4.1 投影（第2课时） 平行投影 课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

4.1 投影（第2课时） 平行投影 第四章 · 投影与视图 北师大版 · 九年级数学 · 上册 2026-2027学年 1 / 20 第四章 投影与视图 同学们好，上一节课我们学习了中心投影，也就是灯光下的影子。今天我们继续学习投影的第二课时——平行投影，也就是太阳光下的影子。太阳离我们非常遥远，它照到地面上的光线有什么特点呢？这节课我们就来研究这个问题。 温故知新 第四章 投影与视图 上节课我们学习了中心投影，请同学们回忆： 什么是中心投影？ 手电筒、路灯、台灯的光线可以看成是从一个点发出的。 像这样的光线形成的投影，叫作中心投影。 特征：光线相交于一点；离点光源越近影子越短。 太阳光线是什么样的？ 太阳离我们非常遥远，照到地面的光线 可以看成是平行的。 思考：平行光线形成的影子和灯光下的影子一样吗？ 本节引入 本节课我们就来研究太阳光下的影子——平行投影。 通过这节课的学习，大家会发现太阳光下的影子有很多有趣的规律， 这些规律可以帮助我们测量那些难以直接到达顶部的物体高度。 2 / 20 先回顾一下上节课的内容。手电筒、路灯、台灯的光线是从一个点发出的，这种光线形成的投影叫做中心投影。中心投影的特点是光线相交于一点，离点光源越近影子越短。那太阳光线呢？太阳离我们很远，照到地面的光线可以近似看成平行的。这种平行光线形成的影子和灯光下的影子一样吗？学完这节课，同学们就能区分它们了。 学习目标 第四章 投影与视图 目标一：理解概念 了解平行投影、正投影的含义，能说出平行投影与中心投影的区别。 目标二：掌握规律 了解物体在太阳光下形成的影子在一天中的大小和方向变化规律。 目标三：应用计算 会利用平行投影"同一时刻物高与影长成比例"的性质进行相关计算。 重点：平行投影的概念及物高与影长的关系 难点：影子部分落在墙上的计算 3 / 20 这节课我们有三个学习目标。第一，理解平行投影、正投影的概念，能说出平行投影和中心投影的区别；第二，了解物体在太阳光下影子在一天中的大小和方向变化规律；第三，会利用"同一时刻物高与影长成比例"的性质进行相关计算。重点是平行投影的概念和物高影长关系，难点是影子部分落在墙上时的计算。 一、平行投影的概念 第四章 投影与视图 观察：太阳光线照在窗户、大树、行人上，会在地面形成影子。 太阳 地面（投影面） A 影子A B 影子B 定义： 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 观察上图：两根立柱在平行光线下的影子方向相同，光线互相平行。 4 / 20 请同学们看这张示意图。太阳在右上方，三条光线是互相平行的。地面上有两根立柱A和B，光线照过来，在地面上形成影子。观察可以发现，两根立柱的影子方向相同，光线互相平行。我们把太阳光线看成平行光线，平行光线所形成的投影就叫做平行投影。 二、正投影 第四章 投影与视图 当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影。 斜投影（光线与投影面不垂直） 投影面 影子 斜射光线 物体 正投影（光线与投影面垂直） 投影面 影子（与底重合） 垂直光线↓ 注意：物体正投影的形状和大小，与它相对于投影面的位置有关。后续我们学习三视图时，主视图、俯视图、左视图都是物体的正投影。 5 / 20 平行光线里有一种特殊情况，就是当光线和投影面垂直的时候，这种投影叫做正投影。左边图里光线是斜着射下来的，影子比柱子本身要长一些，这是斜投影。右边图里光线和投影面垂直，是竖直向下射的，这时候立柱的影子正好落在立柱底部和底边重合。大家在后面学习三视图的时候就会知道，主视图、俯视图、左视图都是物体的正投影。 三、一天中太阳光下影子的变化 第四章 投影与视图 就北半球而言，一天中物体影子的方向和长度在有规律地变化： 上午（东→南） 太阳 影子朝西，较长 太阳在东方 中午（正南） 太阳 影子朝北，最短 太阳在正南 下午（南→西） 太阳 影子朝东，较长 太阳在西方 规律小结： ① 方向：西 → 西北 → 北 → 东北 → 东（上午到下午）； ② 长度：长 → 短 → 长（中午最短，早晚最长）； ③ 就我国北方而言，正午太阳在正南方向，物体的影子指向正北。 6 / 20 同学们有没有观察过一天中操场上旗杆影子的变化？上午上学的时候，太阳在东边，影子朝西，比较长；中午放学的时候太阳在正南方向，影子朝北，而且最短；下午太阳往西边落，影子朝东，又会变长。所以就我们北半球来说，从早到晚影子的方向是西—西北—北—东北—东，长度是长—短—长。 四、同一时刻物高与影长的关系 第四章 投影与视图 做一做：在阳光下，把两根长度不同的木杆直立在操场上，量出它们的高度和影长。 地面 甲 甲影长 b₁ 甲高 h₁ 乙 乙影长 b₂ 乙高 h₂ 结论： 同一时刻，不同物体的高度与它们的影长成正比例。 即： 甲高 / 甲影长 = 乙高 / 乙影长 ，也就是 h₁ / b₁ = h₂ / b₂ 。 前提是：同一时刻、同一地点、物体直立、地面水平。 7 / 20 这是一个很重要的结论：同一时刻，不同物体的高度和它们的影长成正比例。也就是说甲高比甲影长等于乙高比乙影长，h₁/b₁=h₂/b₂。但是大家要注意前提条件：必须是同一时刻、同一地点、物体直立、地面水平。这个比例关系是我们后面测量旗杆、大树、高楼高度的理论依据。 例1：利用平行投影测旗杆高度 第四章 投影与视图 某校数学兴趣小组的同学要测量学校旗杆的高度。在同一时刻，测得身高1.6米的 小丽同学的影长为2米，同时测得旗杆的影长为15米，求旗杆的高度。 解： 设旗杆的高度为 x 米。 因为同一时刻物高与影长成比例，所以： 1.6 / 2 = x / 15 解得 x = 1.6 × 15 ÷ 2 = 12（米）。 答：旗杆的高度为12米。 解题反思： 1. 比例式分子分母对应要整齐："身高/人影 = 杆高/杆影"，不要交叉写反； 2. 单位要统一，本题均为米，直接代入即可； 3. 结论要带单位，并用"答"完整作答。 8 / 20 我们来看例1。要测旗杆的高度，同一时刻测得身高1.6米的小丽影长2米，旗杆影长15米。设旗杆高为x米，根据比例式1.6比2等于x比15，解得x=12米。答旗杆高12米。做题时注意比例式分子分母要对齐，单位要统一，最后要有答语。 议一议：平行投影与中心投影的区别 第四章 投影与视图 比较项目 平行投影（太阳光） 中心投影（点光源） 光线特点 互相平行 汇聚于一点（点光源） 光源 太阳、月亮（平行光） 路灯、台灯、手电筒等 影子方向 同一时刻所有影子方向相同 影子方向不一定相同 物高与影长 同一时刻成正比 不成固定正比（与位置有关） 判断方法 过物体顶端与影端作线， 直线互相平行 过物体顶端与影端作线， 直线交于一点 9 / 20 我们把平行投影和中心投影做一个对比，请同学们看这个表格。光线特点：平行投影光线互相平行，中心投影光线汇聚于一点。影子方向：同一时刻太阳光下所有影子方向相同，而灯光下影子方向不一定相同。物高影长关系：太阳光下同一时刻成正比，灯光下不成固定正比。最关键的判断方法是：过物体顶端和影子顶端作直线，直线互相平行就是太阳光，交于一点就是灯光。 例2：影子部分落在墙上的高度计算 第四章 投影与视图 数学兴趣小组想测量一棵树的高度。同一时刻，测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.9米。 测量树时发现，树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙上（如图）。 测得地面影长为2.7米，墙上影高为1.2米，求树高。 地面 墙 树高h=？ 墙上影高1.2m 地面影长2.7m 辅助线（平行地面） 分析：过墙上影子顶端作水平线， 把树高分成两段： ① 下方与墙上影高相等，为1.2米； ② 上方这段的影长是地面影长2.7米。 解：设上方段高度为 x 米，则 1 / 0.9 = x / 2.7，x = 3 树高 h = 3 + 1.2 = 4.2（米）。 答：树高为4.2米。 方法：遇到影子落在墙上/台阶上时，作辅助线把影子分成"地上+墙上"两段，分别计算再相加。 10 / 20 例2是一道提升题。测量树高时，树的影子有一部分落在了教学楼的墙上。地面影长2.7米，墙上影高1.2米。这种情况直接列比例式就不对了，我们需要过墙上影子顶端作一条平行于地面的辅助线，把树高分成两段。下面一段和墙上影高相等是1.2米，上面这段的影长就是地面影长2.7米。用1米竹竿影长0.9米这个比例，1/0.9=x/2.7，x=3，树高就是3+1.2=4.2米。遇到影子落在墙上或台阶上的题，都可以用这种"分段"的方法。 易错点提醒 第四章 投影与视图 易错点1：忽略"同一时刻"这个前提 只有同一时刻、同一地点测得的物高与影长才成正比。上午测的人影和下午测的杆影不能直接列比例！ 举例：上午9点人影2米、下午3点杆影15米，不能套1.6/2=x/15。 易错点2：误把灯光下的影子当成平行投影 路灯下的影子是中心投影，不满足"物高/影长为定值"，不能乱用比例式。 判断方法：连接物体顶端与影子顶端，若直线平行则是太阳光；若交于一点则是点光源。 易错点3：影子方向搞反 太阳东升西落，所以影子朝向与太阳方向相反。上午太阳在东，影子朝西； 下午太阳在西，影子朝东；中午太阳在正南（北半球），影子朝北。 11 / 20 下面提醒大家几个容易出错的地方。第一，必须是同一时刻同一地点，物高和影长才成正比。上午测的人影和下午测的杆影不能直接列比例。第二，不要把路灯下的影子当成平行投影，路灯下是中心投影，要先判断光线类型。第三，影子方向和太阳方向相反，上午太阳在东影子朝西，下午太阳在西影子朝东。 随堂练习（一） 第四章 投影与视图 1. 下面三幅图是我国北方某地某天上午不同时刻同一位置拍摄的同一棵树的照片， 请将它们按拍摄的先后顺序排列，并说明理由。 图① 影子较短 图② 影子中等 图③ 影子最长 答案与解析： 顺序：③ → ② → ①。 理由：就北半球而言，从早晨到中午，太阳逐渐升高，物体影子的长度由长变短。 上午拍摄时间越早，太阳越低，影子越长。图③最长，是最早；图①最短，是最晚。 12 / 20 我们做一道练习题。三幅图是上午不同时刻拍摄的同一棵树，按拍摄顺序排列。上午从早到晚太阳越来越高，影子越来越短。图③影子最长是最早的，图②影子中等是中间的，图①影子最短是最晚的，所以顺序是③→②→①。 随堂练习（二） 第四章 投影与视图 2. 下图是两棵小树在同一时刻的影子，请判断形成影子的是太阳光线还是灯光光线，并说明理由。 若是灯光光线，请找出光源的位置。 甲树 乙树 光源 解答： 是灯光光线。 理由：分别过甲树顶端与影端、乙树顶端与影端作直线，两条直线相交于一点（如图上方的点）， 说明光线是从一点发出的，这是中心投影，即灯光光线，交点就是光源位置。 13 / 20 第二题，判断两棵树的影子是太阳光还是灯光形成的。请同学们看示意图，过甲树顶端和影子顶端作直线，过乙树顶端和影子顶端作直线，两条直线在上方相交于一点，这说明光线是从一点发出的，所以是灯光光线，交点就是光源位置。 随堂练习（三） 第四章 投影与视图 3. 某校墙边有甲、乙两根木杆。某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示。 （1）你能画出此时乙木杆的影子吗？（2）判断乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？ 墙 甲 甲的影子 乙 乙木杆的影子（所画） 解答： （1）画法：连接甲杆顶端与影子顶端，得到太阳光线方向；过乙杆顶端作这条光线的平行线， 交地面于一点，该点到乙杆底部之间的线段就是乙木杆的影子（图中蓝色部分）。 （2）当乙木杆移动到影子顶端恰好落在墙根处时，影子刚好不落在墙上。 即：把乙杆沿着墙方向平移，直到所画光线与墙根相交为止。 14 / 20 第三题画乙木杆的影子。甲木杆的影子已经画出来了，连接甲杆顶端和影子顶端，就得到太阳光线的方向。然后过乙木杆顶端作这条光线的平行线，和地面相交于一点，乙杆底部到这个交点的线段就是乙木杆的影子。当影子顶端恰好落在墙根时，影子就刚好不落在墙上，把乙木杆平移到这个位置就可以了。 观察·思考：小棒、三角形纸板的投影 第四章 投影与视图 取一些长度不等的小棒、三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子： （1）固定投影面，改变小棒/纸片摆放位置和方向，影子有什么变化？ 当小棒/纸片与投影面平行时，影子大小、形状与原物全等；当倾斜时影子大小/形状会改变； 当小棒/纸片垂直于投影面时（即光线平行于物体），小棒的影子是一个点，三角形纸片的影子是一条线段。 （2）固定小棒/纸片，改变投影面的位置和方向，影子有什么变化？ 改变投影面方向，影子的形状、大小、方向都会变化。只有当投影面与平行光线垂直时， 才得到正投影，此时影子最能反映物体某一面的真实形状。 结论归纳： ① 物体平行于投影面时，影子的形状、大小与物体完全一样（全等）； ② 物体倾斜于投影面时，影子大小、形状发生变化； ③ 物体垂直于投影面时，线段影子是一个点，平面图形影子是一条线段。 这是为什么我们在画三视图时，必须从"正前方、正左方、正上方"三个正方向看过去的原因。 15 / 20 我们再做一个小实验。取小棒、三角形、矩形纸片，观察它们在阳光下的影子。当小棒平行于地面时，影子和小棒等长；当小棒竖直立着的时候，光线从侧面照过来，小棒的影子就是一个点。三角形纸片平行于地面时影子是和它全等的三角形，竖直立着的时候影子是一条线段。这就是正投影的规律，也是我们后面学习三视图的基础。 数学文化：日晷——古人用影子计时 第四章 投影与视图 日晷（guǐ）是我国古代利用日影测定时刻的仪器，它是平行投影的经典应用。 晷针 晷面（带刻度的石盘） 影子 工作原理： 日晷由"晷针"和"晷面"组成： · 晷针垂直穿过晷面中心，指向北极星方向； · 晷面上刻有十二个时辰的刻度线； · 太阳光照在晷针上，针影落在晷面上； · 随着太阳位置变化，针影方向、长度改变， 影子指向哪个刻度，就是什么时刻。 思考：日晷利用的是哪一种投影？为什么？ 答：平行投影（太阳光线）。因为太阳离地球很远， 照到日晷上的光线可以看成是平行的。 北京故宫、西安等地都保存着古代的日晷。下次参观时，可以留意一下晷针影子的方向！ 16 / 20 最后给大家介绍一个有趣的古代计时工具——日晷。日晷由晷针和晷盘组成，晷盘上刻着十二个时辰的刻度。太阳照在晷针上，针影落在晷盘上，随着太阳位置的变化，影子指向不同的刻度，就能读出当时的时刻。日晷利用的正是平行投影的原理。大家以后去故宫、西安参观时，可以留意一下那里的日晷。 课堂小结 第四章 投影与视图 一、两个概念 1. 平行投影：太阳光线可看作平行光线， 平行光线形成的投影。 2. 正投影：平行光线与投影面垂直时， 这种投影称为正投影。 三视图就是物体在三个方向上的正投影。 二、两组规律 1. 一天中影子方向：西→西北→北→东北→东； 2. 一天中影子长度：长→短→长（中午最短）； 3. 同一时刻：物高 / 影长 = 定值（成正比）； 4. 判断光：连线平行→太阳光；连线交点→灯光。 三、一种方法 + 三个易错 方法：遇到影子落在墙上/台阶上时，作辅助线分成"地上+墙上"两段分别计算再相加。 易错：① 忘记"同一时刻"前提；② 误把灯光当太阳光；③ 影子方向与太阳方向搞反。 数学思想：转化思想（把不可直接测量的物高转化为可测量的影长）、建模思想。 口诀：平行光线照物体，形影相随成比例；同一时刻物比影，影落墙上分段算。 17 / 20 今天的主要内容就学到这里，我们来小结一下。两个概念：平行投影和正投影。两组规律：一天中影子方向西—西北—北—东北—东，长度长—短—长；同一时刻物高比影长是定值。一种方法：影子落在墙上时分段计算再相加。三个易错点：同一时刻前提、区分灯光和太阳光、影子方向与太阳方向相反。 课后作业 第四章 投影与视图 A组（必做题） 1. 课本P133 习题4.1 第1、2、3题； 2. 整理笔记：把平行投影与中心投影的对比表抄写一遍； 3. 完成《同步练习册》本课时相应习题。 B组（选做题） 1. 一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米； 此时一棵水杉树的影长为10.5米，求这棵水杉树的高度。 C组（实践活动） 在晴朗的周末，选择三个不同时刻（上午、中午、下午），观察并记录自己影子的 方向和长度，验证本节课学习的规律。可以和家人一起完成，并拍下照片带回课堂分享。 ★ 预习任务：阅读下节课"4.2 视图"第1课时，思考什么是主视图、左视图、俯视图。 18 / 20 今天的作业分三部分。A组必做题：课本P133习题4.1第1、2、3题，整理平行投影和中心投影对比表，完成同步练习册。B组选做题：标杆影长求水杉树高。C组实践活动：周末选上午、中午、下午三个不同时刻，观察记录自己影子的方向和长度，验证今天学的规律。另外请预习下一节课4.2视图第1课时。 当堂检测（请同学们用2分钟完成） 第四章 投影与视图 1.（选择题）在同一天的四个时刻，学校旗杆影子最长的是（ ） A. 上午8点 B. 上午10点 C. 中午12点 D. 下午2点 答案：A（太阳越低，影子越长；上午8点太阳最低，影子最长） 2.（选择题）下列哪种光线形成的投影是平行投影（ ） A. 台灯 B. 手电筒 C. 太阳 D. 路灯 答案：C（太阳光线是平行光线） 3.（填空题）在同一时刻，身高1.5米的小明影长为1米，一棵槟榔树影长4米， 则槟榔树的高为____米。 答案：6（1.5/1 = h/4，h = 6） 4.（判断题）同一物体在任何时刻的太阳光下，影子长度都相同。（ ） 请说明理由。 答案：×（一天中不同时刻太阳高度不同，影子长短不同） 19 / 20 下面用2分钟时间做当堂检测。第1题，同一天中旗杆影子最长的时刻应该是太阳最低的时候，也就是上午8点，选A。第2题，太阳光线是平行光线，选C。第3题，1.5米人影长1米，树影长4米，树高是6米。第4题，同一物体在一天中不同时刻影子长度不同，这种说法是错的。同学们都做对了吗？ 谢谢！ 同学们，下节课再见 第四章 · 投影与视图 · 4.1 投影（第2课时）平行投影 20 / 20 第四章 投影与视图 这节课就上到这里，谢谢同学们，下节课我们将学习4.2视图，再见！ $