江西省九江市多校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

:2025一2026学年度上学期第一八综合小跞 九年级 数学 D上册第一~二章 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内. 错选、多选或未选均不得分， 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是 A.ax?-bx+4=0 B22+3=2 C.-2x+1=0 D.x2-2026x=0 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B的坐标为(6,0)，则顶点A的坐标为 () A.(3,2) B.(32,2√2) C.(3,3) D.(3√2,3√2) y D 第2题图 第3题图 3.如图，在矩形ABCD中，若AC=10,则BD= () A.10 B.8 C.6 D.12 4.若二次三项式x2十mx一n可以分解为(x十2)(x一8)，则方程x2十m2一n=0的根为 ( ) A.-2或8 B.一2或-8 C.2或-8 D.2或8 5.我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修 袋“器 身的重要意义.为了鼓励全民阅读，某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以 来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人 目阅 次，设进馆人次的月平均增长率为x,则下列选项中符合题意的方程是() A.3000(1十x2)=4320 B.4320(1-x)2=3000 C.3000(1+x)2=4320 D.3000+3000(1+x)=4320 6.如图，在正方形ABCD中，连接AC,E是CD上一点，连接BE交AC于A、 点F,若∠CFE=75°，CE=5,则BE的长为 () A.8 B.65 C.9 D.10 ·1· 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.用配方法解方程x2十8x=9,应在方程两边同时加上 8.若正方形的周长为16，则其对角线长为 9.已知方程2x2一4x十1=0的两个根是x1和x2,则x1十x2= 10.已知关于x的方程x2一kx十k一1=0，若该方程的一个根小于一2，则k的取值范 围是 11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点，EG⊥AC于 点G,若AC=10,GE=6,则菱形ABCD的面积为 A A D E 第11题图 第12题图 12.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=18,E为BC边上的一点，且BE=10,沿过点E的直 线折叠矩形，使点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上（点B除外），则AB'的 长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)解方程：x2-6x=0. (2)如图，在Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若正方形 AMEF的面积为4，求BC的长. 14.2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1 场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量， 西省城足球超级联 ·2· 15.已知关于x的一元二次方程x2十x一k=0. (1)若2是该方程的一个根，求及的值 (2)若k是最小的正整数，a是该方程的一个根，求2a2+2a的值. 16.如图，延长矩形ABCD的边BA至点E,使AE=AB,连接DE,仅用无刻度的直尺分别按 下列要求画图.（保留作图痕迹） (1)在图1中，作AD的中点F. (2)在图2中，以AD为对角线作一个菱形APDQ. A D A B B 图1 图2 17.如图，在矩形ABCD中，点E在BA的延长线上，AE=AD,连接EC与AD相交于点F, AF=AB.若∠E=25°，求∠EBD的度数. E B 。?。 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图1，这是一张2026年9月的月历表.在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数 (如3,4,10,11).如图2，已知圈出的4个数a,b,c,d中，最小的数a=x. (1)c的值为 .(用含x的代数式表示)》 (2)若圈出的4个数中，ac=120,求b的值 2026年9月 日 二三四五六 2 345 67 8 9101112 131415 16 171819 2021 22 23242526 27 2829 30 c d 图1 图2 19.如图，在△ABC中，AB=BC,过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连 接CD. (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)AC交BD于点O,延长BC至点E,使得BC=CE,若AB=4,∠ABC=60°，求OE 的长 A 4 20.某旅行社推出某周边游产品，已知该产品7月份的报名人数为400,9月份的报名人数增长 到576，且从7月到9月的报名人数月增长率相同. (1)求7月到9月的报名人数的月增长率， (2)该产品的成本为每人300元，当收费标准为每人400元时，月报名人数为600.若在此基 础上，收费标准每提高1元，月报名人数将减少1人.为使月总利润达到100000元，且 尽可能让游客得到实惠，该产品的实际收费标准应定为每人多少元？ ·5· 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.【课本变式】 如图，一次函数y=专x十4的图象交x轴于点A,交)y轴于点B,点P在线段AB上（不与 点A,B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足分别为C,D 【问题解决】 (1)四边形OCPD的形状是 ;连接OP,当OP⊥AB时，OP的长为 (2)当四边形OCPD的面积为？时，求点P的坐标 22.问题背景： 我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法 来解某些方程，如：解方程x1一x2一6=0，可以将x2看作一个整体，然后设x2=y,则x= y2,原方程化为y2一y一6=0，解得y1=3,y2=一2，当y=3时，x2=3,所以x1=√3， x2=一√3；当y=一2时，x2=一2，此方程无实数解.故原方程的解为x1=√3，x2=一√3. 解决问题： (1)请用换元法解方程：(3x一1)2-6(3x一1)+8=0. (2)已知实数x,y满足(x2+y2)2-5.x2-5y2-36=0,求x2+y2的值. 7· 六、解答题（本大题共12分） 23.综合与探究 特例探究 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交直线 AB于点F (1)如图1，若点F在线段AB上，求证：DE=EF (2)如图2，若点F在线段BA的延长线上，探究线段AD,AE和AF之间的数量关系. 拓展应用 (3)如图3，E是矩形ABCD的边AB上一动点，连接DE,在AB上方作EF⊥DE,且EF= DE,连接DF,CF,若AB=6,BC=3,当DF=4CF时，请直接写出AE的长. D D B f 图1 图2 图3 ·8… 九江市第一次联盟测试 数学（北师大版）参考答案 1.D2.C3.A4.A5.C6.D 7.168.4√29.210.k<-111.120 12.4或16或2√82提示：当过点E的直线与边AB有交点，且点B 落在边AD上时，如图1，易得AB'=4; 当过点E的直线与边AD有交点，且点B'落在边AD上时，如图2， 易得AB'=16; 当过点E的直线与边AD有交点，且点B落在边CD上时，如图3， 根据勾股定理可得AB(=282; 当过点E的直线与边CD有交点时，点B'不会落在矩形ABCD的 边上. 综上所述，AB'的长为4或16或2√82 10 B10. 图1 图2 图3 13.(1)解：.x(x-6)=0, x1=0,x2=6.… 3分 (2)解：，四边形AMEF是正方形，S正方形AMEr=4, ∴.AM2=4. .AM>0,.AM=2. 2分 在Rt△ABC中，M是斜边BC的中点， ∴.BC=2AM=4.… 3分 14.解：设参加2026年“赣超”的球队数量为x. 。1· 北师大版 根据题意得2x(x一1)=55， 2分 解得x=11或x=一10（舍去），… 4分 .x的值为11.… 5分 答：参加2026年“赣超”的球队数量为11. 6分 15.解：(1)由题意可知，22+2一k=0, 即4十2一k=0,解得k=6, k的值为6.…。 3分 (2)k是最小的正整数，k=1. 由题意可知，a2十a-1=0,∴.a2十a=1, ∴.2a2+2a=2(a2+a)=2. 6分 16.解：(1)如图1，点F为所求. 3分 (2)如图2，四边形APDQ为所求. 6分 图1 图2 17.解：.四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴.∠EAF=∠DAB=90° 又，AE=AD,AF=AB, ∴.△AEF≌△ADB(SAS), .∠AEF=∠ADB. ∠E=25°，∴.∠ADB=25°， .∠EBD=90°-∠ADB=90°-25°=65.…6分 18.獬：(1)x十7.… …3分 (2)由题意得x(x+7)=120, 整理得x2十7x一120=0， 解得x1=8,x2=一15（舍去）， ∴.b=a+1=x+1=9. 8分 19.解：(1)证明：，BD平分∠ABC, ·2· 北师大版 ∴.∠ABD=∠DBC. .AD∥BC, .∠ADB=∠DBC, .∠ABD=∠ADB, ..AB=AD. .'AB=BC, .AD=BC,且AD∥BC, .四边形ABCD是平行四边形 .AB=BC, ∴.四边形ABCD是菱形 …4分 (2)如图，过点O作OH⊥BC于点H. 由(1)知，四边形ABCD是菱形，∴.BO⊥AC. .∠ABC=60°， H ∠AB0=∠OBH=7×60°=30°.…5分 :AB=4,A0=2AB=2, ∴.在Rt△ABO中，BO=√AB2-AO=2√5， ∴0H=2B0=3, .∴.在Rt△BOH中，BH=√BO2-OH=3. 7分 .BE=2AB=2×4=8,EH=BE-BH=8-3=5, .在Rt△EOH中，OE=√EH2+OH2=√52+（√3）2=2√7.… …8分 20.解：(1)设7月到9月的报名人数的月增长率为x, 根据题意得400(1十x)2=576, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）. 答：7月到9月的报名人数的月增长率为20%.…4分 (2)设产品的实际收费标准应定为每人y元，则每人的利润为(y 300)元，报名人数为600一(y一400)=(1000-y), 根据题意得(y-300)(1000-y)=100000, ·3· 北师大版 解得y1=500,y2=800. ·要尽可能让游客得到实惠，则应选择较低的收费标准， .y=500. 答：该产品的实际收费标准应定为每人500元.…8分 21.解：(1)矩形；…1分 12 5 3分 (2)对于一次函数y= 3x+4, 当y=0时，3x十4=0，解得x=一3，则点A的坐标为（一3,0）. 4 4 由题意，设点P的坐标为(a,3a+4).则0C=-a,0D=3a十4， -3<a<0, 当四边形OCPD的面积为时， 0c·0D=-a(3a+4)=3, 4 整理得a2+3a+2=0, 解得a1=一2，a2=一1. … …7分 当a=-2时a+4 4 3, 当a=-1时，含a十4= 3 ∴点P的坐标为(-2，或(-1，). 9分 22.解：(1)设y=3x一1，则原方程化为y2一6y+8=0, 解得y=2或y=4, ∴.3x-1=2或3x-1=4, 解得x1=1x2=3 5分 (2)设t=x2十y2(t≥0)，则原方程化为t2一5t-36=0, 解得t=9或t=一4（舍去）， ·4。 北师大版 .x2+y2=9. …9分 23.解：(1)证明：如图1，过点E作MN∥AD,交CD于点 D M,交AB于点N, 四边形ABCD为正方形，.易得四边形ANMD, BNMC为矩形， ∴.DM=AN,∠DME=∠ANE=90°. 图1 .∠DEF=90°， ∴.∠MDE+∠DEM=∠FEN+∠DEM=90°， ∴.∠MDE=∠FEN. .∠CAB=45°， ∴.EN=AN, .∴.EN=DM, .'.△DME≌△ENF, .DE=EF.… …5分 (2)如图2，过点E作MN∥AD,交CD于点M, D 交AB于点N. 同(1)易得△DME≌△ENF, ∴.ME=FN,DM=AN=EN, ∴.△AEN是等腰直角三角形， 图2 根据勾股定理可得AW=EN=2 AE, .∴.AD=MN=ME+EN =FN+EN =AF+AN+EN =AF十√2AE.… 10分 8A5的长为1或26 5 12分 提示：如图3，当点F在矩形ABCD内部时，过点 D M F作MN∥AD,交CD于点M,交AB于点N, 得△ADE≌△NEF,.AD=EN=3,AE =FN. E 图3 设FM=x,则FN=AE=3一x, .BN=6-3-(3-x)=x,即CM=FM. .FM⊥CD,.根据勾股定理可得CF=√2x. .DF=4CF,.'.DF=4.2x. .在Rt△DEF中，DE=EF, ..2DE2=DF2,..DE=4x. 在Rt△ADE中，根据勾股定理可得AD2十AE2=DE, “.3+(3-x)2=（4x),解得=3I-1(负值已舍去). 5 AE=3-x=3-/3T-1_16-V3I 5 5 如图4，当点F在矩形ABCD外部时，过点F作 MN∥AD,交射线DC于点M,交射线AB于点 N,同理易得AD=EN=3,AE=FN. 设FM=y,则FN=AE=3+y, 4 ∴.BN=AE+EN-AB=3+y+3-6=y,即CM=FM, ∴.易得CF=√2y. DF=4CF,∴.DF=4√2y, ..DE=4y. 在Rt△ADE中，根据勾股定理可得AD2十AE2=DE2, “3+(3十y)=4y,解得y=T+(负值已舍去， 5 AE=3+y=3+V3I+1_16+V3T 5 5 综上所述，AE的长为16一3或16+V3 二或 5 5