专题11 对数函数的图像与性质十类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以六大核心解法为主线，通过10类题型构建“概念-性质-应用”逻辑链条，提炼可迁移思维路径，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法提炼|聚焦定义域限制、定点求解等六大核心，强调真数大于0及复合函数单调性法则|从对数函数基本概念出发，构建性质应用底层逻辑| |题型归纳|10典例+多变式|针对定点问题、定义域/值域等10类题型，提炼“令真数为1”“同增异减”等具体方法|按“基础应用-性质深化-综合迁移”递进，实现知识结构化| |压轴挑战|综合拔高题组|融合奇偶性、单调性与不等式综合，强化参数分类讨论与转化思想|对接高考命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题11 对数函数的图像与性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、对数型函数过定点问题 题型六、对数型函数的奇偶性求参数 题型二、对数型函数的定义域/值域为R 题型七、由对数型函数的单调性求参数 题型三、对数型函数的图像应用及其变换 题型八、由对数型函数的单调性解不等式 题型四、换元法求对数型函数的值域 题型九、对数的比较大小 题型五、由对数型函数的值域/最值求参数范围 题型十、对数函数的最值与不等式综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 对数型函数是高中基本初等函数重难点，所有题型均围绕对数定义域限制、定点求解、图像变换、换元求值域、复合单调性、奇偶性、对数不等式与大小比较六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是对数真数恒大于0，二是复合函数单调性遵循同增异减法则，所有参数结果最终均要带回定义域检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、对数型函数过定点问题 典例1 已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：函数含有参数，形式为类对数型表达式，寻找不受底数参数影响、恒经过的定点；核心依据： 2.方法：①令对数内部真数整体等于1，解出对应的 ②将求得的代入原式，计算对应值 ③写出定点，代入原式验证 变式1-1（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 变式1-2（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 类型二、对数型函数的定义域/值域为 典例2 （2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 题型模版 1.特征：已知，区分两类设问：定义域为、值域为，极易混淆；多为一次、二次含参多项式 2.方法：①定义域为：保证真数对全体实数恒成立 ②值域为：保证真数能够取遍全体正实数 ③二次函数情形重点区分判别式、开口方向两类约束，不可混淆 变式2-1（25-26高一上·河南·期末）已知函数，均为实数． (1)若，的定义域为，求的取值范围； (2)若，的值域为，求的取值范围． 变式2-2（25-26高一上·广东·期末）已知函数，函数的图象与的图象关于直线对称. (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)不等式在上恒成立，求正实数的取值范围. 变式2-3（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 题型三、对数型函数的图像应用及其变换 典例3 （25-26高二下·江西南昌·期末）已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型模版 1.特征：基于基础对数函数，结合平移、对称、翻折得到新函数；利用图像比较底数大小、估算函数值、求解简单不等式 2.方法：①图像变换：左加右减作用于，上加下减作用于整体函数 ②关于轴对称：；关于轴对称： ③底数判定：处，图像越低，底数越大 ④绘制简易图像辅助判断取值范围 变式3-1（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 变式3-2（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   变式3-3（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.    题型四、换元法求对数型函数的值域 典例4 （2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 题型模版 1.特征：复合函数，内层为常见初等函数，依靠内层范围求解对数输出范围 2.方法：①先求出内层的取值集合，满足 ②结合底数判断外层对数单调性 ③根据区间求出函数最大值、最小值，写出值域 变式4-1（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 变式4-2（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为______． 变式4-3（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为_________. 题型五、由对数型函数的值域/最值求参数范围 典例5 （25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 题型模版 1.特征：给定对数复合函数目标值域或最值条件，反向求解参数；常结合二次内层函数考察 2.方法：①锁定内层，由值域反向推导可取区间 ②列出不等式约束内层函数边界，求解参数 ③重点验证区间端点是否能够取到 变式5-1若函数的值域是，则的取值范围是______． 变式5-2（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 变式5-3（23-24高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数（且），若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为________. 题型六、对数型函数的奇偶性求参数 典例6 （25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 题型模版 1.特征：含参对数函数满足奇函数或偶函数定义，求解参数；常见形式 2.方法：①先决条件：定义域关于原点对称 ②利用（偶函数）或（奇函数）恒成立 ③对比等式系数建立方程求解参数，算出参数后必须回代检验定义域 变式6-1（24-25高一下·湖北·期中）若函数为奇函数，则实数的值为__________． 变式6-2（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则__________． 变式6-3（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 题型七、由对数型函数的单调性求参数 典例7 （25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：复合对数函数，给出单调区间，反求参数范围 2.方法：①分清外层单调性：递增，递减 ②依据同增异减推出内层对应的增减区间 ③叠加约束：真数在指定区间恒成立，联立求解参数 变式7-1（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式7-2（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-3（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八、由对数型函数的单调性解不等式 典例8 已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：不等式两侧整理为同底对数形式，依托对数单调性脱去对数外壳 2.方法：①统一底数，同时列出三重约束： ②转化为；不等号反向 ③联立所有不等式取交集，得到解集 变式8-1（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 变式8-2（25-26高三下·上海宝山·期中）已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 变式8-3（25-26高二上·云南昆明·期末）设函数，则不等式的解集为________. 题型九、对数的比较大小 典例9 （25-26高二下·山东烟台·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：多个对数式比较大小，底数、真数不统一，无统一单调区间可直接判断 2.方法：①分类策略：同底看真数、同真数看底数 ②中间量搭桥：借助0、1等临界值划分区间 ③底数不同真数不同，可化为同底或作差、图像估算 变式9-1（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 变式9-2（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式9-3（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十、对数函数的最值与不等式综合 典例10 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 题型模版 1.特征：结合对数函数最值，考察恒成立、存在性不等式，形如恒成立、存在使 2.方法：①先求解函数在定义域上最大值或最小值 ②恒成立问题：；存在性问题： ③求解参数范围，检验区间端点能否取等 变式10-1（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数且. (1)若，判断函数的奇偶性并证明； (2)当时，求证：对于任意，都有； (3)设，若在上的值域为，求的取值范围. 变式10-2（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 变式10-3（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数． (1)设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． (2)对任意、，恒成立，求的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二下·天津河北·期末）已知函数在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 7．已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 8．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的图像关于直线对称 C．在上不具有单调性 D．若，则 9．（25-26高二下·河南南阳·期末）如图，直线（）与函数的图象交于，（）两点，分别过，作轴的平行线与函数的图象交于，两点，则（    ） A．实数的取值范围为 B．，，三点必在同一条直线上 C．若轴，则 D．若轴，则 三、填空题 10．（2026高三·全国·专题练习）对于，给出下列四个不等式①；②；③；④．其中成立的是________． 11．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 12．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数（且）在区间上单调递减，则的取值范围是________． 13．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于点，.记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为______. 四、解答题 14．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，其中且. (1)试判断函数的奇偶性； (2)当时，求函数的值域； (3)若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 15．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 17．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数为偶函数，． (1)求实数的值； (2)若当时，函数的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围； (3)若当时，函数的最大值与最小值的和为2016，求实数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 对数函数的图像与性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、对数型函数过定点问题 题型六、对数型函数的奇偶性求参数 题型二、对数型函数的定义域/值域为R 题型七、由对数型函数的单调性求参数 题型三、对数型函数的图像应用及其变换 题型八、由对数型函数的单调性解不等式 题型四、换元法求对数型函数的值域 题型九、对数的比较大小 题型五、由对数型函数的值域/最值求参数范围 题型十、对数函数的最值与不等式综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 对数型函数是高中基本初等函数重难点，所有题型均围绕对数定义域限制、定点求解、图像变换、换元求值域、复合单调性、奇偶性、对数不等式与大小比较六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是对数真数恒大于0，二是复合函数单调性遵循同增异减法则，所有参数结果最终均要带回定义域检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、对数型函数过定点问题 典例1 已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】对于函数（且）， 由可得，且，故，， 则有，即，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 题型模版 1.特征：函数含有参数，形式为类对数型表达式，寻找不受底数参数影响、恒经过的定点；核心依据： 2.方法：①令对数内部真数整体等于1，解出对应的 ②将求得的代入原式，计算对应值 ③写出定点，代入原式验证 变式1-1（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出，进而得到，根据结合基本不等式即可求出答案. 【详解】函数（，且）的图象恒过定点， 因为点在上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 变式1-2（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. 类型二、对数型函数的定义域/值域为 典例2 （2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 题型模版 1.特征：已知，区分两类设问：定义域为、值域为，极易混淆；多为一次、二次含参多项式 2.方法：①定义域为：保证真数对全体实数恒成立 ②值域为：保证真数能够取遍全体正实数 ③二次函数情形重点区分判别式、开口方向两类约束，不可混淆 变式2-1（25-26高一上·河南·期末）已知函数，均为实数． (1)若，的定义域为，求的取值范围； (2)若，的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域为可知在上恒成立，令判别式小于即可； （2）由的值域为可知要取遍所有正数，即有解，令判别式大于等于即可. 【详解】（1）若，此时， 由的定义域为可知在上恒成立， 所以，解得． （2）若，此时， 由的值域为可知的值域需包含， 因为是开口向上的抛物线，因此必须满足其最小值， 等价于有解， 所以，解得． 变式2-2（25-26高一上·广东·期末）已知函数，函数的图象与的图象关于直线对称. (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)不等式在上恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用反函数的意义求出，再利用对数函数的性质及二次函数性质求出范围. （2）由（1）中函数，利用对数函数定义可得恒成立，进而求出范围. （3）将给定不等式等价转化，再利用对数函数单调性及基本不等式求出范围. 【详解】（1）由函数的图象与的图象关于直线对称，得函数与函数互为反函数， 而，则，， 由的值域为，得的取值集合包含， 因此，解得，所以实数的取值范围是. （2）由的定义域为，得恒成立， 当时，成立，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）函数在上单调递增，为正实数， 不等式 ， 因此，依题意，对恒成立， 函数在上单调递增，则当时，，解得， 不等式，而 ，令， 函数在上单调递增，当，即时，，则， 所以正实数的取值范围是. 变式2-3（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，利用对数函数单调性求解不等式. （2）将问题转化为对任意实数，不等式恒成立求解. （3）根据给定条件，由函数的值域包含求解即可. 【详解】（1）当时，不等式，即， 则，即，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）函数的定义域为，则对任意，恒成立， ①当时，得且，解得； ②当时，恒成立，的定义域为成立， 所以得的取值范围为. （3）函数的值域为，则函数的值域包含， 当时，不符合题意； 当时，是开口向下的二次函数，不符合题意； 当时，，当且仅当时取等号， 因此函数的值域为，则， 于是，解得，所以的取值范围为. 题型三、对数型函数的图像应用及其变换 典例3 （25-26高二下·江西南昌·期末）已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据图象关系，求解出变量关系，进而将转化，通过基本不等式即可求解. 【详解】由题可知，因为轴，因此， 则，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 题型模版 1.特征：基于基础对数函数，结合平移、对称、翻折得到新函数；利用图像比较底数大小、估算函数值、求解简单不等式 2.方法：①图像变换：左加右减作用于，上加下减作用于整体函数 ②关于轴对称：；关于轴对称： ③底数判定：处，图像越低，底数越大 ④绘制简易图像辅助判断取值范围 变式3-1（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 变式3-2（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 变式3-3（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.    【答案】 【分析】根据已知得，且A在函数图象上，而B在函数图象上，将点坐标代入列方程求参数值. 【详解】由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形， 所以，，得， 显然A在函数图象上，而B在函数图象上， 则，得，解得 故答案为： 题型四、换元法求对数型函数的值域 典例4 （2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 题型模版 1.特征：复合函数，内层为常见初等函数，依靠内层范围求解对数输出范围 2.方法：①先求出内层的取值集合，满足 ②结合底数判断外层对数单调性 ③根据区间求出函数最大值、最小值，写出值域 变式4-1（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 变式4-2（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为______． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 变式4-3（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为_________. 【答案】 【分析】由题意利用对数的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解. 【详解】由题意函数的定义域为，而， 不妨设，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型五、由对数型函数的值域/最值求参数范围 典例5 （25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 题型模版 1.特征：给定对数复合函数目标值域或最值条件，反向求解参数；常结合二次内层函数考察 2.方法：①锁定内层，由值域反向推导可取区间 ②列出不等式约束内层函数边界，求解参数 ③重点验证区间端点是否能够取到 变式5-1若函数的值域是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】求解的值域，即可根据求解. 【详解】由于的值域是， 令，则要能取遍所有的值， ， 因此，故 故答案为： 变式5-2（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 变式5-3（23-24高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数（且），若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】确定单调递增，转化为有两个解，设得到，解得答案. 【详解】当时，在上单调递增，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递减， 故在单调递增， ，， 即有两个解，设，，即有两个不相等的正根， 故，解得. 故答案为：. 题型六、对数型函数的奇偶性求参数 典例6 （25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 题型模版 1.特征：含参对数函数满足奇函数或偶函数定义，求解参数；常见形式 2.方法：①先决条件：定义域关于原点对称 ②利用（偶函数）或（奇函数）恒成立 ③对比等式系数建立方程求解参数，算出参数后必须回代检验定义域 变式6-1（24-25高一下·湖北·期中）若函数为奇函数，则实数的值为__________． 【答案】1 【分析】利用奇函数的性质和对数的运算性质得到关于的二次参数方程，再比较系数可得. 【详解】由题意可得，即， 即， 所以，即， 展开整理可得， 即， 比较系数可得，解得. 当时，，函数定义域为关于原点对称， ，为奇函数符合题意. 故答案为：1 变式6-2（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则__________． 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故，经检验符合题意. 所以. 故答案为：. 变式6-3（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 题型七、由对数型函数的单调性求参数 典例7 （25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 题型模版 1.特征：复合对数函数，给出单调区间，反求参数范围 2.方法：①分清外层单调性：递增，递减 ②依据同增异减推出内层对应的增减区间 ③叠加约束：真数在指定区间恒成立，联立求解参数 变式7-1（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 变式7-2（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 变式7-3（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数，再结合真数在区间上恒正，得到，最终即可得到的取值范围. 【详解】根据题意，对于函数， 令，则， 又由且，则为减函数， 若函数在上是减函数， 必有，解可得， 即的取值范围为. 题型八、由对数型函数的单调性解不等式 典例8 已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解. 【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且 ， 则是定义在的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 题型模版 1.特征：不等式两侧整理为同底对数形式，依托对数单调性脱去对数外壳 2.方法：①统一底数，同时列出三重约束： ②转化为；不等号反向 ③联立所有不等式取交集，得到解集 变式8-1（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 变式8-2（25-26高三下·上海宝山·期中）已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时无解; 当时 【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得. （2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值 【详解】（1）已知， . 由，代入得：. 因为，所以，即， 得，解得. （2）由 得 . 当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 . 结合 得 . 故 且 对 恒成立. 令 , . 令 ,由 ,得 ,且 . 于是. 这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为. 对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。 又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减. 所以 , . 故 又 对一切 恒成立. 则需大于 在 上最大值即 . 因为 与 不能同时成立. 故 时无解. 当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立. 故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 . 又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 . 综上所述, 的取值范围是 . 变式8-3（25-26高二上·云南昆明·期末）设函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况解不等式即可； 【详解】当时，，易知为单调递增函数，故，满足； 当时，，解得， 故不等式的解集为， 题型九、对数的比较大小 典例9 （25-26高二下·山东烟台·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性和对数换底公式化简比较求解. 【详解】当时，在上单调递增， 在上单调递减，所以，即， 因为， ，所以. 题型模版 1.特征：多个对数式比较大小，底数、真数不统一，无统一单调区间可直接判断 2.方法：①分类策略：同底看真数、同真数看底数 ②中间量搭桥：借助0、1等临界值划分区间 ③底数不同真数不同，可化为同底或作差、图像估算 变式9-1（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. 变式9-2（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， ， ，即， ． 变式9-3（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 题型十、对数函数的最值与不等式综合 典例10 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 题型模版 1.特征：结合对数函数最值，考察恒成立、存在性不等式，形如恒成立、存在使 2.方法：①先求解函数在定义域上最大值或最小值 ②恒成立问题：；存在性问题： ③求解参数范围，检验区间端点能否取等 变式10-1（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数且. (1)若，判断函数的奇偶性并证明； (2)当时，求证：对于任意，都有； (3)设，若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)偶函数，证明： 当时，函数是偶函数. 函数的定义域为，满足， 所以是偶函数. (2) 由，得，由，得或， 函数在上单调递增，又当时，函数是增函数， 则函数在区间上单调递增， 当时，， 任意， ， 所以原不等式成立. (3) 【分析】（1）把代入，利用函数奇偶性定义判断并证明. （2）根据给定条件确定函数在的单调性，并求出最小值与最大值即可推理得证. （3）确定函数在上单调性并求出值域，利用集合相等建立方程组，进而转化为一元二次方程实根分布求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，得， 当时，函数在上单调递减，而函数是减函数， 则函数在上单调递增，函数在上单调递增， 于是，即，则， 化简得，即有， 因此是关于的方程在上两个不等根， 设，则， 解得，所以的取值范围是. 变式10-2（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①将点代入函数求出； ②先根据得到关于的方程，再利用分离参数法得到，结合函数的单调性求出的取值范围； （2）先对函数进行化简，再根据对数函数的性质分析其最小值情况，进而确定的取值范围. 【详解】（1）①因为函数的图象经过点， 所以， 所以 由为单调递增函数，解得； ②， 因为，所以，即， 整理得. 因为当时，函数单调递减，所以， 所以使方程在上有解的实数的取值范围是； （2）由题意得， 当时，令，解得，所以的定义域为， 令，则为增函数，所以函数是增函数， 所以在上单调递增，无最小值； 当时，在上单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，又因为函数是增函数， 所以， 解得. 综上，存在实数使得存在最小值，且最小值小于， 此时实数的取值范围为. 变式10-3（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数． (1)设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． (2)对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）最小值为，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）（i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二下·天津河北·期末）已知函数在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的性质得，再由函数的单调性进行判断． 【详解】因为，所以，则，即， 故， 由于函数在区间上单调递减，所以． 2．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数的性质化简给定不等式，得到，再结合的单调性求解对数不等式，即可得到的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 3．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数所过的定点，从而可求得，的关系，再由基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得解 【详解】因为函数（且），所以当，即，， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以直线为，即，所以， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立. 故选：C. 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，一次函数及二次函数的性质，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 5．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到的值，代入后根据参数的取值范围即可得结果. 【详解】由得. 又，所以，所以，所以， 所以，所以. 由得，解得. 所以，根据对勾函数的性质知在上单调递减， 当时，；当时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 6．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 7．已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以， ，故不恒过定点，故C错误； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减， 且，即，解得，故,故D正确. 8．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的图像关于直线对称 C．在上不具有单调性 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对函数进行化简后，结合基本不等式求解最小值判断A，利用函数对称性的定义判断B，利用复合函数的单调性判断C，结合对称性与换元法判断D即可. 【详解】对于A，由题意得 ， 令，则变为， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，，得到的最小值为1，即的最小值为1，故A正确， 对于B，由题意得， 且， 可得，则的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，令，由对勾函数性质得在上单调递增， 由对数函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增，即在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得，且， 令，则，， 因为，所以， 则，且， 而欲证，则证，即证， 则证，则证，即证， 而，则得证，即得证， 而在上单调递增，可得， 即，得到，故D正确. 9．（25-26高二下·河南南阳·期末）如图，直线（）与函数的图象交于，（）两点，分别过，作轴的平行线与函数的图象交于，两点，则（    ） A．实数的取值范围为 B．，，三点必在同一条直线上 C．若轴，则 D．若轴，则 【答案】ABCD 【分析】利用对数换底公式转化两个对数函数关系，结合导数求直线斜率范围、斜率判定三点共线、平行坐标轴条件联立方程求解横坐标即可. 【详解】对于A：当与函数相切时，设切点为， 因为，所以，解得， 所以， 所以要使直线与函数的图象交于两点，则， 故A正确； 对于B：由题意知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 化简得，所以三点共线，故B正确； 对于C、D：若轴，则，即， 所以，所以 ①， 代入得：，整理得 ②， 由②得，因为，所以， 又由①②得，故C、D正确. 三、填空题 10．（2026高三·全国·专题练习）对于，给出下列四个不等式①；②；③；④．其中成立的是________． 【答案】②④ 【分析】利用作差法得，再由判断与都为减函数即可. 【详解】由， 因为，所以，所以，即， 因为，所以为减函数，为减函数， 所以且. 11．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 12．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数（且）在区间上单调递减，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知函数为对数型复合函数，外层为对数函数，内层为含绝对值的三次函数，需根据对数底数和两种情况分类讨论，结合复合函数“同增异减”的单调性规律，以及内层函数的单调区间、真数恒正的条件列不等式组求解. 【详解】设，令，解得或或，且，令，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 作出函数大致图象如下： ①当时，在区间上单调递减，因为函数在上的单调递减区间为， 所以，解得． ②当时，在区间上单调递增，因为函数在上的单调递减区间为，． 所以，解得． 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题属于对数型复合函数单调性求参问题，核心解题方法为“同增异减”原则，即内外层函数单调性相同则复合函数为增函数，单调性相反则复合函数为减函数；遇到底数含参数的对数函数，必须对底数分和两类讨论. 13．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于点，.记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为______. 【答案】32 【分析】设出，，，的横坐标，根据直线和与函数的图象相交的情况，列出等式，进而求得各点坐标，列出，化简，利用基本不等式即可求解. 【详解】根据题意，设，，，各点的横坐标分别为，，，， 直线与函数的图象从左至右相交于点，； 则有，， 求解可得：，， 直线与函数的图象从左至右相交于点，； 则有，， ，， 记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为，， 则，， 则， 又由，则， 则. 四、解答题 14．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，其中且. (1)试判断函数的奇偶性； (2)当时，求函数的值域； (3)若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 【答案】(1)为偶函数， (2)的值域为， (3)时或，时所求的正整数值不存在. 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判定， （2）根据基本不等式求解，即可由对数的性质求解， （3）根据，，为三边长的三角形，将问题转化为恒成立，即可由，分类讨论求解函数的单调性求解. 【详解】（1），定义域为, 且，故为偶函数， （2）当时，， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 因此的值域为， （3）若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形， 故恒成立，且取值为正， 即， 由于时，故在单调递增， 因此当时，在单调递增，当时，在单调递减， 故当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增， 且当时，， 当时，， 由于为正整数，故或. 当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增，且当时，，当 时，，故此时不存在正整数， 综上所述，当时或；当，不存在满足条件的正整数. 15．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 17．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围. 【详解】（1），， （2）略 （3）， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ， 【点睛】思路点睛： 小问 1：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数值. 小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正负，得出函数单调性结论. 小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围. 18．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数为偶函数，． (1)求实数的值； (2)若当时，函数的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围； (3)若当时，函数的最大值与最小值的和为2016，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数的运算公式即可求解； （2）“的图像恒在的图像下方”转化为在上恒成立，变形为，最后求出在上的最大值即可； （3）首先求出的解析式，令，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为是偶函数，所以． 代入得：， 即， 即，即 ， 即（对任意）恒成立，故，解得. （2）“的图像恒在的图像下方”即在上恒成立， 代入得：，整理得：， 化简左边：， 因此不等式变为：， 易知函数在上单调递减，故， 要使不等式恒成立，需，故．即的取值范围. （3）由，得． 又， 所以． 令，由，得，， 当时，；当时，． 由题意，，解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $