广西壮族自治区九师联盟2027届高三上学期10月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合M={x|-9<x<3},N={x-7≤x≤5}，则MUN= A.{x|-9<x≤5} B.{x|-9<x<3} C.{xl-7≤x≤5} D.{x|-7≤x<3} 2.若抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(1,2),则p= A.1 B.2 C.3 D.4 3 A.2+2i B.2-2i C.-2+2i D.-2-2i 4.已知平面向量a,b不共线，m=4a+9b,n=a+12b,若m∥n,则x A号 B.3 C.4 D. 5.已知tana= 4,tan(a+)=-2,tan B= A号 c 6.2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动 队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成 一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有 A.24种 B.120种 C.384种 D.786种 7.近年来，新能源汽车特别是电动汽车销量快速增长，充电基础设施仍存在布局不够完善、结构不够合 理、服务不够均衡、运营不够规范等问题.为进一步构建高质量充电基础设施体系，某市计划在2026年 新建设3万个新能源汽车充电桩，后面每年新建设的充电桩数量比上一年增加25%，按照这样的发展 趋势，若从2026年起，到(m∈N*)年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间（含 42万个和48万个)，则m= (参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477) A.2031 B.2032 C.2033 D.2034 【高三数学第1页（共4页）】 9/2NN-G 8.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcsin A=(c2-b)sinC,则cosC的取值范 围为 A(9,) c.(21 D.(0,2） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知椭圆E:号+片-1的左，右焦点分别为F,F,P是E上一点，且PF1P吓，则 A.E的短轴长为4 RE的离心率为号 C.△PFF2的周长为6+2√5 D.△PF1F2的面积为2 10.已知函数f(x)=sinx+/3 sin xcos- ，且存在x,∈（晋，）a<,使得f() f()=号，则 A.f(x)的最小正周期为2π Bfx)在[o,受]上的值域为[-7,1] C.十x2= 2 Dcos(2a-若）=号 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(2十x)+g(1一x)=3,g(x)一f(x一1)=5.若直线x=1 是g(x)图象的一条对称轴，且g(1)=2,则 A.f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.g(x)的图象关于点(2,4)对称 C.4是f(x)的一个周期 D.驾g(i)=8102 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若圆锥的高为3，母线长为4，则该圆锥的体积为 l3.已知不等式m+x一sinx≥≥0对Hx∈[0，+o∞)恒成立，则实数m的取值范围是 14.已知a,b,c都是正数，且随机变量X的分布列如下： 1 2 3 P a 1 若E(X)=子则严。+产的最小值为 b2 【高三数学第2页（共4页）】 9/2NN-G 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数.为了 改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动.为了解专项整治行动的效果， 在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的2×2列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动 有关吗？ n(ad-bc)2 附：x=a+bC+dDa+cb+Dn=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 Ta 3.841 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 在各项都是正数的数列{au}中，a1=36,an+1一an=4(√aw+十√/an). (1)求数列{a,}的通项公式； (2记数列a的前n项和为T证明：工<。 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60,DM=DC-号CM,AC⊥BM. (1)证明：DM⊥平面ABCD; (2尼知N是棱CM上一点，且窬-号，求平面ABN与平百ACV所成角 的正弦值. D 【高三数学第3页（共4页）】 9/2NN-G 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=号r+(m-3)x十mlnz (1)若m=-1,求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2若m=号求f(x)的极值 (3)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,证明：∫(x1)十f(x2)>一5. 19.(本小题满分17分) 已知双曲线C号一誉-1(。>0,6>0)的一条新近线为)y受，且C的焦距为6，动直线4x一my十n交 C于A,B两点，其中n为定值且n≠士2. (1)求C的方程； (2)若n=3,m>0,且直线1与圆x2+(y-1)2=5相切，O为原点，求△AOB的面积； (3)是否存在，使得以线段AB为直径的圆经过定点？若存在，求n的值；若不存在，请说明理由 【高三数学第4页（共4页）】 9/2NN-G高三数学参考答案、提示及评分细则 1.AMUN={x-9<x≤5}.故选A 2.B因为点M(1,2)在C上，所以22=2p×1,解得p=2.故选B. 4i4i(1+iD=二4牛4i=-2+21故选C. 3.C1D1+D2 4.D因为m∥n,且m≠0，所以存在A∈R,使得n=m,即a十12b=4a十9b,又平面向量a,b不共线，所以x=4,12= 9以解得=青x-放选D 21 .A因为ama=子ma+》=-2,所以am=ma+a)=中ama+p·ma1+(-2》x子 .tan (a+B)-tan a 4 9 2 故选A. 6.C先将每名操作员与其控制的人形机器人捆绑，然后全排列，所以每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排 法共有AAAAA=384种.故选C. 7.B从2026年起，每年新建设的充电桩数量构成数列{a,冫（单位：万个），则数列{an》是首项为3，公比为1.25的等比数 列，设数列{a,}的前n项和为5，则S,=3C25）=12(1.25"-1),令42≤S≤48，则42≤121.25”-1)≤48，即 1-1.25 号1.20≤所以e号≤5e号-高。=2华站263,5=一是 9 7.21,所以6.73≤n≤7.21，又n∈N°，所以n=7,所以从2026年起，到2032年，该市新建设的充电桩数量之和在42万 个与48万个之间，即m=2032.故选B. &D由lesin A-=(心-)simC及正弦定理AsC得ac=(c-)c,即ab=c-,由余弦定理，得=d+ -2 abcos C,即c2-b2=a2-2 abcos C=ab,即a-2 bcos C=b,由正弦定理，得sinA-2 sin Bcos C=sinB,又sinA= sin[x-(B+C)]=sin(B+C)=-sin Beos C+--sin Ceos B,所以sin(C-B)=sinB.因为0B,C<,所以C-B=B, 解得C=2B,因为0<A,B,C<,所以否<B<平，2B∈(（5，受)，cosC=cos2B∈(0,7)，即cosC的取值范围为 (0,)故选D .AC设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a,20,2c,由E:号+兰=1，得。2=9，=4，所以a=3,6=2,c= 后-下-厅，所以E的短轴长为4，离心率c=云-气，故A正确，B错误：由椭圆的定义，得|PF,十PF=2a= 6,又|FF|=2c=25,所以△PFF2的周长为6+25，故C正确；因为PF⊥PF2,所以|PF|2+|PF2|2= |FF2,所以|PF|·|PF|=8,△PFF的面积为|PF|·|PF|=4,故D错误.故选AC. 10.CD因为f(）m2-0s2x=sm(2x一吾)，所以T-经=，即fx)的最小正周期为，故A错误：由 xe[o,受]得2x-吾∈-吾，]，所以sim(2x-吾)e[-1],即fx)在[o,受]上的值为[-，1]，故 B正确；由2x-晋=kx十受(k∈)，得x-经+冬(k∈)，所以f(a)图象的对称轴方程为直线x=经+哥 (∈Z),因为f)=f),且∈(-吾，)(<)，所以m十=牙，放C正确：因为fa)=f() =告，即im(2-吾）=sm(2-吾）=号，又，m∈(-吾，)<)，所以∈(-吾，音)，2-吾∈ 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 9/2NN-G (-受，受)，所以cos(2,-吾）=号，放D正确.故选BD 11.BCD因为f(2+x)+g(1一x)=3,所以f(2-x)+g(1十x)=3,因为直线x=1是函数g(x)图象的一条对称轴， 所以g(1一x)=g(1+x),所以∫(2十x)=∫(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称，易知f(x)不恒为0，故 A错误：因为g(x)-f(x-1)=5,所以g(x+3)-f(x+2)=5,所以g(x+3)+g(1-x)=8,所以g(x)的图象关 于点(2,4)对称，故B正确：因为g(x)=f(x一1)+5，所以g(x)与∫(x)有相同的周期性，因为g(x十3)十 g(1-x)=8,g1-x)=g(1+x),所以g(x十3)十g(1十x)=8,所以g(x+5)十g(x+3)=8,所以g(x十5)= g(十1)，即g(x+4)=g(x),所以4是g(x)的周期，所以4是f(x)的周期，故C正确：g(1)=2,g(2)=4,g(3)=6, g0=4,所以g1)+g(2)+g(3)+g(4=16,所以宽g(G)=506X16+g(2025)+g2025)=8096+g1D十 g(2)=8102,故D正确.故选BCD. 12.7x因为圆锥的高为3，母线长为4，所以圆锥的底面圆半径为√伞-了=万，该圆锥的体积为了x(厅)×3=7 13.[0,+o∞)由不等式m十x-sinx≥0对Hx∈[0，+o∞)恒成立，得不等式m≥-x十sinx对Hx∈[0，+o∞)恒成 立，令f(x)=-x十sinx,x∈[0，十o∞)，则f'(x)=一1十cosx≤0恒成立，所以f(x)在[0，十∞)上单调递减，所 以f(x)mx=f(0)=0,m≥0，即实数m的取值范围是[0，十∞). 14合由随机变量X的分布列的性质及E(X)=子，得a+号+b十c=1,a+号+3什c=子，所以3a+6=1,2a-(= 1 1 号+亡。(”+)(38时1)=9+1+1号≥9+2侣会哥=9当且仅当 号即a=6=子时等号成立，所以芒。+产。≥号即芒。+仁的最小值为子 15.解：(1)由题意，得专项整治行动后评分及格的人数为500一100=400人，…2分 所以这1000名游客中评分及格的人数为300十400=700人，……4分 所以从这1000名游客中随机抽取1人，此游客的评分及格的概率为O00 700 0.7. 6分 (2)2X2列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 统计假设H:评分是否及格与专项整治行动无关。 由题意，得t=100020×40000X100》2-100≈47.619， 500×500×300×700 21 10分 由查表可得P(x≥10.828)=0.001， 因为47.619>10.828，所以统计假设H。不成立，根据小概率值a=0.001的独立性检验，可以认为评分是否及格与专 项整治行动有关，… …13分 16.(1)解：由at1-a,=4(ai+√n),得（ati+a)(√a-√a)=4(ati+a), 又a++√an>0,所以√a+-√an=4.… 2分 又a=6,所以数列{a}是首项为6，公差为4的等差数列.… …4分 所以a=√a+(n-1)×4=4十2，即an=(4n+2)2. 6分 ②明：由1为a=(4+2,所以a4w2+车（日） …9分 所以T=(1-号)+（分-号）++（分-）-66+D …12分 121 因为neN,所以16（十D>0.T。=616(+D<6 15分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 9/2NN-G 1n.(I)证明：因为DM=DC-号CM,所以DMf+DC=CM,DMLIC. 2 1分 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 2分 又AC⊥BM,BD∩BM=B,BD,BMC平面BDM,所以AC⊥平面BDM, …4分 又DMC平面BDM,所以AC⊥DM…5分 因为DM⊥DC,DM⊥AC,DC∩AC=C,DC,ACC平面ABCD,所以DM⊥平面ABCD.…7分 (2)解：记AC∩BD=O,过点O作OO1∥DM,所以OO⊥平面ABCD,因为AC,BDC平 M 面ABCD,所以OO⊥BD,OO,⊥AC,即OA,OB,OO两两垂直，以O为原点，OA,OB, O)所在直线分别为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系如图所示. 设AB=2,因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以BD=2,AC=2√3，A(√5,0,0)， D B(0,1,0),C(-√5,0,0)，D(0,-1,0),M(0,-1,2).… …8分 器号得=i=(停-言号）即N(-2,-子号) …9分 B 花=(-510)，本=(-5，-号号）设平面ABN的法向量为m=(,则 m·AB=0, 即 m·A=0, -√5x十y=0, 9-y叶号=0， 5v x=1,得y=√3，之=33，所以m=（1,√5,35)是平面ABN的一个法向量.…11分 AC=(-25.0,0),A衣=(55，子号）设平面ACN的法向量为n=a6c,则 n·AC=0, 即 n.AN=0, 23a=0, 5 令c=1,得a=0,b=2,所以n=(0,2,1)是平面ACN的一个法向量.…13分 3a- 3c=0, 设平面ABN与平面ACN所成角为0，则cos0=|cos(m,n)|= m·n 53 465 Tm·n√3I×5 31 所以sn0=广cos0=4,即平面ABN与平面ACN所成角的正弦值为4 31 31 15分 18.1)解：由m=-1,得f()=号-4-h,f1D= …1分 因为了(x)=x-4-是，所以f1)=一4，… …3分 所以函数f()的图象在(1,11)处的切线方程为)叶子=-4X(x-1D,即8x十2y-1=0.…4分 （2解：由m=号，得f)=合2-子+号n其定义域为(0，+o) f(x)=立-72-3》2，令了(x)=0,得x=3或x=2,… …5分 3x 当x(0,3)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈（号2）时，f(x)<0,fx)单调递减，当x∈(2，+)时， f(x)>0,(x)单调递增，… …7分 所以当x=吉时，f(x)取得极大值f(兮)=是号n3,当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=-冬+号n2. …9分 (3)证明：因为函数∫(x)有两个极值点x,,所以了()=+m二3》+m=0有两个不同的正根，所以△ (m-3)2-4m>0且十x2=-(m-3)>0,2=m>0,解得0m<1.…10分 )+f)=号号+(m-3)+mh+号+(m-3)+mn西=-合m+2m-号+mhm…12分 m+2m-号+mlnm,0m<1,则N(m）=-m+3+lnm 1 令h(m)=- 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 9/2NN-G 令g(m)=(m)=一m十3+lnm,0<m<1,则g'(m）=二m>0恒成立，所以p(m)单调递增， m 又9(e3)=-e3<0,o(e2)=1-e2>0,所以3m∈(e3,e2),使得e(m)=0,即-m十3+lnma=0, …14分 当m∈(0，ma)时，9(m)=h'(m)<0,h(m)单调递减，当m∈(，1)时，o(m)=h'(m)>0,h(m)单调递增，所以 当m=ma时，h(m)取得极小值，也是最小值， 即h(x)mn=h(mo)=- 合成+2m一号+mlhm号(m-1°-5 1 因为m∈(e3,e2),所以2(m-1)2-5>-5,所以h(x)m>-5,即f)+f()>-5。…17分 1收解，1)内为双酯线C的渐近线为y=士兰，所以由题意知会-号，即6写。 0，…1分 由C的焦距为6，得2√a2+6=6,所以a=2,b=5,… …3分 所以C的方程为子-兰1，…产 …4分 (2)圆x2+(y-1)2=5的圆心为(0,1)，半径为5， 因为直线1与圆2+(y一1)=5相切，所以m士-5，解得m=一（舍）或m=2,所以1的方程为x=2y十3，即 /1+m2 X2y-3=0. ………5分 x=2y十3， 设A(,y),B(2,),联立方程 ,得16y2+60y+25=0,所以y+2= 15 …6分 所以|AB|=√I+4|y-2|=√5√(y+)2-4y为 25 …7分 又原点O到l的距离d= -3■ 35 …8分 √1+(-2)2 5 所以△A0B的面积为号引AB到·d=子×孕×25_15 5 8 9分 (3)设A(x1,y),B(2,y2), x=my-+n, 联立方程二-兰=l.得(5m-4Dy+10my+5m-20=0,△=80(5m+-4)>0, 45 所以y十32= %翠 102 …………………………………………………………… 11分 假设定点D(s,t)在以线段AB为直径的圆上，则DA·DB=0, 又DA=(0-s,y-t)=(my十1-5，y-t),Di=(2-,2-t)=(my十0-5,2-t), 所以DA.Di=(my+1-3)(my2+1-s)+(y-t)(2-t)=0, 即(m2+1)y2+(m1-sm-t)(y十)十s2+2+-2s=0,… …13分 所以i+1D…需终+mm(22）十+f+f-2s=0 即5(t2+32-4)m2+10tm+n2-4t2-42+81s-20=0, 5(+s2-4)=0, 所以10t=0, 15分 n2-412-4s2+81s-20=0, 若n=0,则十2十5=0，方程无解，所以t=0,s=士2， 当s=2,t=0时，n2+161一36=0，解得n=2(舍)或n=-18: 当s=一2，t=0时，n2-161-36=0,解得n=一2（舍）或n=18. 综上所述，n=一18或n=18.… …17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 9/2NN-G