指数函数与对数函数专项练 -2027届高三数学一轮复习

指数函数与对数函数 专项练 2027届高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则； D．若，则；若，则； 2．已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 4．关于函数，下列描述错误的有（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 5．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 7．已知函数，若，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上单调递增,则和的可能取值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，则下列说法错误的是（　　） A．在上单调递增 B．为奇函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的定义域为R B．是奇函数 C．在定义域上是减函数 D．无最小值，无最大值 11．已知函数，则（   ） A．当时， B．当时，是的极大值点 C．当时，的最小值大于 D．当时， 三、填空题 12．函数的定义域是______． 13．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是_______ 14．若函数为偶函数，则______. 四、解答题 15．已知函数是R上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，. (1)求的最小正周期，并用函数的周期性的定义证明； (2)当时，求的解析式； (3)计算的值． 16．已知函数，． (1)若，写出它的单调递增区间； (2)若对于的任意实数，都有成立，试求实数的范围． 17．已知函数（）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是严格增函数； (3)如果当时，函数的值域是，求与的值. 18．已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 19．已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C A D D C ABD BD 题号 11 答案 CD 1．C 对A，B根据题意可得，再根据的范围即可判断；对C，D讨论与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断． ，， 根据题意可得， 若，则，可得，即； 若，则，可得； 若，则，可得，即； 综上，A、B、D错，C对. 故选：C． 2．B 根据函数单调性和奇偶性得到，画出曲线与曲线的图象，数形结合得到答案. 由奇函数可知， ， 又单调递增，则， 画出曲线与曲线的图象， 可以看出与有两个交点， 且与分别为两交点横坐标， 所以不等式的解集为． 故选：B 3．C 【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 4．C 分析函数性质知的定义域为，值域为， 当或，函数与轴相交交点坐标为或， 由，故关于对称， 当时，函数为递增函数，同理在上递增，在上递减， 综上，所述简单的描点作图可得函数图象，如图所示，    对A，由图象知函数在区间上单调递增，故A正确； 对B，由图知函数的图象关于直线对称，故B正确； 对D，由图知函数有且仅有两个零点，故D正确； 对C，由图知时在对称轴两侧各有2个对应点，此时不一定成立，故C错误 故选：C． 5．A 由奇偶函数定义，利用方程组法求解析式，再利用基本不等式求最值. 由是奇函数，得， 由是偶函数，得， 联立解得，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A 6．D 作出函数的图象，根据题意得到，，利用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得，再利用基本不等式求解最小值判断D，构造函数，利用导数法求得，即可判断C. 作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，所以，故选项A错误； 由二次函数的对称性可得， 令或， 所以， 因为方程有四个实根，所以，故选项B错误； 又，则， 即，则，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确； 由得， 由上面推导可知，所以， ， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以，故选项C错误. 故答案选D. 7．D 由题意令，即，得， 又，即，得或， 令，则， 可化为， 则是函数的图像与直线的交点横坐标，如图所示， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的大小关系不可能是， 8．C 二次求导得到在上单调递增,要想在上单调递增,只需,再通过构造新函数求单调性结合不等式放缩逐项检验. ,且,且,, 令,则恒成立,故在上单调递增, 要想在上单调递增,只需,即只需. 对A，由， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 所以，与矛盾，则A错误； 对B，令,，则在上恒成立，故在上单调递增, 故，即，则 , 与矛盾，则B错误. 对C，因为，所以 ，符合，故C正确； 对D，令, 当, 单调递减，故，即 因为, ，即,与矛盾，故D错误． 故选：C． 9．ABD 对于B,因为的定义域为R,但，故不是奇函数；对于C,只需验证是否成立即可；对于D,只需验证是否成立即可；结合C,D可以判断A. ∵， ∴， 即， 即的图象关于直线对称，故C正确，A，D错误； ∵因为的定义域为R,但， ∴不是奇函数，故B错误． 故选：ABD. 10．BD 求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D 选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误； 选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确； 选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确； 选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确 故选：BD 11．CD 通过换元将原指数函数转化为关于的二次函数，再结合二次函数性质、复合函数单调性、导数法逐一验证每个选项. 令，则转化为二次函数，逐个分析选项： 对于A：当时，，代入得，A错误； 对于B：当时，开口向上，对称轴， 因此在单调递减，在单调递增， 由于是增函数，复合后在处取极小值，不是极大值，B错误； 对于C：当时，的最小值为， 因为 ，所以最小值大于，C正确； 对于D：当时，要证， 即，整理得，即证， 令，， 当，时，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，故恒成立， 原不等式成立，D正确. 12． 利用函数有意义，结合对数函数列出不等式组求解即得. 函数有意义，则，解得且且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13． 求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可. 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即； 若函数的值域是，则时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得， 又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 14．0 先由偶函数的性质求出参数，然后检验即可. 因为为偶函数，则，解得， 当时，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ，故此时为偶函数. 故答案为：0. 15．(1)见解析 (2) (3)1 （1）结合已知条件，利用函数的对称关系即可求解； （2）利用函数的对称关系即可求解； （3）利用周期性和在上的解析式即可求解. （1）因为函数是R上的奇函数，且的图象关于直线对称， 所以， 不妨令，则，即， 从而，即， 即的一个周期为4， 因为当时，，即在上的单调递增， 所以由奇函数性质可知，在上单调递增， 又由对称性可知，在单调递减， 从而的最小正周期为4. （2）当时，则， 因为当时，，且的图象关于直线对称， 所以当时，. （3）由（1）（2）和的周期性可知，，，，， 因为的最小正周期为4， 所以. 16．(1)与 (2)或 （1）先求函数的定义域，再根据复合函数单调区间的求法求解； （2）先利用偶函数及条件判断区间上的单调性，结合二次函数的知识求解. （1）当时，，此函数是一个复合函数，外层是增函数， 令可解得，或，或， 即函数的定义域是； 又， 所以内层函数在与上是增函数， 所以复合函数在与上是增函数， 所以函数的单调递增区间为与. （2）因为对于的任意实数，都有成立，所以时为增函数； 易知，所以函数为偶函数， 所以当时为减函数． 对于时，，； 设，由题意得：，或； 则或. 17．(1) ，是奇函数 (2)证明:设，且，则. 因为，，， 所以，得. 又，于是，即， 所以函数在上是严格增函数. (3)， （1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可； （2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案. （1）令，解得，所以. 对任意，， 所以函数是奇函数. （2）略； （3）由（2）知，函数在上是严格增函数. 因为时，的值域是， 所以且在上的值域是， 因为在上单调递减， 所以，且， 所以，由，得，解得或（舍去）， 所以，. 18．(1)，； (2)或或 （1）由分母不等于解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于，分别求出的值即可. （1）由题意知：， 分母不等于得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得， 当时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数，使得函数为奇函数. （2）由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令，， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或，满足题意. 综上所述：正数的取值为或或. 19．(1). (2) (3) （1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解. （1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以，， 令，代入化简得得， 因此的解析式为. （2）由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. （3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. 因为单调递增，故，因此存在，使得， 即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立. 综上得，即. 学科网（北京）股份有限公司 $