精品解析：云南昆明市安宁市第一中学2026-2027学年上学期高二年级十月份月考数学试卷

62安宁市第一中学2026-2027学年上学期高二年级十月份月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项. 【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为， 故选：C. 2. 若角的终边上一点的坐标为，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离， ∴， 故选：C. 3. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 7. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 8. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解. 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，可能有，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且与相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式及并事件的概率公式即可求解. 【详解】因为与相互独立， 所以. 故选：AC. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 13. 点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程化成一般式，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，产品长度在区间上的为一等品，在区间和区间上的为二等品，在区间和上的为三等品． （1）用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，求其为二等品的概率； （2）已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中有放回地连续取两次，每次取1件，求取出的2件产品中恰有1件的长度在区间上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得检测结果在区间和区间上的频率/组距，继而可得结果； （2）由检测结果为一等品的数量可得抽检的总数，从而得出三等品的数量，再根据古典概型计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：检测结果在区间上的频率/组距为：，所以检测结果在区间和区间上的频率为：，用频率估计概率，故二等品的概率为：0.45； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得：检测一等品的概率为，而抽检件数为6，故抽检总数为. 故检测长度在区间和上的数量分别为：，， 所以取出的2件产品中恰有1件的长度在区间上的概率. 16. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间， （3）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】（1） （2） （3）最小值，此时；最大值，此时 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，则， 可得，即， 当，即时，函数取到最大值； 当，即时，函数取到最小值. 17. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的点斜式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1）点斜式方程为 . （2）斜截式方程为 . （3）一般式方程为 . 【解析】 【分析】（1）求出中点坐标，利用两点求出斜率，点斜式直接写出方程. （2）由题知边上的高所在直线过点，点在轴上，求出斜率，求出直线斜截式方程即可. （3）求出的中点坐标，利用点斜式求出方程，再整理为一般式方程即可. 【小问1详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，， 边上的中线所在直线的点斜式方程（用点）为. 【小问2详解】 设边上的高所在直线的方程为，， 过点，直线在轴上的截距为1，直线的斜截式方程为. 【小问3详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，设边的垂直平分线的方程为， ，用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理边化角结合三角恒等变换求角A； （2）（ⅰ）结合面积公式和余弦定理列方程组求解边长；（ⅱ）借助余弦定理和基本不等式求面积最大值. 【小问1详解】 由正弦定理将已知等式边化角得：  ， 代入， 消去得：  . 因为，两边同除以得， 用辅助角公式化简为， 即 又，故，解得. 【小问2详解】 （ⅰ）已知，， 代入得： ，解得 . 由余弦定理， 代入数据得， 将代入得 ， 联立得，故. （ⅱ）由余弦定理得，由基本不等式得：  ，当且仅当时取等号， 则，故面积最大值为. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 62安宁市第一中学2026-2027学年上学期高二年级十月份月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 2. 若角的终边上一点的坐标为，则( ) A. B. C. D. 3. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且与相互独立，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 13. 点到直线的距离为______． 14. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，产品长度在区间上的为一等品，在区间和区间上的为二等品，在区间和上的为三等品． （1）用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，求其为二等品的概率； （2）已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中有放回地连续取两次，每次取1件，求取出的2件产品中恰有1件的长度在区间上的概率． 16. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间， （3）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 17. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的点斜式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $