精品解析：广东广州市第五中学2026-2027学年上学期高一阶段训练(一)数学试题

广州市第五中学2026-2027学年上学期高一年级阶段训练（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 设为正实数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，实数满足，则以下结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. D. 6. 已知命题，；命题，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：解：由，令，则，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 司机甲、乙的加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析 A. 甲合适 B. 乙合适 C. 油价先高后低甲合适 D. 油价先低后高甲合适 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知一次函数满足，则 D. 定义在R上的函数满足，则 11. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，且，则________. 13. 若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 14. 定义，设函数．若函数与轴至少有3个交点，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若 求 （2）若 求实数a的取值范围. 16. 已知函数 （1）求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 17. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨．已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入3.2万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和．则当年生产的该款食品正好能销售完． （1）求的值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第五中学2026-2027学年上学期高一年级阶段训练（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式得集合，再由并集定义计算． 【详解】由题意， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查集合的并集运算，掌握并集概念是解题关键． 2. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个函数是否为同一函数，需要满足定义域相同且对应法则相同，逐项分析即可. 【详解】函数的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为全体实数， 的定义域为全体整数，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为， 的定义域为，，两个函数定义域相同，对应法则也相同，故为同一函数，正确. 函数的定义域为， 的定义域为，解得或， 两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 故选：. 3. 设为正实数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 4. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 5. 已知函数，实数满足，则以下结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可得，，由“1”的变形及均值不等式判断A，变形后由均值不等式判断B，再由不等式的性质判断CD. 【详解】由可得，又由函数定义域可得，， 所以可得，， 对A，，当且仅当时，即，时，等号成立，等号取不到，故A错误； 对B，，当且仅当取等号，等号取不到，故B错误； 对C，，，，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 故选：D 6. 已知命题，；命题，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可. 【详解】命题：，为假命题， 也就是在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为或， 即实数的取值范围为. 7. 研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：解：由，令，则，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给不等式的解法，将所求不等式变形成已知不等式，即可得出答案. 【详解】解：由，得， 令， 因为方程的解集为， 又，所以， 所以关于的不等式的解集是. 故选：A. 8. 司机甲、乙的加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析 A. 甲合适 B. 乙合适 C. 油价先高后低甲合适 D. 油价先低后高甲合适 【答案】B 【解析】 【分析】设司机甲每次的加油量为，司机乙每次的加油花费为，两次加油的单价分别为，，从而可得司机甲两次加油的均价为，司机乙两次加油的均价为，作差比较大小即可． 【详解】设司机甲每次的加油量为，司机乙每次的加油花费为，两次加油的单价分别为，， 则司机甲两次加油的均价为， 司机乙两次加油的均价为 又，，即. 故这两次加油的均价，司机乙的较低，故乙更合适， 故选B. 【点睛】本题考查函数在实际问题中的应用，以及作差法比较大小，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】用不等式的性质与作差比较法逐一判断即可． 【详解】对于A，由可得，则，故A错误； 对于B，由得，所以等价于 ，整理得， 因为且，故，所以，故B正确； 对于C，由，，得，即， 当时，，由，易得，即； 当时，，显然有，故C正确； 对于D，由得，则 ，故D错误． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知一次函数满足，则 D. 定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则， 所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将等式改写成关于的一元二次方程，该方程必有根即可判断A；利用不等式可判断B；根据不等式可判断C；再由不等式以及的取值范围可判断D. 【详解】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根； 所以，即可得；所以A错误； 对于B，由于，再根据不等式， 得，所以， 当且仅当时，不等式的等号成立， 当且仅当时，不等式的等号成立； 即B正确； 对于C，，再根据不等式， 得，即可得， 当且仅当时，不等式的等号成立， 当且仅当时，不等式的等号成立； 所以C正确； 对于D，由，可知，即； 当且仅当或时，不等式的等号成立， 由得， 而，即 所以，即可得； 当且仅当或时，不等式的等号成立； 所以；即D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 13. 若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 14. 定义，设函数．若函数与轴至少有3个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则，解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，无解； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若 求 （2）若 求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，求出集合，进而可求得； （2），得，分，讨论，列关于的不等式解出来即可. 【小问1详解】 时，，， 或. 所以， 【小问2详解】 ， ， ①若时，，解得，符合题意； ②若时，，解得. 综合可得. 16. 已知函数 （1）求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的范围，分别将代入对应解析式即可求解. （2）对参数进行分类讨论，解方程求解即可. （3）对参数进行分类讨论，解不等式求解即可. 【小问1详解】 依题意，，而, 所以. 【小问2详解】 当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. 【小问3详解】 由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 17. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，且实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. 【小问2详解】 解：原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨．已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入3.2万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和．则当年生产的该款食品正好能销售完． （1）求的值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【答案】（1） （2）（或等价形式） （3）促销费投入（约0.53）万元时利润最大，最大利润为（约3.17）万元。 【解析】 【分析】（1）当时，，代入求得； （2）由（1）得，进而求得年生产（吨）时，年生产成本为，销售收入为，结合题意，即可求得利润关于促销费的函数关系式； （3）由（2）知，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，当时，，代入，解得； 【小问2详解】 ， 当年生产（吨）时，年生产成本为， 当销售（吨）时，年销售收入为， 所以利润（万元）表示为促销费（万元）的函数关系式为： ， 即. 【小问3详解】 由（2）知 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当促销费投入万元时，企业年利润最大. 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】（1），. （2）证明：若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）实数的取值范围.若取到最大值，则，. 【解析】 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， . 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $