云南省名校协作体2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第4节，解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的斜率是 A． B． C． D． （2．点关于平面对称的点是 A． B．． C． D． 3．已知点，，点满足，则点的坐标是 A． B． C． D． 4．以，为直径的两个端点的圆的方程为 A． B． C． D． 5．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 A． B． C． D．或 6．已知点在圆外，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知点，，，为坐标原点，则点到平面的距离为 A． B． C． D． 8．已知点，，为直线上一点，则的最小值是 A． B．7 C． D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，，则 A．是的必要不充分条件 B．若，，不共面，则，，也不共面 C．若，且，则 D．若，，则 10．已知为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于，两点，若的面积为2，则直线在轴上的截距可以是 A． B． C． D．2 11．如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，，则下列说法正确的是 A． B．异面直线，所成角的余弦值为 C． D．若，，，四点共面，则点是线段的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面的一个法向量为，，，若直线平面，则__________． 13．若直线：与直线：平行，则实数__________． 14．某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点，（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看，的仰角分别为，，在处看的仰角为，，由此可以计算求得__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，，． 求：（1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 16．（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，，求和的面积． 17．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案、提示及评分细则 1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．D 9．AB 10．ABC 11．BCD 12．1 13． 14． 15．解：（1）设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 2分 由，得，4分 所以，即所求直线的方程为． 6分 （2）直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 9分 又，所以， 10分 由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为， 11分 所以，即． 13分 16．解：（1）因为， 所以， 2分 又，所以， 3分 所以， 即， 5分 因为，所以，所以，即， 又，所以． 7分 （2）由（1）知，又，， 由，得， 10分 即，解得（负根舍）， 12分 所以的面积． 15分 17．（1）证明：连接， 因为，分别是，的中点，所以， 2分 又平面，平面，所以直线平面． 5分 （2）解：在直三棱柱中，平面，又，平面， 所以，，又，所以，，两两垂直，故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，所以，，，， 又，分别是，的中点，所以，． 9分 因为平面，所以是平面的一个法向量， 10分 ，，设平面的法向量为， 则即令，则，， 所以是平面的一个法向量． 12分 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．解：（1）设， 因为边上的中线所在直线：经过点，所以， 1分 因为边上的高所在直线的方程为：，所以，即， 又，所以，即， 2分 由得所以点的坐标为． 4分 （2）设，因为边上的高所在直线：经过点，所以， 5分 因为边上的中线所在直线的方程为：， 所以边的中点在：上，即， 所以， 6分 由得所以点的坐标为． 8分 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 10分 （3）因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 11分 因为：过，两点，所以边所在直线的方程为． 12分 设是的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得到边所在直线，边所在直线的距离相等， 即， 14分 所以或． 15分 因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点，所以的角平分线所在直线的斜率，所以不符合，符合， 所以中的角平分线所在直线的方程为． 17分 19．（1）证明：因为平面，平面，所以， 1分 又，，平面，，所以平面， 3分 又平面，故平面平面． 4分 （2）解：如图，在中，作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 5分 因为平面，平面，所以，所以，所以，当且仅当时取等号， 因为，所以． 7分 因为，所以， 因为，所以，当且仅当取等号， ． 8分 又，所以． 9分 所以四棱锥的体积， 即四棱锥体积的最大值为． 10分 （3）解：取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）知平面，又平面，所以． 因为，所以， 11分 因为，，所以，， 12分 所以，所以，故， 13分 设的中点为，因为，，所以，，， 设以为始边，为终边的角为，则，， 所以． 14分 易知平面的一个法向量为， 15分 设直线与平面所成角为， 则 （其中）， 16分 所以当，即时，有最小值，最小值为， 即， 所以直线与平面所成角的正弦值平方的最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $