精品解析：上海市静安区教育学院附属学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测卷

静教院附校2026学年九年级第一学期数学练习卷 （时间100分钟，满分150分） 一、单选题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 3. 已知，则下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 5. 以下命题，错误的是（ ） A. 底角相等的两个等腰三角形一定相似 B. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C. 两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D. 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 6. 如图，在和中，，与交于，连接、，当、、三点共线时，下列选项中不一定相似的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 二、填空题（本大题共10题，每空4分，共44分） 7. 已知，则______． 8. 二次函数的图像与轴的交点坐标为______． 9. 点是线段的黄金分割点，且，那么______． 10. 某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______． 11. 如图，，若，，，则______． 12. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是______． 13. 若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是______． 14. 已知二次函数，且是该二次函数图象上的三点，则的大小关系为______（用“”连接）． 15. 在梯形中，，对角线相交于点，如果，则______． 16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 17. 作图题： （1）已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 18. 如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像经过点，顶点为． （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标； （2）点是二次函数图像与轴的另一个交点，点是二次函数图像与轴的交点．点是轴负半轴上的一点，满足，求点的坐标． 20. 如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． （1）当点与点重合时，求四边形的面积； （2）点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． （3）当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 21. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形； （3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 22. 如图，二次函数的图像与开口向下的二次函数图像均过点，． （1）求图像对应的函数表达式； （2）若图像过点，点位于第一象限，且在图像上，直线过点且与轴平行，与图像的另一个交点为（在左侧），直线与图像的交点为，（在左侧）．当时，求点的坐标； 23. 综合应用 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），同学们测得米，米，现有可切断的围栏18米，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地（不考虑门），假设矩形中平行于的一边长为米，菜地面积为平方米，请先设计方案，画出图形，写出函数表达式，并求该菜地可达到的最大面积是多少平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静教院附校2026学年九年级第一学期数学练习卷 （时间100分钟，满分150分） 一、单选题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 2. 已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两点纵坐标相同可知两点关于抛物线对称轴对称，结合抛物线对称轴求解的值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为轴，点和的纵坐标均为， ∴点与点关于轴对称， ∵、是不同的点， ∴． 3. 已知，则下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，已知比例式，利用比例的基本性质分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴设比值为k，则，． A项：，，成立； B项：，，当时，不一定相等； C项：，成立； D项：，，成立， ∴不一定成立的是B． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 5. 以下命题，错误的是（ ） A. 底角相等的两个等腰三角形一定相似 B. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C. 两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D. 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、等腰三角形两底角相等，若底角对应相等，则三个内角对应相等，两三角形相似，故A正确； B、直角三角形有一个直角，若再有一个锐角对应相等，则两角对应相等，两三角形相似，故B正确； C、设等腰三角形两边长分别为和，若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；故只能是底边长为，腰长为，此时三边比为，化简得，所有满足条件的三角形三边对应成比例，一定相似，故C正确； D、举反例：第一个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在三角形内部，由直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得高为，高与腰的比为； 第二个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在腰的延长线上，顶角的外角为，同理得高为，高与腰的比为， 两三角形腰上的高与腰的比相等，但顶角分别为和，内角不对应相等，故不相似，故D错误． 6. 如图，在和中，，与交于，连接、，当、、三点共线时，下列选项中不一定相似的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 条件不足，无法得到与相似， 综上，只有选项D符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共10题，每空4分，共44分） 7. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知与的比例关系，设参数代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：， 可设，（）， 将，代入得， ． 8. 二次函数的图像与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为轴上的点横坐标为，将代入函数解析式计算值，即可得到交点坐标． 【详解】解：轴上所有点的横坐标为， 把代入， 可得：， 二次函数的图像与轴的交点坐标为． 9. 点是线段的黄金分割点，且，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义求出，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ，即， ， ． 10. 某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知一月份发行量和每月增长率，依次计算出二月份、三月份发行量，即可得到与的函数表达式． 【详解】解：∵一月份发行量为万册，且从二月份起，每月发行量的增长率都为， ∴二月份的发行量为（万册）， ∴三月份的发行量为（万册）， 即三月份的发行量（万册）与的函数表达式是． 11. 如图，，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入已知线段长计算即可求出的长． 【详解】解：， ． ，，， ， ． 12. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，逐步变换解析式即可得到结果． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是． 13. 若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】题目明确是二次函数，因此二次项系数不为0，图像与轴有交点说明对应一元二次方程的判别式大于等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵该函数是二次函数， ∴二次项系数满足，得， ∵二次函数图像与轴有交点， ∴对应一元二次方程的判别式满足，其中，，， 代入得：，解得， 综上，的取值范围是且． 14. 已知二次函数，且是该二次函数图象上的三点，则的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键，先求出对称轴，再根据开口方向，判判断各点横坐标到对称轴的距离． 【详解】解：二次函数得： 对称轴：． 又， 抛物线的开口向下． 抛物线上的点离对称轴越远，其函数值就越小， 又 故答案为：． 15. 在梯形中，，对角线相交于点，如果，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同高三角形的面积比等于对应底的比，得到与的比值，再由相似三角形的性质得到与的比值，最后结合同高三角形面积关系得到所求面积比． 【详解】解：如图， ∵和共顶点，底边、在同一直线上，高相同， ∴， ∴，可得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，和的高等于梯形两平行线间的距离，高相等， ∴． 16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______． 【答案】 ①. ③ ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，取，不存在“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，取时，，得到是的“近轴点”； （2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到． 【详解】（1）①中， 时，， 不存在“近轴点”； ②， 由对称性，当时，， 不存在“近轴点”； ③， 时，， ∴是的“近轴点”； ∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③ 故答案为：③； （2）中， 时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ∴， ∴； 当直线过时，， ∴， ∴； ∴m的取值范围为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 17. 作图题： （1）已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点A任作射线，在上依次截取，连接，过点作交于点C，根据平行线分线段成比例可得点C符合； （2）在的延长线上取点E，使，连接交于点M，连接，则易得，而，则，故点M即为所求作的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，求出，从而得到的长．根据等腰三角形的性质得到，再由平行线分线段成比例，可得，得到的长． 【详解】解：， ， 又，，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应关系，避免错误． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像经过点，顶点为． （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标； （2）点是二次函数图像与轴的另一个交点，点是二次函数图像与轴的交点．点是轴负半轴上的一点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入求出，配方得到顶点式，求出顶点坐标为． （2）先求出、，利用勾股定理逆定理证明，由和两个直角得到与相似，代入，，，求出，结合在轴负半轴，得到． 【小问1详解】 解：∵ 二次函数的图像经过点， ∴ 把，代入解析式，得 ， ， 解得． ∴ 二次函数解析式为． 将解析式配方： ， ∴ 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：令，则， ， 解得，， ∵ ， ∴ ． 令，则， ∴ ． ∴ ，． 已知，连接， ， ， ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 在轴负半轴取点，设，，连接． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． 代入，，， ， ， ∴ ． ∵ 在轴负半轴， ∴ 坐标为． 20. 如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． （1）当点与点重合时，求四边形的面积； （2）点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． （3）当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 【答案】（1） （2）增大；减小 理由：在中，，， ． 当点由点向点移动时，逐渐增大， 逐渐增大． 由得，即， 随着的增大，逐渐减小． （3） 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，，由勾股定理求出，再由求出相似比，从而求出的面积，四边形的面积等于与的面积之和； （2）在中，，随的增大而增大；再由相似得，据此判断的变化； （3）由得，即平分；当时，可证，代入求出，最后在中用勾股定理求． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，． 四边形是矩形，，， ，，， ， ． ， ， ，且相似比为． 此时，， ， ． 点、分别在直线的两侧， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ，即平分． 当时，设与交于点，则， 在和中， ，，， ， ． 又由得，即， ， ． 在中，，， ， ． 21. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形； （3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3） 四边形是黄金矩形．证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【小问1详解】 解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 22. 如图，二次函数的图像与开口向下的二次函数图像均过点，． （1）求图像对应的函数表达式； （2）若图像过点，点位于第一象限，且在图像上，直线过点且与轴平行，与图像的另一个交点为（在左侧），直线与图像的交点为，（在左侧）．当时，求点的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．由二次函数的对称性得，，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为， 得出，，由得出关于t的一元二次方程，进一步即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得：， ∴对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：设对应的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， ∴对应的函数表达式为：，其对称轴为直线， 又∵图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线于点H， 由二次函数的对称性得：，， ∴， 又∵，而， ∴， 设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 23. 综合应用 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），同学们测得米，米，现有可切断的围栏18米，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地（不考虑门），假设矩形中平行于的一边长为米，菜地面积为平方米，请先设计方案，画出图形，写出函数表达式，并求该菜地可达到的最大面积是多少平方米． 【答案】平方米 【解析】 【分析】根据平行于的边长x的不同取值范围，结合现有围墙米、米的长度限制，分两类围建矩形的场景推导围栏剩余部分对应的另一边长度，当时，直接使用 8 米围墙，围栏用来搭建剩余三条边，列出面积对应的二次函数，结合对称轴判断增减性，在时算出面积最大值为 40 平方米．当时，平行于的边长超过 8 米，超出部分用围栏补齐，列出面积对应的二次函数，结合对称轴判断增减性，在时算出面积最大值为 平方米．对比两个区间求出的最大面积， 大于 40，得到菜地可达到的最大面积是 平方米． 【详解】解：由题意，于点，米，米，围栏总长米． 的长度大于， 选用围墙、来围矩形菜地，可以得到更大的面积，因此只讨论在内构造矩形的情况． 设矩形中平行于的一边长为米，菜地面积为平方米． （1）当时 可以直接利用整段围墙，不需要围栏搭建这一条边，围栏只需要围另外三条边，垂直于的边长为米． ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 在这个范围内，随的增大而增大． 当时，取得这个区间内的最大值． ． （2）当时 平行于的边长超过围墙米，超出的长度米需要用围栏补齐． 垂直于方向的边长为米． ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 在这个范围内，随的增大而增大． 当时，取得这个区间内的最大值． ， ， 综合两种情况，菜地可以达到的最大面积是平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $