第4节 指数函数与对数函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第4节 指数函数与对数函数 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 指数幂的运算法则：根式与分数指数幂的互化，指数式的化简与求值 ② 指数函数的图象与性质：底数 a > 1 与 0 < a < 1 时单调性的差异、图象恒过定点、给定区间上的值域 ③ 对数的运算性质、对数恒等式与换底公式，以及指数式与对数式的互化 ④ 对数函数的图象与性质：定义域、单调性、定点，以及与指数函数互为反函数的对称关系 ⑤ 指数与对数的大小比较、指数对数方程与不等式的解法，以及指数增长与衰减模型的实际应用 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 计算 − + 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】第一项：8 = ，故 = = = 4。 第二项：负指数先取倒数，得 = = = = 2。 第三项：任何非零数的 0 次幂都等于 1，故 = 1。 所以原式 = 4 − 2 + 1 = 3。 【考查知识点】分数指数幂的运算、负指数幂的化简与零次幂 【易错点】把 中的负号漏掉而算成 ；或把 误算成 2. 函数 f(x) = + 2（a > 0 且 a ≠ 1）的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标为 A. (0, 2) B. (1, 2) C. (1, 3) D. (0, 3) 【答案】C 【解析】指数函数恒有 = 1，即指数为 0 时函数值与底数 a 无关，这是找定点的依据。 令指数整体 x − 1 = 0，得 x = 1，此时 f(1) = + 2 = 1 + 2 = 3。 所以无论 a 取何值，图象都经过定点 (1, 3)。 【考查知识点】指数函数图象的定点问题 【易错点】只记住“ = 1”而忘记令指数整体 x − 1 = 0，误选 D；或求出纵坐标后忘记加 2 而误选 B 3. 计算 6 − 3 + 16 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】前两项同底，真数相除：6 − 3 = = 2 = 1。 第三项把真数写成底数的幂：16 = ，故 16 = = 2。 所以原式 = 1 + 2 = 3。 【考查知识点】对数的运算性质、对数恒等式 【易错点】把 6 − 3 误算成 (6 − 3)；不同底的对数不能直接合并 4. 9 · 2 的值为 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】两个对数的底数与真数都不相同，先用换底公式统一成常用对数，再约分。 9 = = ，2 = 。 相乘得 · = 。 【考查知识点】换底公式与对数式的化简求值 【易错点】把换底公式记反（写成 ）；或忘记把 8 化成 32、9 化成 23 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. b < a < c 【答案】B 【解析】先算出能直接算的：a = = 0.49 < 1，c = = 1。 再看 b：指数函数 y = 在 R 上单调递增，由 0.7 > 0 得 b = > = c。 于是 a < 1 = c < b，即 a < c < b。 【考查知识点】利用单调性与中间量比较指数式的大小 【易错点】不引入中间量 1 而在 a、b 之间盲目猜测；或忘记 c = 就是 1 6. 已知 < 1，则实数 a 的取值范围为 A. (0, ) ∪ (1, +∞) B. (, 1) C. (1, +∞) D. (0, 1) 【答案】A 【解析】对数函数的单调性取决于底数 a 与 1 的大小关系，必须分两类讨论。 当 a > 1 时，y = x 单调递增，又 < 1，故 < 1 = 0 < 1，不等式恒成立，得 a > 1； 当 0 < a < 1 时，函数单调递减，把 1 写成 a，原不等式即 < a， 由单调递减得 > a，结合 0 < a < 1 得 0 < a < 。 综上，a 的取值范围是 (0, ) ∪ (1, +∞)。 【考查知识点】含底数参数的对数不等式与分类讨论 【易错点】忽略对底数 a 的分类讨论，只按一种单调性求解；或漏掉 a > 1 时不等式恒成立的整段解 7. 方程 − 4 · + 3 = 0 的解集为 A. {0} B. {1} C. {0, 1} D. {1, 2} 【答案】C 【解析】注意到 = ，可设 t = ，则 = ，且 t > 0。 原方程化为 − 4t + 3 = 0，即 (t − 1)(t − 3) = 0，解得 t = 1 或 t = 3。 由 = 1 得 x = 0，由 = 3 得 x = 1，所以解集为 {0, 1}。 【考查知识点】指数方程的换元法、指数幂的变形 【易错点】换元后忘记 t = > 0 这一隐含条件；或把 误化为 3 · 而漏解 8. 设 a = 3，b = 5，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. b < c < a B. c < b < a C. a < c < b D. b < a < c 【答案】A 【解析】三个数都介于 1 与 2 之间，靠近似值分辨不可靠，要引入中间量 ，并把 写成同底的对数再比较。 比较 a 与 c：因为 = 2 < 3，又 y = x 单调递增，所以 a = 3 > = = c； 比较 b 与 c：因为 = 3 > 5，又 y = x 单调递增，所以 b = 5 < = = c。 于是 b < c < a。 【考查知识点】借助中间量比较对数式的大小、对数函数单调性的应用 【易错点】直接用近似值估算容易出错；比较的关键是“同底数、比真数”，要先估计 2 与 3 的大小 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列关于指数函数与对数函数的结论正确的是 A. 函数 y = 在 R 上单调递减 B. 函数 y = x 在 (0, +∞) 上单调递减 C. 函数 y = 的图象恒过定点 (1, 1) D. 函数 y = (x + 1) − 2 的图象恒过定点 (1, −2) 【答案】ABC 【解析】A 项：y = = ，底数 ∈ (0, 1)，故在 R 上单调递减，正确； B 项：底数 ∈ (0, 1)，对数函数 y = x 在 (0, +∞) 上单调递减，正确； C 项：令 x − 1 = 0 得 x = 1，此时 y = = 1，图象恒过定点 (1, 1)，正确； D 项：令真数 x + 1 = 1 得 x = 0，此时 y = 1 − 2 = −2，定点应为 (0, −2) 而不是 (1, −2)，错误。 【考查知识点】指数函数与对数函数的单调性、图象的定点 【易错点】D 项最容易看错：真数等于 1 时对数等于 0，此时对应的横坐标是 0 而不是 1；A 项要先化成底数小于 1 的形式 10. 已知 a > 0 且 a ≠ 1，则下列等式正确的是 A. = 3 B. = C. 3 + = 1 D. = 2 【答案】ABD 【解析】A 项：由对数恒等式 = N，取 N = 3 即得 3，正确； B 项：用换底公式， = = = ，正确； C 项：同底对数相加时真数相乘，得 3 + = (3 · ) = 1 = 0，不等于 1，错误； D 项：由换底公式 = 9 = = 2，正确。 【考查知识点】对数恒等式、换底公式与对数运算性质的综合运用 【易错点】C 项把“同底对数相加”误记成真数相加而算成 3；B 项换底后把 的分子分母写反 11. 已知函数 f(x) = （a > 0 且 a ≠ 1）与 g(x) = x，则下列结论正确的是 A. f 与 g 互为反函数 B. f 与 g 的图象关于直线 y = x 对称 C. f 与 g 的单调性相反 D. f 的值域与 g 的定义域不相同 【答案】AB 【解析】由 = x 与 = x 可知，f 与 g 互为反函数，A 正确； 互为反函数的两个函数，其图象关于直线 y = x 对称，B 正确； C 项：a > 1 时两者都单调递增，0 < a < 1 时两者都单调递减，单调性相同而不是相反，错误； D 项：f 的值域为 (0, +∞)，g 的定义域也是 (0, +∞)，二者相同，错误。 【考查知识点】指数函数与对数函数互为反函数、图象的对称性 【易错点】误认为互为反函数的两个函数单调性相反；或把 f 的值域与 g 的值域混为一谈 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 计算 12 − 3 + 的值为___________。 【答案】4 【解析】前两项同底，真数相除：12 − 3 = 4 = 2。 第三项：由 = ，得 = 2。 所以原式 = 2 + 2 = 4。 【考查知识点】对数的运算性质与对数式的求值 【易错点】第三项的底数小于 1，仍按底数大于 1 的习惯去算容易把符号弄错；判断时直接问“底数的几次幂等于真数” 13. 声音强度级 L（单位：分贝）与声音强度 I 满足 L = 10，其中 为参考强度。某车间机器降噪前的声音强度级为 80 分贝，降噪后为 60 分贝，则降噪后的声音强度是降噪前的___________。 【答案】 【解析】设降噪前后的声音强度分别为 、，代入关系式得 10 = 80，10 = 60。 于是 = 8， = 6，化为指数式得 = ， = 。 两式相除得 = = = 。 即降噪后的声音强度是降噪前的 。 【考查知识点】对数函数在实际情境中的应用、对数式与指数式的互化 【易错点】把“强度级降低 20 分贝”误认为强度降低为原来的 ；分贝每相差 10，强度相差 10 倍 14. 已知 = = 6，则 + 的值为___________。 【答案】1 【解析】先化成对数式：由 = 6 得 a = 6，由 = 6 得 b = 6。 再用换底公式取倒数： = = 2，同理 = 3。 于是 + = 2 + 3 = 6 = 1。 【考查知识点】指数式与对数式的互化、换底公式的灵活运用 【易错点】先分别求出 a、b 的近似值再相加，既麻烦又容易出错；把倒数化成同底的对数是本题的关键一步 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某新能源汽车企业 2024 年的汽车销量为 10 万辆，此后每年的销量都比上一年增长 50%。 （1）写出第 t 年（t ∈ N）的销量 y（单位：万辆）关于 t 的函数关系式，并求 2027 年的销量； （2）若年销量突破 80 万辆，至少需要经过多少年？（参考数据：2 ≈ 0.301，3 ≈ 0.477） 【答案】解：（1）把 2024 年记为 t = 0，此时销量为 10 万辆；每年销量是上一年的 1.5 倍， 所以第 t 年的销量为 y = 10 · （t ∈ N）。 2027 年对应 t = 3，代入得 y = 10 · = 10 · 3.375 = 33.75，即 2027 年销量为 33.75 万辆。 （2）年销量突破 80 万辆，即 10 · > 80，化简得 > 8。 两边取常用对数，得 t1.5 > 8，即 t(3 − 2) > 32。 由参考数据 3 − 2 = 0.477 − 0.301 = 0.176 > 0，32 = 0.903， 所以 t > ≈ 5.13。 因为 t 只能取整数，所以 t 的最小值为 6，即至少需要经过 6 年。 【解析】本题是指数增长模型的典型应用，“每年比上一年增长 50%”就是“每年是上一年的 1.5 倍”，对应底数为 1.5 的指数函数。 第（1）问先确定初始值 10 与底数 1.5；注意年份与 t 的对应：2024 年是 t = 0，2027 年是 t = 3，不要数成 t = 4。 第（2）问要解指数不等式 > 8，两边取对数就能把未知数从指数位置“降”下来；因为 1.5 > 0，不等号方向不变。 算出 t > 5.13 后别忘了 t 只能取整数，要向上取整得 6，直接写 5 会功亏一篑。 一题多解：也可以逐次计算 ≈ 7.59 < 8， ≈ 11.39 > 8，同样得到 6 年，用它来检验对数法的结果很方便。 【考查知识点】指数函数模型、指数不等式的解法与对数运算在实际问题中的应用 【易错点】把“增长 50%”写成底数 0.5 或 50；2027 年对应的 t 值数错；t > 5.13 时忘记向上取整 16. 已知函数 f(x) = − + 3。 （1）当 x ∈ [−1, 2] 时，求 f(x) 的值域； （2）若存在 x ∈ [−1, 2] 使等式 − + m = 0 成立，求实数 m 的取值范围。 【答案】解：（1）设 t = ，因为 y = 在 R 上单调递增， 由 x ∈ [−1, 2] 得 t ∈ [, ]，即 t ∈ [, 4]。 又 = = ， = 2 · = 2t， 于是 f(x) = − 2t + 3 = + 2。 当 t = 1 时取得最小值 2；当 t = 时值为 − 1 + 3 = ；当 t = 4 时值为 16 − 8 + 3 = 11。 比较得最大值为 11，所以 f(x) 的值域为 [2, 11]。 （2）仍设 t = ，则 t ∈ [, 4]，等式化为 − 2t + m = 0， 分离参数得 m = − + 2t = − + 1。 记 u(t) = − + 1，它在 t ∈ [, 1] 上单调递增，在 t ∈ [1, 4] 上单调递减。 当 t = 1 时 u 取得最大值 1；当 t = 时 u = ；当 t = 4 时 u = −16 + 8 = −8。 比较 与 −8，得 u 的最小值为 −8，故 m 的取值范围是 [−8, 1]。 检验：m = 1 时 t = 1，m = −8 时 t = 4，都能取到，两个端点都可以取等号。 【解析】思路点睛：题目中同时出现 与 两类指数式，统一设 t = 换元，就转化为闭区间上的二次函数问题。 第（1）问换元后必须先确定 t 的取值范围，这是最容易漏掉的一步；再比较二次函数在顶点与两个端点处的函数值即可得值域。 第（2）问“存在 x 使等式成立”可转化为“m 属于 u(t) = − + 2t 的值域”，用分离参数比讨论判别式更直接。 一题多解：第（2）问也可以看成方程 − 2t + m = 0 在 [, 4] 上至少有一个实根，但两根未必都落在区间内，不如分离参数稳妥。 最后务必检验端点：m = 1 对应 t = 1，m = −8 对应 t = 4，都在区间内，所以区间写成闭区间。 【考查知识点】指数型函数的换元法、闭区间上二次函数的值域与分离参数 【易错点】换元后忘记确定 t 的取值范围；把 误化为 2 · ；第（2）问不检验端点能否取等号 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第4节 指数函数与对数函数 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 指数幂的运算法则：根式与分数指数幂的互化，指数式的化简与求值 ② 指数函数的图象与性质：底数 a > 1 与 0 < a < 1 时单调性的差异、图象恒过定点、给定区间上的值域 ③ 对数的运算性质、对数恒等式与换底公式，以及指数式与对数式的互化 ④ 对数函数的图象与性质：定义域、单调性、定点，以及与指数函数互为反函数的对称关系 ⑤ 指数与对数的大小比较、指数对数方程与不等式的解法，以及指数增长与衰减模型的实际应用 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 计算 − + 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数 f(x) = + 2（a > 0 且 a ≠ 1）的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标为 A. (0, 2) B. (1, 2) C. (1, 3) D. (0, 3) 3. 计算 6 − 3 + 16 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 9 · 2 的值为 A. B. C. D. 2 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. b < a < c 6. 已知 < 1，则实数 a 的取值范围为 A. (0, ) ∪ (1, +∞) B. (, 1) C. (1, +∞) D. (0, 1) 7. 方程 − 4 · + 3 = 0 的解集为 A. {0} B. {1} C. {0, 1} D. {1, 2} 8. 设 a = 3，b = 5，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. b < c < a B. c < b < a C. a < c < b D. b < a < c 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列关于指数函数与对数函数的结论正确的是 A. 函数 y = 在 R 上单调递减 B. 函数 y = x 在 (0, +∞) 上单调递减 C. 函数 y = 的图象恒过定点 (1, 1) D. 函数 y = (x + 1) − 2 的图象恒过定点 (1, −2) 10. 已知 a > 0 且 a ≠ 1，则下列等式正确的是 A. = 3 B. = C. 3 + = 1 D. = 2 11. 已知函数 f(x) = （a > 0 且 a ≠ 1）与 g(x) = x，则下列结论正确的是 A. f 与 g 互为反函数 B. f 与 g 的图象关于直线 y = x 对称 C. f 与 g 的单调性相反 D. f 的值域与 g 的定义域不相同 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 计算 12 − 3 + 的值为___________。 13. 声音强度级 L（单位：分贝）与声音强度 I 满足 L = 10，其中 为参考强度。某车间机器降噪前的声音强度级为 80 分贝，降噪后为 60 分贝，则降噪后的声音强度是降噪前的___________。 14. 已知 = = 6，则 + 的值为___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某新能源汽车企业 2024 年的汽车销量为 10 万辆，此后每年的销量都比上一年增长 50%。 （1）写出第 t 年（t ∈ N）的销量 y（单位：万辆）关于 t 的函数关系式，并求 2027 年的销量； （2）若年销量突破 80 万辆，至少需要经过多少年？（参考数据：2 ≈ 0.301，3 ≈ 0.477） 16. 已知函数 f(x) = − + 3。 （1）当 x ∈ [−1, 2] 时，求 f(x) 的值域； （2）若存在 x ∈ [−1, 2] 使等式 − + m = 0 成立，求实数 m 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第4节 指数函数与对数函数 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分数指数幂的运算 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 指数函数图象的定点 直观想象 基础 C 3 单项选择题 5 对数的运算性质 数学运算 基础 C 4 单项选择题 5 换底公式 数学运算 基础 B 5 单项选择题 5 指数式的大小比较 逻辑推理 基础 B 6 单项选择题 5 含参对数不等式 逻辑推理 中档 A 7 单项选择题 5 指数方程的换元法 数学运算 中档 C 8 单项选择题 5 对数式的大小比较 逻辑推理 中档 A 9 多项选择题 6 指对函数的单调性与定点 直观想象 中档 ABC 10 多项选择题 6 对数恒等式与换底公式 数学运算 中档 ABD 11 多项选择题 6 反函数与图象对称性 直观想象 中档 AB 12 填空题 5 对数式的求值 数学运算 基础 4 13 填空题 5 对数函数的实际应用 数学建模 中档 {f|1|100} 14 填空题 5 换底公式与指对互化 数学运算 中档 1 15 解答题 13 指数增长模型与对数运算 数学建模、数学运算 中档 见解析 16 解答题 14 指数型函数的换元与值域 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $