精品解析：云南省昆明市第三中学呈贡校区2026-2027学年高二上学期10月测试数学试卷

2026-2027学年高二上10月数学测试 （考试时间：120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，过，，三点的平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，：若，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 与 6. 三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（ ） A. B. C. D. 90° 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ） A. B. 32 C. D. 48 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 10. 已知点，，M为圆O：上一点，则（ ） A. 点B在圆O外 B. 的最大值为6 C. D. 的最大值为9 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若圆的弦被点平分，则直线的方程为___________________． 13. 如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则__________ 14. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 四、解答题（共77分） 15. 已知点，，， （1）求边所在的直线方程； （2）求三角形的面积． 16. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 17. 如图，四边形为正方形，平面， （1）证明： （2）若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）求点到直线距离的最大值及此时直线的方程． 19. 如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． （1）求二面角的平面角的余弦值； （2）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上10月数学测试 （考试时间：120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又 ，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离. 【详解】根据题意，直线与直线平行，则有， 则两直线的方程分别为， 直线可化为，则它们之间的距离. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，过，，三点的平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据法向量的定义可列式计算，，从而可解． 【详解】，， ，， 设平面的一个法向量是，则， 取，则，故， 只要与共线的向量，均是平面的一个法向量，由于与共线， 故是平面的一个法向量， 故选：C 4. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程. 【详解】圆的圆心坐标为，关于直线对称点的坐标为， 所以圆的方程是. 故选：C. 5. 已知直线：，：若，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】依据直线平行的公式计算可求出的值，注意检验直线重合. 【详解】，，解得：或. 当时，直线：，直线：，两直线重合； 当时，经检验，满足题意； 综上，. 故选：C 6. 三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（ ） A. B. C. D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】表示点到直线上的点的距离的平方， 所以的最小值是点到的距离的平方， 又点到的距离， 所以的最小值为． 8. 某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ） A. B. 32 C. D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可. 【详解】 如图，设关于直线对称的点为， 则得即， 易知， 当三点共线时， 取得最小值， 最小值为. 故选：A 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10. 已知点，，M为圆O：上一点，则（ ） A. 点B在圆O外 B. 的最大值为6 C. D. 的最大值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若圆的弦被点平分，则直线的方程为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可知，结合垂直关系可得斜率，即可求直线方程. 【详解】因为圆的圆心为，则， 由题意可知：，则的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 13. 如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则__________ 【答案】 【解析】 【详解】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理．根据空间向量的线性运算即可得答案． 【解答】如图所示，连接， 则，， 所以. 故答案为：. 14. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 四、解答题（共77分） 15. 已知点，，， （1）求边所在的直线方程； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）边所在的直线方程为 （2）三角形的面积为4 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程，最后整理成一般式即可； （2）先由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，由两点间的距离公式可得，最后计算得出三角形的面积. 【小问1详解】 由，可得， ， 由点斜式可得， ，整理可得，， 所以边所在的直线方程为. 【小问2详解】 点到直线的距离， 因为点到直线的距离等于三角形中边上的高， 所以，且， 则， 所以三角形的面积为4. 16. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 【答案】（1）圆的标准方程为 （2）圆的标准方程为 【解析】 【分析】（1）小问由圆心和圆上的点，可得圆的半径，根据两点间的距离公式，可计算出圆的半径，进而可得圆的标准方程； （2）小问首先设圆心为，半径为，由圆心在直线：上，可得，再根据圆过点和点，可得，由两点间的距离公式，可得，整理可得，联立方程组，解得，再将，代入，解得，最后可得圆的标准方程. 【小问1详解】 因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以， 即， 两边平方可得，， 整理得，， 联立方程，，解得， 则， 综上所述，圆的标准方程为. 17. 如图，四边形为正方形，平面， （1）证明： （2）若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 【答案】（1）证明如下： 由正方形ABCD知：⊥， 又由于平面且平面，故， 又由于且平面， 故平面， 因为平面， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到平面，证明出结论； （2）先证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出即为二面角的平面角．利用正切值求出正方形边长，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值，进而求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于平面且平面， 故，显然两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系： 令AC与BD的交点为O，连接OQ， 由于平面，， 所以平面， 又平面，所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角． ， ∵， ，故，故， ， 设平面的法向量为， 由，， 令得， ， 设平面的法向量为， 由，， 令，则， ， 设平面和平面夹角为， 则， . 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）求点到直线距离的最大值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：因为直线，即， 由，得，所以直线恒过定点． （2）或 （3）点到直线距离的最大值为，直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）利用点到直线的几何意义，两点间的距离公式，两点的斜率公式，直线垂直的斜率关系以及求直线的点斜式方程分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得，令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 令直线恒过定点为，则点到直线距离， 当时，有最大值，即， 由，所以点到直线距离的最大值为， 此时直线的斜率为：， 由，所以直线的斜率为：， 所以直线的方程为：，即. 19. 如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． （1）求二面角的平面角的余弦值； （2）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【小问1详解】 由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则， 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则， 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为． 【小问2详解】 设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为， 由线面角公式， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $