第02讲 4.2指数函数综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以指数函数概念为起点，通过“概念-图象-性质-应用”逻辑链条，系统整合判定、图象变换、单调性等核心方法，典例覆盖基础到综合，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |知识梳理|4知识点|概念判定三要素、图象变换规律（平移/对称/翻折）|从定义内涵（底数规定）到外延性质（图象特征、单调性）递进| |题型精讲|11题型（含典例+变式）|单调性应用（比较大小/解不等式）、复合函数值域求法|题型与方法对应，从基础辨析到综合应用| |题型精练|3层次（A10/B5/C5）|综合问题转化（化归为二次函数）|分阶提升，衔接核心素养中的数学思维与表达|

第02讲 4.2指数函数 （4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. 只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点03：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点04：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 第三部分 题型精讲 题型01指数函数的判定与求值 【典例1】（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【典例2】判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【变式2】下列函数是指数函数的序号为______．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是________；是指数函数的是________. 题型02根据函数是指数函数求参数 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数___________． 【变式1】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【变式2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【变式3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 题型03指数型函数图象过定点问题 【典例1】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江苏盐城·期末）函数 且的图像恒过定点，则点坐标是_______. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【变式3】（25-26高一下·湖南长沙·期末）且的图象恒过定点_________． 题型04指数函数图象的识别 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C．D． 【典例2】（25-26高一上·天津静海·阶段检测）函数（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 题型05画指数函数的图象 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）请画出函数的图象. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【变式1】作出函数与的图象 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数： (1)作出其图像； (2)由图像指出当取何值时，函数有最小值，最小值为多少？ 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 题型06利用指数函数的单调性比较大小 【典例1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 题型07利用指数函数的单调性解不等式 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·北京·期中）若，则实数的取值范围是______. 【变式1】（25-26高二下·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【变式3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）不等式的解集是__________. 题型08指数型复合函数的单调性 【典例1】（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 【变式3】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 题型09与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 【典例1】（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】求函数的值域. 【变式1】（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是______． 【变式3】已知函数，若的最大值为2，求的值． 题型10可化为一元二次函数型 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【典例2】（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值和最小值． 【变式2】函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 【变式3】（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的值域; (2)若的最小值为，求的值. 题型11与指数函数的相关的综合问题 【典例1】（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【变式2】（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 【变式3】（25-26高二下·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则函数的图象必定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北沧州·期末）指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）函数是（   ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 6．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（多选）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．与的图象关于轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 9．（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 10．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. B能力提升 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 5．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. C综合素养 1．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 4．（25-26高一下·广东湛江·期中）设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知是定义域为R的奇函数，且 (1)求实数b的值； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若对任意实数，不等式恒成立，求k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 4.2指数函数 （4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. 只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 知识点02：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点03：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点04：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 第三部分 题型精讲 题型01指数函数的判定与求值 【典例1】（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合幂函数､指数函数的定义，即可求解. 【详解】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数， 因为，所以是指数函数. 故选：C. 【典例2】判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)幂函数 (2)幂函数 (3)指数函数 (4)幂函数 (5)指数函数 (6)指数函数 【分析】利用指数函数与幂函数的定义逐一判断即可得解. 【详解】（1）因为形如（且）是指数函数， 形如（）是幂函数，故是幂函数； （2）是幂函数； （3）是指数函数； （4）是幂函数； （5）是指数函数； （6）是指数函数. 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【答案】①④⑦ 【分析】由指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】因为形如且的函数称为指数函数， 所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数. 【变式2】下列函数是指数函数的序号为______．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是________；是指数函数的是________. 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【分析】根据幂函数、指数函数的定义判断可得答案. 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 题型02根据函数是指数函数求参数 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【典例2】（25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数___________． 【答案】/0.5 【分析】根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. 【变式1】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 【变式2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【答案】AC 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 【变式3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型03指数型函数图象过定点问题 【典例1】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点. 【典例2】（25-26高一上·江苏盐城·期末）函数 且的图像恒过定点，则点坐标是_______. 【答案】 【分析】利用指数函数的性质即可求解. 【详解】由函数，令，可得， 当时，可得， 所以函数的图像恒过定点. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 【变式2】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 【变式3】（25-26高一下·湖南长沙·期末）且的图象恒过定点_________． 【答案】 【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可. 【详解】令，得，则， 即且的图象恒过定点. 故答案为：. 题型04指数函数图象的识别 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·天津静海·阶段检测）函数（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，由函数单调性和图象平移知识作出判断，得到答案. 【详解】若，，单调递增， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，BD均不合要求； 若，，故单调递减， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，A满足要求，C不满足要求. 故选：A 【变式1】2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 【变式2】（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性，以及函数的特殊值即可确定出结果. 【详解】因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C 【变式3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断. 【详解】已知其中的三个函数都是指数函数， 指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B 题型05画指数函数的图象 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）请画出函数的图象. 【答案】   【分析】讨论和的情况可得函数解析式，结合指数函数图象可得所求函数图象. 【详解】当时，；当时，， 则函数的图象如图所示，    【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】作出函数与的图象 【答案】 【分析】由的图象再利用图象的翻折和平移变换即可得的图象，为偶函数，当时去绝对值作出轴右边的图象，关于轴对称到左边即可. 【详解】将的图象轴右边的图象关于轴对称地翻折到轴左边即可得的图象，向右平移个单位即可得的图象 函数为偶函数，当时，， 作出的图象向右平移个单位可得保留轴右边的部分关于轴对称的翻折到轴左边即可，图象如图. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数： (1)作出其图像； (2)由图像指出当取何值时，函数有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2)取最小值，最小值为1． 【分析】（1）化简函数为，结合指数函数的图象，得出函数的图象； （2）由（1）中的图象，进而求得函数的最小值，得到答案. 【详解】（1）由函数，得该函数的图象. （2）解：由（1）中的图像可知，当时，函数取最小值1． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】运用指数函数图像，和平移对称变换规律作图即可. 【详解】（1）将已知图象向右平移一个单位即可， （2）将已知图象向下平移一个单位即可， （3）作已知图象关于x轴对称的图象即可， 题型06利用指数函数的单调性比较大小 【典例1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断大小. 【详解】因为指数函数为增函数，且，所以，即； 因为幂函数为增函数，且，所以，即. 所以. 故选：B. 【典例2】已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为在R上单调递增，所以，， 又在R上单调递减，所以， 而在上单调递增，所以，所以，即， 所以. 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性，求得和，再结合指数幂的运算公式，求得，即可得到答案. 【详解】由指数函数在上单调递减，可得， 又由幂函数在上单调递增，可得，所以，即， 因为且，可得，即， 又因为且，可得，即， 所以. 故选：A. 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【答案】 ＜ ＞ 【详解】（1）∵，∴函数在上是减函数， 又，∴， （2）， ∵函数在上是增函数， ∴，即． 题型07利用指数函数的单调性解不等式 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性判定. 【详解】由题，，函数在上是减函数，所以. 【典例2】（24-25高一上·北京·期中）若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由指数函数的单调性得，解一元二次不等式求的范围. 【详解】因为，所以，即， 所以，解得或，故所求范围是. 故答案为： 【变式1】（25-26高二下·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 则由可得， 即，，所以， 因为在上单调递增，所以. 故不等式的解集为. 【变式2】（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 【变式3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为在定义域内单调递减， 若，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 题型08指数型复合函数的单调性 【典例1】（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 【典例2】（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 【变式1】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原函数可以看作由和复合而成，由复合函数的单调性求解. 【详解】令，则， 因为单调递增，时，单调递减， 所以由复合函数的单调性知单调递减， 故选：B 【变式2】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、二次函数的单调性求解即可. 【详解】根据题意，设，对称轴为，则， 函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 必有，解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：D． 【变式3】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用复合函数性质及二次函数性质计算即可得. 【详解】因为复合函数是由与复合而得， 而在上单调递减， 所以的单调减区间即为的单调增区间， 因为开口向下，对称轴为， 所以的单调增区间, 故函数的单调递减区间为. 故答案为：． 题型09与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 【典例1】（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 【典例2】求函数的值域. 【答案】 【分析】利用换元法和函数单调性求得结果. 【详解】令，可知，所以， 结合对勾函数性质可知在时单调递增， 故， 所以函数的值域为. 【变式1】（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 【变式2】（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是______． 【答案】 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式3】已知函数，若的最大值为2，求的值． 【答案】 【分析】设，由有最大值2，结合复合函数的单调性，知有最小值，则可将问题转化为二次函数的最值问题，求解即可． 【详解】设，则． ∵为减函数，又有最大值为2，∴有最小值． 因此，解得． 的值为. 题型10可化为一元二次函数型 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 【典例2】（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值和最小值． 【答案】最小值为1，最大值为2 【分析】解二次不等式可得，结合指数函数单调性可得，换元令，结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为，即， 可得，解得， 令，可得， 当，即时，取到最小值1； 当，即时，取到最大值2. 【变式2】函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 【答案】3或 【分析】令，讨论或，求出t的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】∵ 令，则， 则，其对称轴为. 该二次函数在上是增函数. ①若，由，得， 故当，即时， ，解得(舍去). ②若，由，可得， 故当，即时， . ∴或(舍去). 综上可得或. 【变式3】（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的值域; (2)若的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域； （2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值. 【详解】（1）当时，， 因为，所以，故. 值域为. （2）， 令，则， 当时，即当时，函数取最小值， ∴,即,解得，∴. 当时，函数没有最小值， ∴. 题型11与指数函数的相关的综合问题 【典例1】（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . （2）由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 【典例2】（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式； （2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，则，满足题意， 故实数的值为； 在定义域上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即， 故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可，根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可； （2）根据存在性问题可得，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）要使得在区间上有解， 只需， 由（1）可得，在上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 【变式2】（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)为奇函数 (2)函数在定义域内单调递减，证明如下： 因为， 令，则 ， 因为，则，可得，，， 可得，即， 所以在定义域上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇偶性定义判断的奇偶性； （2）令，根据函数解析式判断的符号，即可证的单调性； （3）根据题意结合函数性质可得，解不等式即可得取值范围． 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 对，都有，则， 所以为奇函数. （2）略 （3）因为，且为奇函数， 则， 又因为在定义域上单调递减，则， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 【变式3】（25-26高二下·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质有求参数值，注意验证是否满足题设； （2）问题化为在上恒成立，令，进一步化为在上恒成立，利用单调性求出右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由为偶函数，得，即，解得， 当时，，且对于任意的，都有， 经此检验知，当为偶函数时，的值为； （2）由，等号当且仅当时成立， 问题转化为不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 令，由，且， 代入可知对于恒成立， ， 由于函数在上严格增，当时取最小值为0， 因此，实数的取值范围是. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则函数的图象必定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】当时，函数图象如下图所示， 为得到图象， 则需要把图象向下平移个单位，如下图所示，则其图象必定不经过第二象限. 2．（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 3．（25-26高一上·河北沧州·期末）指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像和性质求解. 【详解】由于指数函数是上的减函数， 故有，求得， 则实数的取值范围为. 故选：C． 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【详解】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 5．（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）函数是（   ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 【答案】A 【详解】令，， 又，所以函数是奇函数； 因为和均是R上的增函数，所以函数在上单调递增. 6．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性以及时，的范围排除错误选项可得答案. 【详解】由函数，得定义域为，关于原点对称． 又因为， 所以函数为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故A，D错误． 当时，，， 所以，即； 当时，，， 所以，即． 所以由图象可知，C错误，B正确． 故选：B 7．（多选）（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 8．（多选）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．与的图象关于轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【答案】ABC 【分析】根据题意结合指数函数性质逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：由指数函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于选项B：因为，所以与的图象关于轴对称，故B正确； 对于选项C：因为，所以的图象过点，故C正确； 对于选项D：因为，可知的值域为，故D错误； 故选：ABC. 9．（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 10．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的规律，结合二次函数知识可得答案. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. B能力提升 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 2．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断函数的奇偶性与对称性，再根据直接法判断函数的单调性，解不等式即可. 【详解】， 设， ， 由，得， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数； 则， 即，整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为，故选B． 3．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意得，，得， 故实数的取值范围是. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， ； (2) 【分析】（1）讨论的范围，结合单调性解不等式； （2）将式子化简即得到，通过换元令，即可得到关于的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 5．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明如下： 因为定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数 (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断求解； （2）根据指数函数的性质即可判断的单调性，进而结合函数奇偶性将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，构造函数即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为在是增函数，所以在上是减函数， 所以在上是增函数，故在上是增函数， 所以在上是增函数： 所以为奇函数且在是增函数， 又，所以， 所以对任意恒成立， 令，只需，解得， 所以，则的取值范围为. C综合素养 1．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或. （2），令， 因为，所以. 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以; 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以; 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 4．（25-26高一下·广东湛江·期中）设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)，证明见解析 (2)或 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，则， 所以在上单调递减. （2）依题意，， 而函数在上单调递减， 则， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以m的取值范围是或． 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知是定义域为R的奇函数，且 (1)求实数b的值； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若对任意实数，不等式恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明如下：设任意， ，，即，， 在上是减函数． (3) 【分析】（1）根据计算出的值，然后再代入检验是否满足条件，由此确定出的值； （2）设出自变量并给定大小关系，根据与0的关系证明出函数单调性； （3）先根据奇偶性将不等式变形为，然后根据函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，采用分离参数法求解出的取值范围. 【详解】（1）由于定义域为R的函数是奇函数， 所以，解得， 检验，，满足是定义域为R的奇函数， 所以. （2）略 （3）不等式，由奇函数得到， 所以. 因为在上是减函数， 所以，即，对恒成立， 令，当且仅当，即时，等号成立， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $