第4节 指数函数与对数函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第4节 指数函数与对数函数 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 指数幂的运算法则：根式与分数指数幂互化，负指数幂取倒数，零次幂与乘积的化简求值 ② 指数函数的图象与性质：底数大于 1 与介于 0 与 1 之间时单调性的差异、图象恒过定点、给定区间上的值域 ③ 对数的运算性质、对数恒等式与换底公式，以及指数式与对数式的互相翻译 ④ 对数函数的图象与性质：定义域、单调性、定点，以及与指数函数互为反函数的对称关系 ⑤ 指数与对数的大小比较、指数方程与对数方程的换元解法，以及指数增长、指数衰减模型的实际应用 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 化简 + 的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】第一项处理负指数：把底数翻到分母、指数变号， = = 。 再把 32 写成 2 的幂：32 = ，于是 = = 4。 第二项同理： = = = = 2。 两项相加得 4 + 2 = 6，所以选 C。 提醒：看到 32 先想 2 的几次方，看到 4 想 2 的几次方，分数指数幂的题目几乎都是往底数约分上走。 【考查知识点】分数指数幂的运算、负指数幂与零次幂的处理 【易错点】把负指数的底数忘了翻过来，算成 一类的结果；或把 的幂相乘当成底数相乘 2. 某衰减曲线的拟合式为 y = + 1（底数大于 0 且不等于 1）。无论参数怎么变，这条曲线一定经过的定点是 A. (2, 1) B. (2, 2) C. (0, 1) D. (0, 2) 【答案】B 【解析】指数函数有一个绕不开的事实： = 1，只要指数整体等于 0，函数值就跟底数无关，这正是不变量所在。 令指数整体 x − 2 = 0，得 x = 2，此时 y = + 1 = 1 + 1 = 2。 所以无论底数取什么符合条件的数，图象都经过定点 (2, 2)。 【考查知识点】指数型函数图象的定点问题 【易错点】只记住 = 1，却忘了让"指数整体"等于 0，直接令 x = 0 而误选 C；或求出纵坐标后忘加外面的 1 而误选 A 3. 计算 + 4 的值为 A. −5 B. −1 C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】第一项问的是"3 的几次幂等于 "：由 = = ，得 = −3。 第二项问的是"底数 的几次幂等于 4"：由 = = 4，得 4 = −2。 两项相加：−3 + (−2) = −5，选 A。 本题不需要任何公式，直接问"底数的几次幂等于真数"最快，比套性质更不容易错。 【考查知识点】对数式的求值：由指数式反求对数 【易错点】把"底数的几次幂等于真数"记反成"真数的几次幂等于底数"，正负号随之全错；底数小于 1 时对数结果一般为负 4. 两个不同底的商相乘： · 8 的值为 A. −9 B. −3 C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】两个对数的底数与真数都不相同，先用换底公式统一成常用对数再约分。 = ，分子分母同乘 −1 后化为 = ； 8 = = 。 两者相乘，3 与 2 各自约掉一个，剩下 · = = −9。 所以选 A。 【考查知识点】换底公式与对数式的连锁化简 【易错点】换底公式记反（写成 那样）；或忘记 8 = 32、27 = 33，约不掉就前功尽弃 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. a < b < c B. b < c < a C. c < b < a D. a < c < b 【答案】A 【解析】三个数底不同、指数相同，且指数 0.6 > 0，正好是幂函数 y = 在比较大小。 幂函数 y = 在 (0, +∞) 上严格递增，而 0.5 < 2 < 3。 所以 < < ，即 a < b < c。 【考查知识点】利用幂函数的单调性比较同指数幂的大小 【易错点】把幂函数与指数函数的单调对象弄混（那是"同底比指数"）；本题底不同、指数相同，要按幂函数来比 6. 已知 > 1，则实数 a 的取值范围为 A. (0, ) B. (, 1) C. (, 1) ∪ (1, +∞) D. (1, +∞) 【答案】C 【解析】对数的单调性由底数决定，而底数 a 又必须大于 0 且不等于 1，所以必须分两类。 当 a > 1 时，y = x 递增，又 < 1，故 < 1 = 0 < 1，不等式自动成立，得到 a > 1 这一整段； 当 0 < a < 1 时，函数递减，把右端的 1 写成 a，原不等式即 > a， 由递减性，函数值大对应自变量小，得 < a，与 0 < a < 1 合起来为 < a < 1。 两段取并集，a 的取值范围是 (, 1) ∪ (1, +∞)，选 C。 a = 1 不在定义域内，两个区间在 1 处要分开写，不能并成一个。 【考查知识点】含底数参数的对数不等式与分类讨论 【易错点】漏掉 a > 1 时不等式整段成立的解；或把递减时的不等号方向写反，得到 (0, ) 而误选 A 7. 方程 − 3 + 2 = 0 的实数解组成的集合为 A. {0} B. {−1} C. {0, −1} D. {0, 1} 【答案】C 【解析】注意 = ，两个幂可以统一到同一个底上。 设 t = ，由指数函数的值域知 t > 0，原方程化为 − 3t + 2 = 0。 左边因式分解为 (t − 1)(t − 2)，解得 t = 1 或 t = 2。 由 = 1 得 x = 0；由 = 2 = 得 x = −1。 所以实数解组成的集合为 {0, −1}，选 C。 【考查知识点】指数方程的换元法、统一底数 【易错点】换元后忘记 t = > 0 这一隐含条件；或把 误当成 · 而少解一个 8. 设 a = ，b = ，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. c < b < a B. b < c < a C. a < c < b D. a < b < c 【答案】A 【解析】先给 a 定界：a = = 5。因为 = 4 < 5，而 y = x 递增，所以 a > 2 > = b； 再给 c 定界：c = = −5 < 0，于是 c < 0 < b。 两段合起来就是 c < b < a。 这里用的技巧是"同底比真数"：把 a 化成底数 2、把 c 的负号提出来，三件事就都摆在同一条数轴上了。 【考查知识点】借助中间量比较对数式大小、对数函数单调性的应用 【易错点】直接估算 5 的近似值；关键是把 a、c 都朝同一底数的对数去化，中间量 0 与 才好用 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 关于下列四款指、对数值模型的描述，判断无误的是 A. y = 在 R 上单调递减 B. y = x 在 (0, +∞) 上单调递减 C. y = 的图象恒过定点 (2, 1) D. y = (x + 3) + 1 的图象恒过定点 (−2, 2) 【答案】ABC 【解析】A 项：底数 0.4 介于 0 与 1 之间，指数函数在 R 上单调递减，描述无误； B 项：底数 介于 0 与 1 之间，对数函数在 (0, +∞) 上单调递减，描述无误； C 项：令指数整体 x − 2 = 0 得 x = 2，此时 y = = 1，图象恒过 (2, 1)，描述无误； D 项：令真数 x + 3 = 1 得 x = −2，此时 y = 1 + 1 = 0 + 1 = 1，定点应是 (−2, 1) 而不是 (−2, 2)，描述有误。 【考查知识点】指数函数与对数函数的单调性、图象的定点 【易错点】D 项错在把"对数值为 0"以后还要再加上外面的 1 给忘了；A 项要先看清底数与 1 的关系，别把减函数看反 10. 设 a > 0 且 a ≠ 1。下列四个对数等式中，恒成立的是 A. = 5 B. = C. 5 · 3 = 3 D. = 3 【答案】ABC 【解析】A 项：这正是"底数取对数"的恒等式 = N 取 N = 5 的情形，成立； B 项：用换底公式， = = = ，成立； C 项：用换底公式把两个乘积倒过来，5 · 3 = · = = 3，成立； D 项：由换底公式， = 12 = (4 × 3) = 1 + 3 ≈ 2.79，并不等于 3，不成立。 【考查知识点】对数恒等式、换底公式与对数运算性质的综合 【易错点】C 项要把两个对数相乘时想到"分子分母交叉约分"，硬算近似值必错；B 项换底后分子分母别写反 11. 已知函数 f(x) = （a > 0 且 a ≠ 1）与 g(x) = x。关于这两个函数，下列四条说法正确的是 A. f 与 g 互为反函数 B. f 与 g 的图象关于直线 y = x 对称 C. 当 a > 1 时 f 递增而 g 递减 D. f 的值域与 g 的定义域相同 【答案】ABD 【解析】由 = x 与 = x 可知，两函数互为反函数，A 正确； 互为反函数的两个函数，图象关于直线 y = x 对称，B 正确； C 项：a > 1 时两者都是增函数，0 < a < 1 时两者都是减函数，单调性是一致的而非相反的，C 错； D 项：f 的值域为 (0, +∞)，g 的定义域也是 (0, +∞)，两者相同，D 正确。 【考查知识点】指数函数与对数函数互为反函数、图象对称性与定义域值域的对应 【易错点】凭直觉以为"反函数"就该一增一减；判断定义域与值域时，别把 g 的值域当成 g 的定义域来写 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 计算 21 − 7 + 的值为___________。 【答案】4 【解析】前两项同底相减，真数相除：21 − 7 = = 3 = 1。 第三项问"底数 的几次幂等于 "：由 = ，得 = 3。 两项相加得 1 + 3 = 4。 【考查知识点】对数的运算性质与对数式的求值 【易错点】第三项底数小于 1 时容易把结果算成 −3；判断时直接问"底数的几次幂等于真数"，正负自然出来 13. 某药品在体内的剩余量按 Q(t) = · 衰减，其中 t 的单位为天。若服药后某次测得体内剩余量为初始量的 ，则这次已经过去了___________天。 【答案】360 【解析】把剩余量与初始量的比值单独拿来：由 = = 。 因为 = ，且指数函数 y = 严格递减，所以 = 3。 解得 t = 360，即这次已经过去了 360 天。 代回检验： = = ，与题意吻合。 【考查知识点】指数衰减模型、指数方程的求解与还原检验 【易错点】把分数指数 误当成 120 除以 t 之后再平方；或忘记用指数函数的单调性说明"只有这一个解" 14. 已知 = = 15，则 + 的值为___________。 【答案】1 【解析】先把连等式翻译成对数：由 = 15 得 a = 15，由 = 15 得 b = 15。 再用换底公式把它们取倒数： = = 3，同理 = 5。 两项同底相加，真数相乘：3 + 5 = 15 = 1。 所以所求值为 1。 这类题的捷径是"先取倒数化成同底"，分别去算 a、b 的近似值再相加又慢又不准。 【考查知识点】指数式与对数式的互化、换底公式的灵活运用 【易错点】先分别算出 a、b 的近似值再相加；把两个倒对数化成同底（都化成以 15 为底）是本题的关键一步 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某品牌新能源汽车 2025 年的销量为 8 万辆，此后每一年都比上一年增长 20%。 （1）把 2025 年记为 t = 0，写出第 t 年销量 y（单位：万辆）关于 t 的函数关系式，并求 2028 年的销量； （2）若年销量要突破 20 万辆，至少还要经过几个年头？（参考数据：2 ≈ 0.301，3 ≈ 0.477） 【答案】解：（1）2025 年对应 t = 0，此时 y = 8；每年销量为上一年的 1 + 20% = 1.2 倍， 所以第 t 年的销量为 y = 8 · （t 为非负整数）。 2028 年对应 t = 3，代入得 y = 8 × 。而 1. = (){^|3|} = = 1.728， 于是 y = 8 × 1.728 = 13.824，即 2028 年的销量为 13.824 万辆。 （2）年销量突破 20 万辆，即 8 · > 20，化简得 > 2.5。 两边取常用对数：t1.2 > 2.5，即 t(22 + 3 − 1) > 1 − 22。 由参考数据得 22 + 3 − 1 = 0.602 + 0.477 − 1 = 0.079 > 0，1 − 22 = 1 − 0.602 = 0.398。 因为 1.2 > 0，不等号方向不变，所以 t > ≈ 5.04。 t 只能取整数，故 t 的最小值为 6，即至少还要经过 6 个年头。 【解析】"每年比上一年增长 20%"翻过来就是"每年是上一年 1.2 倍"，底数 1.2 由此确定。 第（1）问先定初值 8 与底数 1.2，再注意年份与 t 的对应：2025 年是 t = 0，2028 年是 t = 3，数差为 3 不是 4。 第（2）问的核心是两边取对数把未知数从指数位置"降"下来；因为 1.2 > 0，取对数后不等号方向不变，若底数在 0 与 1 之间则相反。 算出 5.04 之后别忘了 t 取整数要向上取整得 6，直接答 5 就前功尽弃。 一题多解：也可以逐次算 = {(1.2)|5} ≈ 2.49 < 2.5， ≈ 2.99 > 2.5，同样得到 6，用来检验对数法的结果很方便。 【考查知识点】指数增长模型、指数不等式的对数解法与取整处理 【易错点】把"增长 20%"写成底数 0.2 或 20；年份与 t 的对应数错一格；算出 t > 5.04 时忘记向上取整 16. 记 f(x) = − a，其中 a > 0。 （1）若 f(x) 是奇函数，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，证明 f(x) 在 R 上严格单调递增； （3）在（1）的条件下，解不等式 f( − 2x) + f(1 − x) < 0。 【答案】解：（1）f 为奇函数，要对一切 x 有 f(−x) = −f(x)。 由 f(−x) = − a，−f(x) = − + a，两式相等整理得 (1 − a) + (1 − a) = 0，即 (1 − a)( + ) = 0。 因为 + ≥ 2 = 2 > 0 恒正，只能有 1 − a = 0，故 a = 1。 （2）当 a = 1 时 f(x) = − 。函数 y = 在 R 上严格增；又 y = 在 R 上严格减，所以 y = − 严格增。 两个严格增函数的和仍严格增，故 f(x) 在 R 上严格单调递增。 （3）由（1）知 f 是奇函数，所以 −f(1 − x) = f(x − 1)，原不等式化为 f( − 2x) < f(x − 1)。 由（2）知 f 严格增，去掉函数符号得 − 2x < x − 1，即 − 3x + 1 < 0。 方程 − 3x + 1 = 0 的两根为 ，对应的二次式开口向上，故不等式的解集为 (, )。 【解析】第（1）问不要去代几个特殊值猜 a，直接把 f(−x) = −f(x) 按"哪一项配 2 的几次幂"整理，把含 与含 的项各自合并，答案立刻冒出来。 合并之后利用 + > 0 定出 1 − a = 0，这一步比解一个方程干净得多；这里不需要动用后面的工具。 第（2）问用的是"增 + 增 = 增"这件老工具： 增， 减，取负号就变增。写的时候要把两个函数的单调性分别交代清楚。 第（3）问的两步转化是本题的骨架：先用奇函数把 f(1 − x) 的负号吃进去变成 f(x − 1)，再用严格增把函数值比较换成自变量比较。 最后解二次不等式时别丢"开口向上取两根之间"这个判断，端点由求根公式给出，注意分子分母都带根号。 【考查知识点】指数型函数的奇偶性判定、单调性的叠加判定、抽象化不等式的解法 【易错点】（1）中只用 x = 0 之类的特殊值猜参数；（3）中把 f(A) < f(B) 错写成 A < B 之外的方向搞反；奇函数变号这一步最容易漏 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第4节 指数函数与对数函数 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 指数幂的运算法则：根式与分数指数幂互化，负指数幂取倒数，零次幂与乘积的化简求值 ② 指数函数的图象与性质：底数大于 1 与介于 0 与 1 之间时单调性的差异、图象恒过定点、给定区间上的值域 ③ 对数的运算性质、对数恒等式与换底公式，以及指数式与对数式的互相翻译 ④ 对数函数的图象与性质：定义域、单调性、定点，以及与指数函数互为反函数的对称关系 ⑤ 指数与对数的大小比较、指数方程与对数方程的换元解法，以及指数增长、指数衰减模型的实际应用 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 化简 + 的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 某衰减曲线的拟合式为 y = + 1（底数大于 0 且不等于 1）。无论参数怎么变，这条曲线一定经过的定点是 A. (2, 1) B. (2, 2) C. (0, 1) D. (0, 2) 3. 计算 + 4 的值为 A. −5 B. −1 C. 1 D. 5 4. 两个不同底的商相乘： · 8 的值为 A. −9 B. −3 C. 3 D. 9 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. a < b < c B. b < c < a C. c < b < a D. a < c < b 6. 已知 > 1，则实数 a 的取值范围为 A. (0, ) B. (, 1) C. (, 1) ∪ (1, +∞) D. (1, +∞) 7. 方程 − 3 + 2 = 0 的实数解组成的集合为 A. {0} B. {−1} C. {0, −1} D. {0, 1} 8. 设 a = ，b = ，c = ，则 a，b，c 的大小关系为 A. c < b < a B. b < c < a C. a < c < b D. a < b < c 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 关于下列四款指、对数值模型的描述，判断无误的是 A. y = 在 R 上单调递减 B. y = x 在 (0, +∞) 上单调递减 C. y = 的图象恒过定点 (2, 1) D. y = (x + 3) + 1 的图象恒过定点 (−2, 2) 10. 设 a > 0 且 a ≠ 1。下列四个对数等式中，恒成立的是 A. = 5 B. = C. 5 · 3 = 3 D. = 3 11. 已知函数 f(x) = （a > 0 且 a ≠ 1）与 g(x) = x。关于这两个函数，下列四条说法正确的是 A. f 与 g 互为反函数 B. f 与 g 的图象关于直线 y = x 对称 C. 当 a > 1 时 f 递增而 g 递减 D. f 的值域与 g 的定义域相同 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 计算 21 − 7 + 的值为___________。 13. 某药品在体内的剩余量按 Q(t) = · 衰减，其中 t 的单位为天。若服药后某次测得体内剩余量为初始量的 ，则这次已经过去了___________天。 14. 已知 = = 15，则 + 的值为___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某品牌新能源汽车 2025 年的销量为 8 万辆，此后每一年都比上一年增长 20%。 （1）把 2025 年记为 t = 0，写出第 t 年销量 y（单位：万辆）关于 t 的函数关系式，并求 2028 年的销量； （2）若年销量要突破 20 万辆，至少还要经过几个年头？（参考数据：2 ≈ 0.301，3 ≈ 0.477） 16. 记 f(x) = − a，其中 a > 0。 （1）若 f(x) 是奇函数，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，证明 f(x) 在 R 上严格单调递增； （3）在（1）的条件下，解不等式 f( − 2x) + f(1 − x) < 0。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第4节 指数函数与对数函数 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分数指数幂的运算 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 指数型图象的定点 直观想象 基础 B 3 单项选择题 5 对数式的求值 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 换底公式 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 幂的大小比较 逻辑推理 基础 A 6 单项选择题 5 含底数参数的对数不等式 逻辑推理 中档 C 7 单项选择题 5 指数方程的换元法 数学运算 中档 C 8 单项选择题 5 对数式的大小比较 逻辑推理 中档 A 9 多项选择题 6 指对函数的单调性与定点 直观想象 中档 ABC 10 多项选择题 6 对数恒等式与换底公式 数学运算 中档 ABC 11 多项选择题 6 反函数与图象对称性 直观想象 中档 ABD 12 填空题 5 对数式的求值 数学运算 基础 4 13 填空题 5 指数衰减模型 数学建模 中档 360 14 填空题 5 换底公式与指对互化 数学运算 中档 1 15 解答题 13 指数增长模型与对数运算 数学建模、数学运算 中档 见解析 16 解答题 14 指数型函数的奇偶与单调 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $