精品解析：上海师范大学附属金山前京中学2026-2027学年九年级上学期数学学科10月第一次月考阶段学情诊断

前京中学九年级数学学科10月阶段学情诊断与反馈 一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（ ） A. 周长 B. 各边的长度 C. 面积 D. 各内角大小 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是(　　) A. sinA= B. cosA= C. tanA= D. cosA= 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点、分别在边、上，四边形是正方形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 已知线段厘米，厘米，c是线段a、b的比例中项．那么______厘米． 7. 如果两个相似三角形面积之比为3：2，那么这两个三角形的周长之比为______． 8. 已知点C是线段的黄金分割点，如果，则______． 9. 点G是的重心，过点G作边的平行线与边交于点E，与边交于点F，则___________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（，3），则点A′的坐标为_____． 11. 某人在高为30米的建筑物顶部测得地面某观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为_______米． 12. 如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 13. 如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点E距地面的高度为_____米． 14. 如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 15. 如图，等腰中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰于点，，那么___________． 三、解答题(本大题共8题，满分90分) 16. 已知：. （1）求代数式的值； （2）如果，求的值. 17. 计算： 18. 如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的值． 19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 20. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹， （1）在图中作出的重心； （2）在图中作出边上的点，使得； （3）在图中作出边上的点，使得． 22. 如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F． （1）当DE⊥BC时，求DE的长； （2）当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值； （3）如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前京中学九年级数学学科10月阶段学情诊断与反馈 一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（ ） A. 周长 B. 各边的长度 C. 面积 D. 各内角大小 【答案】D 【解析】 【详解】解：用放大镜观察三角形相当于相似变换. ∵相似变换仅改变图形大小，不改变形状， ∴各内角大小不变. ∴各边长度、周长、面积均会按比例放大. 故答案为. 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是(　　) A. sinA= B. cosA= C. tanA= D. cosA= 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股数求出BC=4，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A的三角函数值即可． 【详解】解：如图所示： ∵∠C=90°，AB=5，AC=3， ∴BC=4， ∴sinA=，故A错误； cosA=，故B正确； tanA=，故C错误； cosA=，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果． 【详解】， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键． 4. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：根据黄金分割定义可知： AP是AB和BP的比例中项， 即AP2=AB•BP， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义(把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点)． 5. 如图，在中，点、分别在边、上，四边形是正方形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 已知线段厘米，厘米，c是线段a、b的比例中项．那么______厘米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了比例中项，熟练掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵是线段、的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（厘米）， 故答案为：9． 7. 如果两个相似三角形面积之比为3：2，那么这两个三角形的周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键．相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 它们的周长比为， 故答案为：． 8. 已知点C是线段的黄金分割点，如果，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述：或， 故答案为：或． 9. 点G是的重心，过点G作边的平行线与边交于点E，与边交于点F，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心定理，相似三角形的判定与性质，连接交于点D，由G是的重心，可得，由，可得，，得到，，进而可得，熟练掌握三角形重心定理是解题的关键． 【详解】解：连接交于点D，如图： ∵G是的重心， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（，3），则点A′的坐标为_____． 【答案】（5，6）． 【解析】 【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而结合已知得出答案． 【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（，3）， ∴位似比为：2，故点A′的坐标为（5，6）． 故答案为（5，6）． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 11. 某人在高为30米的建筑物顶部测得地面某观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的知识及俯角的定义，根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得，然后可得出的度数，进而根据的正切值可得出的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离． 【详解】解：如图， 由题意得：，米， ， ， 米， 故答案为：． 12. 如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点E距地面的高度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键．根据锐角三角函数值，求出，进而利用解直角三角形求得、，然后求得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设、交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 14. 如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用重心性质和直角三角形斜边中线性质表示出的长；作，利用勾股定理求出和的长；利用面积法求出点到的距离，进而求出的长；证明，求出的长，最后计算比值． 【详解】设． 点是的重心，且在上， ，． ，是的中线， ，． 旋转， ，． ． 过点作于． ，， ． ． 在中，． 在中，． 过点作交的延长线于． ， ， ． 在中，． ，， ． ，即． ． ． ． 故答案为：． 15. 如图，等腰中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰于点，，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点P作，作于点H，根据三角形的外角性质得出，可得，得，可得，得，得，由角平分线性质得，再由，，可计算的面积． 【详解】解：连接，过点P作于点G，作于点H，如图所示： ∵等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为：． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 三、解答题(本大题共8题，满分90分) 16. 已知：. （1）求代数式的值； （2）如果，求的值. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k，代入代数式，即可求出答案； （2）把a、b、c的值代入，求出即可． 【详解】∵ ∴设a=2k，b=3k，c=5k， （1）； （2）∵ ∴6k-3k+5k=24， ∴k=3， ∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15. 【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先代入特殊角函数值，再利用 去根号（判断被开方数正负后脱去绝对值），最后对含根式的分母有理化并合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）线段的和差求出的长，正切值求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）同角的余角相等，得到，根据正弦的定义求出即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得； 【小问2详解】 解：由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 【答案】 （1）证明：∵AB＝AD＝25， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△DBC； （2）AE=15． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC； （2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴BE＝DE， ∴BD＝2BE， ∵△ABE∽△DBC， ∴， ∵AB＝AD＝25，BC＝32， ∴， ∴BE＝20， ∴AE＝＝15． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 20. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）；（2）36米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角和坡比问题，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交延长线于点，由题意得：米，米，则由勾股定理得米，则，继而可求坡比； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点，设，则，，在中，，则，故，在中，，得到，即可求解． 【详解】解：（1）延长，过点A作，交延长线于点， 由题意得：米，米， 则由勾股定理得：米， ∴， ∴斜坡的坡比为：； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点， 则由题意得：米，，米，米， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 答：这个5G信号塔的高度为36米． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹， （1）在图中作出的重心； （2）在图中作出边上的点，使得； （3）在图中作出边上的点，使得． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】取分别为中点，连接交于点，则点即为重心； 取格点，连接，交于点即为所求； 取格点，连接，交网格线于点，再连接，交于点，此时，，，可得，则点即为所求． 【小问1详解】 解：画图略， 取分别为中点，连接交于点， ∴为中线， ∴的交点为的重心， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：画图略， 由图可知， ∴， ∴，即， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：画图略， 由图可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 22. 如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F． （1）当DE⊥BC时，求DE的长； （2）当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值； （3）如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长． 【答案】（1） （2）1或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案； （2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案； （3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根据△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可． 【小问1详解】 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4， ∴， ∵DE平分∠CDB， ∴∠CDE＝∠BDE， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝∠DEB＝90°， 在△DCE和△DBE中， ， ∴△DCE≌△DBE（ASA）， ∴CE＝BE， ∵CE+BE＝BC＝4， ∴CE＝BE＝2， ∵， ∴， ∴DE＝； 【小问2详解】 ∵EF⊥CD， ∴∠CFE＝90°＝∠ACB， ∵△CEF与△ABC相似， ∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC， ①当△CEF∽△ABC时， 则∠ECF＝∠BAC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠ECF+∠ABC＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∵DE平分∠CDB， ∴， ∴tan∠CDE＝tan45°＝1； ②当△CEF∽△BAC时， 则∠ECF＝∠ABC， ∴DC＝DB， ∵DE平分∠CDB， ∴DE⊥BC， ∴∠CDE+∠ECF＝90°， ∵∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠CDE＝∠BAC， ∴， 综上所述，∠CDE的正切值为1或； 【小问3详解】 如图，过点E作EG⊥AB于点G， ∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB， ∴EF＝EG， ∵DE＝DE， ∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL）， ∴DF＝DG， ∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍， ∴BD＝2DF， ∴DG＝BG， ∵EG⊥BD， ∴DE＝BE， 设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，， ∴， ∴， ∵DE平分∠CDB， ∴∠CDE＝∠BDE， ∵DE＝BE， ∴∠BDE＝∠B， ∴∠CDE＝∠B， ∵∠DCE＝∠BCD， ∴△CDE∽CBD， ∴，即， 解得：CD＝3，， ∴， 故这时AD的长为． 【点睛】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $