第三章 代数式--图形规律探究 重点知识点归纳 专项练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第3章 代数式--图形规律探究 重点知识点归纳 专项练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册 一、火柴棒拼图形规律 1．下列图案是用长度相等的火柴按一定规律拼搭而成，第①个图案需要3根火柴，第②个图案需要5根火柴，第③个图案需要7根火柴，．．．，按此规律，第个图案需要的火柴数量为（   ） A．62 B．64 C．67 D．69 2．如图所示是由一些火柴摆成的图案：摆第1个图案用了15根火柴，摆第2个图案用了22根火柴，摆第3个图案用了29根火柴……按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个图案需要用的火柴是______根． 3．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 4．火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... (2)按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） (3)按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 二、正方形拼接图形规律 5．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一张正方形纸片沿各边中点剪成4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；．．．，根据以上操作，若要得到2026个小正方形，需要操作的次数是___________． 7．将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中最小的一个小正方形剪成四个大小相同的小正方形，如图3（算作剪3次），如此进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 小正方形个数 7 10 (2)如果剪10次，共剪出_____个小正方形；如果剪n次，共剪出_____个小正方形； (3)假设一直剪下去，能不能恰好剪出100个小正方形？请说明理由； (4)若原正方形纸片的边长为1，直接写出剪10次后最小正方形的边长（结果写成含有幂的形式）． 8．“中国结”寓意美满团圆，下列图案是由小正方形按一定规律组成，第1个图形有14个小正方形，第2个图形有19个小正方形，第3个图形有24个小正方形，…… (1)第5个图形共有_____个小正方形，第个图形共有_____个小正方形（用的代数式表示）． (2)循此规律，是否存在由2026个小正方形组成的图形？若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 三、点阵、图案类图形规律 9．观察如图所示的四个点阵，s表示每个点阵中点的个数，按照图形中点的个数变化规律，猜想第6个点阵中点的个数s为（   ） A． B． C． D． 10．如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 11．如图，从第三个图形开始，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵对应的等式． 12．如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，，依此类推． (1)填写下表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 (2)写出第层所对应的点数； (3)写出层的正六边形点阵的总点数； (4)如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 四、密码编码（代数式实际应用） 13．某科技馆的数学史展厅内，当日WiFi密码是一个动态8位数，它由当天的月份和日期通过特定规则编制而成．如：3月14日，将月份和日期均处理为两位数（即1月至9前补0），记为0314，然后再通过数位的四则运算编制成密码，以下是一些日期所对的密码： 日期 1月5日 3月14日 5月17日 10月1日 12月27日 记为 0105 0314 0517 1001 1227 密码 06010506 17031408 22051713 11100102 39122712 2025年7月21日，小星在数学史展厅参观时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了网络，那么他输入的密码是（    ） A．28072121 B．28072110 C．28072128 D．07210721 14．如表，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是______． 数学兴趣活动室欢迎你！ 密码 15．阅读与思考 活动 密码中的数学 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如， 对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有． 这样就能把密文“”破译成明文“”， 从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)基础破译题 已知破译“钥匙”为“”，请将密文“”破译成明文． (2)反向编码题 已知编码“钥匙”为“”，请将明文“”编码成密文． (3)钥匙推理题 现有明文“”，按照某一“钥匙”编码后得到密文“”，请观察字母移动规律，推断出这次破译使用的“钥匙”（格式示例：）． (4)拓展延伸 规定字母对应英语字母表中的位置（），编码“钥匙”为“字母对应数字，再转换回字母（若结果超过26则减26）”．请将明文“”按照此规则编码成密文． 16．【活动主题】 密码中的数学． 【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“”可破译成明文______． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7 38”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为______． 【研究拓展】 （3）小叮当沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．把明文“”译成密文“”，请你写出这组密码的对应关系． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 5 9 13 答案 C C A B 1．C 本题考查了图形规律．根据所给图形找出图形的变化规律是解答本题的关键． 通过观察时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：，按规律求解即可． 解：第①个图案，即时，需要火柴的根数为：， 第②个图案，即时，需要火柴的根数为：， 第③个图案，即时，需要火柴的根数为：， …… 依此类推， 第个图案，需要火柴的根数为：， 依题意，当时，需要火柴的根数为：， 故选：C． 2． 本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 解：观察图形，得 摆第1个图案用了15根火柴，即， 摆第2个图案用了22根火柴，即， 摆第3个图案用了29根火柴，即， 则摆第n个图案需要用根火柴． 故答案为：． 3．(1)9 (2) (3) 本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． （1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2024个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 4．(1)如下表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 …… 拼成三角形个数 1 2 3 4 5 …… 拼成的正方形个数 3 5 7 9 11 …… 所用火柴棒总根数 12 20 28 36 44 …… (2)n；； (3)100；201；804 主要考查了图形类规律探索．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点． （1）根据题意，数出图中的三角形、正方形、火柴棒数量即可； （2）由（1）可知，找出数量的变化规律，即可得到答案； （3）把代入，即可求出答案． （1）略 （2）解：第n个图中，三角形有n个，正方形：个，所有火柴棒有根； （3）解：当时，， ； 所以，按这种拼图方法拼出的第100个图形三角形有100个，正方形201个，共需要火柴棒804根． 5．C 本题主要考查了图形变化的规律，有理数的计算，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加4是解题的关键．根据所给图形，依次求出图案中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 第①个图中正方形的个数为：； 第②个图中正方形的个数为：； 第③个图中正方形的个数为：； ， 所以第个图中正方形的个数为个． 当时， （个， 即第⑨个图中正方形的个数为个． 故选：C． 6．675 本题考查了图形的变化规律，解题的关键是能用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数．根据题意可以发现：每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个进行剪切．所以在4的基础上，依次多3个，继而解答各题即可． 解：根据题意可知：后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个， 即剪第1次时，可剪出4个正方形； 剪第2次时，可剪出7个正方形； 剪第3次时，可剪出10个正方形； 剪第4次时，可剪出13个正方形； … 剪n次时，共剪出小正方形的个数为：， 设第n次操作后正方形的个数有2026个， 则：， 解得， 即：若要得到2026个小正方形，需要操作的次数是675次． 故答案为：675． 7．(1)4；13； (2)31；； (3) 能，理由如下： 根据题意得，令， 解得， ∴如果剪33次，能恰好剪出100个小正方形． (4)． 本题考查图形的变化规律，理解题意并归纳总结出规律是关键． （1）根据题意可以将表格中的数据补充完整； （2）根据表格中的数据总结规律，计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪次，共剪了多少个正方形； （3）根据（2）中算出的用表示的式子，令其等于100，即可算出的值，即剪了多少次； （4）写出前三个图中最小正方形的边长，对比后归纳出规律，再计算出剪10次后的最小正方形的边长． （1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13． 故答案为：4，13； （2）解：根据表格中的数据观察可知， 剪1次时，正方形的个数为， 剪2次时，正方形的个数为， 剪3次时，正方形的个数为， 剪4次后，正方形的个数为； ∴如果剪10次，剪成的正方形的个数为：个， ∴如果剪n次，剪成的正方形个数为：． 故答案为：31，； （3）略 （4）解：由题意可知，剪1次后最小正方形的边长为； 剪2次后最小正方形的边长为； 剪3次后最小正方形的边长为； ∴剪10次后最小正方形的边长． 8．(1)； (2) 解：不存在，理由如下， 依题意， 解得：，不是整数， ∴不存在由2026个小正方形组成的图形 本题考查图形规律探究； （1）根据所给图形，依次求出小正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）的结论，列出方程解方程，即可求解． （1）解：由所给图形可知， 第1个图形中小正方形的总个数为：； 第2个图形中小正方形的总个数为：； 第3个图形中小正方形的总个数为：； 第4个图形中小正方形的总个数为：； 第5个图形共有个小正方形， 所以第n个图形中小正方形的总个数为个， 故答案为：；． （2）略 9．A 本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 找出前四个图形中点的个数的规律，进而求解即可． 解：∵第1个点阵中的点的个数， 第2个点阵中的点的个数， 第3个点阵中的点的个数， 第4个点阵中的点的个数， … ∴第6个点阵中的点的个数． 故选：A． 10． 6 14或15 （1）根据题意直接列式求解即可； （2）根据题意得出，结合点阵求解即可． 解：（1）由图象得：， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， 如图所示：当或时，满足题意； ∴或． 11． 本题考查找规律，正确找到规律是解题的关键．根据题意可得点阵左上角和点阵右下角点数规律，以及第n个正方形点阵总数，将点阵左上角和点阵右下角点数列式相加，即可解题． 解：由题知， 点阵左上角点数， ， 点阵右下角点数， ， 第n个正方形点阵总数为， 第n个正方形点阵对应的等式为． 12．(1) 解：如表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 7 19 37 (2) (3) (4)共有11层 （1）观察点阵可以写出答案； （2）观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点； （3）将每一层的点数相加后即可得到答案； （4）将331代入后解方程即可． （1）略 （2）第一层上的点数为1； 第二层上的点数为； 第三层上的点数为； 第四层上的点数为； ； 第层上的点数为． （3）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即层六边形点阵的总点数为， ， ， ， ． 第层六边形的点阵的总点数为：． （4）令 解得：（舍去）或 答：共有11层． 【点睛】此题主要考查了找规律——图形的变化，学生通过特例分析从而归纳总结出一般规律的能力，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 13．B 本题考查了数字规律的探索，以及有理数的加法的应用，解决本题的关键是分析已知日期与对应密码的数位关系． 通过分析已知日期与对应密码的数位关系，总结出密码编制规则，再代入7月21日的信息计算出密码． 解：观察已知示例可总结密码编制规则：8位密码分为三部分， 前两位为两位数形式的月份两位数形式的日期， 中间四位为两位数月份与两位数日期的组合， 最后两位为组合后四位数的四个数位数字之和， ∴7月21日处理为两位数组合是0721， 前两位：， 中间四位： 最后两位： ∴密码为28072110． 故选：B． 14．722427 本题主要考查了数字类的规律探索，正确找到数字之间的规律是解题的关键．通过观察示例运算规律，密码为六位数，由三部分组成：前两位是第二个数与第三个数的乘积，中间两位是第一个数与第三个数的乘积，后两位是第一个数与第二个数的乘积，据此解答即可． 解：对于输入 ，设 ， ， ． ∵， ， ， 因此密码为 ． 故答案为： 15．(1) (2) (3) (4) （1）根据题意分别找到密文中每个字母的序号，减去3就是对应的明文即可得到答案； （2）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （3）先分别求出密文和明文对应的序号，再找到序号之间的关系即可得到答案． （4）先分别求出密文和明文对应的序号，再找到序号之间的关系即可得到答案． 本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解明文，密文的关系是解题的关键． （1）解：根据题意，破译“钥匙”为“”， 密文“”中N的前面第三个字母是K, f的前面第三个字母是c, g的前面第三个字母是d, h的前面第三个字母是e, j的前面第三个字母是g, 故破译成明文为：． （2）解：编码“钥匙”为“”，明文“”中，g的前面第1个字母是f, o的前面第1个字母是n, d的前面第1个字母是c, 故编码成密文为． （3）解：密文“”分别向前数3个字母即为明文字母， 故明文“”，按照 “钥匙”编码后得到密文“” 故答案为： （4）解：根据题意，得，e的序号是5，且， 故对应密文字母为z； a的序号是1，且， 故对应密文字母为v； s的序号是19，且， 故对应密文字母为n； y的序号是25，且， 故对应密文字母为t； 故答案为： 16．（1）；（2）；（3）当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为 本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （2）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （3）先分别求出密文和明文对应的序号，再找到序号之间的关系即可得到答案． 解：（1）由题意得，密文“”可破译成明文“”， 故答案为：； （2）由题意得，密文“26  2  19  7  38”表示的明文序号为13  1  20  8  19， ∴将密文破译成英文字母表示的明文为， 故答案为：； （3）明文“”用序号表示为“20  5  1  3  8  5  18”， 密文“”用序号表示为“24  4  2  3  18  4  23”， ∵，，，，，，， ∴当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为． 学科网（北京）股份有限公司 $