的学生共有65位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30位，则使用过共享单车的学生人数为（ ） A. 65 B. 55 C. 45 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】 用集合表示使用过共享单车的人，集合表示使用过扫码支付的人，根据集合运算确定结果． 【详解】参数调查的所有人组成全集，使用过共享单车的人组成集合，使用过扫码支付的人组成集合，表示集合中的元素， 由题意，，， ∴，∴． 故选：C． 8. 若是正数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再利用基本等式求最小值即可. 【详解】 当且仅当或时取等号. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查学生分析问题的能力，属于简单题. 二、多选题（共3小题，共18分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题p的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可. 【详解】对于A，命题，则命题p的否定是，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，，即， 即，故a的取值范围为，故C正确； 对于D，关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 10. 集合，且，实数a的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题设且，讨论是否为空集求对应的参数值即可. 【详解】由题设，又，故， 当时，； 当时，1或2为的解，则或. 综上，或或. 故选：ABC 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次不等式解集可知，且方程的两根分别为2，3，结合韦达定理可得之间的等量关系，分别代入各个选项即可得出结果. 【详解】解：因为的解集为， 所以，且方程的两根分别为2，3， 由韦达定理可知：，结合， 解得，所以， 所以选项A、B正确； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D错误. 故选：ABC 三、填空题（共3小题，共15分） 12. 已知，则实数的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性来确定参数的取值即可. 【详解】因为， 则当时，那么，不符合集合元素的互异性，不满足题意， 当时，，集合为满足题意， 所以实数的值为4 故答案为：4 13. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：. 14. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知命题成立；命题：方程有两个不相等的负根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由命题为真，可知不等式的解集非空，利用判别式得解； （2）分别求出命题为真时的取值范围，再由一真一假列出不等式求解. 【小问1详解】 若命题为真命题，根据二次函数的性质可得，， 解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真，即一元二次方程有两个不相等的负根，设为， 则解得. 若命题和命题有且只有一个是真命题，则为真假或假真， 当真假时，有解得； 当假真时，有解得. 综上，实数的取值范围为或. 16. （1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最大值 【答案】（1）-2；（2）. 【解析】 【分析】（1）提负号，使用均值不等式． （2）原式可化为，即构造和为定值，使用均值不等式． 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 所以， 所以，函数的最大值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最大值为. 17. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】（1）长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可得； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可得. 【小问1详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； 【小问2详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 18. 已知集合，集合 （1）求集合； （2）若集合，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【解析】 【分析】（1）直接解方程可求集合； （2），则且，将代入方程求出的值，再将的值代入方程，解方程可得集合，检验是否满足条件即可； （3）若，则，可得或或或；分别讨论这四种情况即可求解. 【详解】（1）； （2）由（1）知：，若集合，则且， 将代入方程可得， 解得：或； 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 所以或； （3）若，则，所以或或或； 当时，方程无解，所以， 解得：， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个不相等的实根， 所以此时无解， 综上所述：实数的取值范围为. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $