第三章 代数式 知识点总结+单元小测 2026-2027学年人教版数学 七年级上册

**基本信息** 以“概念-技能-应用”递进逻辑整合代数式知识，通过易错点警示与六类典例提炼书写规范、整体代入等可迁移方法，强化符号意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点总结|5模块+5易错点|书写规范六字诀、列代数式关键词对应|从字母表示数到代数式定义、求值的概念生成链| |典型例题|6道精讲|“的”字整体法、探索规律四步法|例题覆盖书写、列式、求值、规律核心考法| |单元小测|34题（含4选做）|整体代入法、实际问题建模|选择/填空/解答分层考查符号运算与模型应用|

人教版数学七年级上册 第三章　代数式 本章知识点总结 + 单元小测（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【使用说明】本文档分两部分：第一部分是本章知识点总结（可作复习提纲）；第二部分是单元小测，满分 100 分，建议用时 60 分钟。 小测题型分布：选择题 10 小题 × 3 分 = 30 分；填空题 8 小题 × 3 分 = 24 分；解答题 6 小题共 46 分，另附能力提升训练（选做）。 本章范围：3.1 列代数式表示数量关系（用字母表示数、代数式、列代数式）；3.2 代数式的值。全部内容不超出本章教学要求，不涉及整式的加减（那是第四章的内容）。 第一部分　本章知识点总结 一、用字母表示数 1. 意义：用字母表示数，可以把数量关系简明地表达出来，使结论具有一般性。 例如：加法交换律写成 a + b = b + a，比用文字叙述简洁得多。 2. 字母的取值：字母可以表示任何数，但在实际问题中，字母的取值必须符合实际意义。 例如：用 n 表示班级人数时，n 只能取正整数；用 a 表示边长时，a 必须是正数。 3. 书写规范（非常重要）： ① 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略，或写成「·」，如 a × b 写成 ab 或 a·b； ② 数字与字母相乘时，数字写在前面，如 a × 3 写成 3a，不能写成 a3； ③ 带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数，如 1a 应写成 a； ④ 除法一般写成分数的形式，如 a ÷ 3 写成 ； ⑤ 结果是和或差时，若后面有单位，要把整个式子加括号，如 (a + b) 元； ⑥ 数字 1 与字母相乘时，1 省略不写，如 1 × a 写成 a；-1 × a 写成 -a。 二、代数式 1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 判断要点：代数式中不含等号、不等号（=、>、<、≠ 等）。 例如：3a + 2、-、m、7 都是代数式； 　　　3a + 2 = 5、x > 3 都不是代数式（它们是方程或不等式）。 3. 代数式的读法（两种）： ① 按运算顺序读：a + b 读作「a 与 b 的和」； ② 按实际意义读：若 a、b 表示两条边长，ab 可读作「长方形的面积」。 三、列代数式 1. 列代数式的基本思路：把文字语言「翻译」成数学符号语言。关键是抓住表示运算关系的关键词。 2. 常见关键词与运算的对应： 关键词 运算 举例（设某数为 x） 和、增加、多、共 加法 x 与 5 的和：x + 5 差、减少、少、比……小 减法 x 比 5 小 3：x = 5 - 3 型；x 与 3 的差：x - 3 积、倍、乘 乘法 x 的 3 倍：3x 商、平均分、除以 除法 x 的一半： 平方、立方、次方 乘方 x 的平方：x2 3. 常用的数量关系公式： 路程 = 速度 × 时间；　总价 = 单价 × 数量；　工作量 = 效率 × 时间； 长方形周长 = 2(a + b)，面积 = ab；　正方体体积 = a³，表面积 = 6a²； 利润 = 售价 - 进价；　利润率 = × 100%。 用代数式表示图形的周长与面积 4. 两位数与三位数的表示： 十位数字是 a、个位数字是 b 的两位数是 10a + b（不是 ab）； 百位是 a、十位是 b、个位是 c 的三位数是 100a + 10b + c。 5. 百分数问题： 比 a 增加 20% 后是 a(1 + 20%)；　打八折后的价格是 0.8a。 四、代数式的值 1. 定义：用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算所得的结果，叫做代数式的值。 求代数式的值：把代数式看成一台「数值转换机」 2. 求值的三个步骤：一代、二算、三写。 ① 代：把字母的值代入，负数、分数要加括号； ② 算：按有理数的运算顺序计算（先乘方，再乘除，最后加减）； ③ 写：写出「当 x = … 时，原式 = …」的完整格式。 3. 整体代入法：当题目给出的是一个式子的值而不是单个字母的值时，常常把这个式子当作一个整体代入。 例如：已知 a + b = 3，求 2(a + b) - 5 的值。把 a + b 看作整体，原式 = 2 × 3 - 5 = 1。 五、探索规律 1. 基本方法：先算出前几项，观察它们与序号 n 的关系，再用含 n 的代数式表示第 n 项，最后验证。 火柴棒摆三角形的规律 2. 常见的数列规律： 等差型：1、3、5、7、… → 第 n 个是 2n - 1； 平方型：1、4、9、16、… → 第 n 个是 n²； 倍数型：2、4、8、16、… → 第 n 个是 2ⁿ； 符号交替：用 (-1)ⁿ 或 (-1)ⁿ⁺¹ 控制正负。 点阵中的平方规律 【本章高频易错点】 ① 书写不规范：写成 a3、1a、a ÷ 3 都不合规范。 ② 「a 的 3 倍与 5 的和」是 3a + 5；「a 与 5 的和的 3 倍」是 3(a + 5)，两者含义完全不同。 ③ 十位是 a、个位是 b 的两位数是 10a + b，写成 ab 是错的（ab 表示乘积）。 ④ 代入负数求值时必须加括号：当 x = -2 时，x² 要写成 (-2)² = 4。 ⑤ 代数式中不能有等号；带等号的是方程，不是代数式。 六、典型例题精讲 例 1　代数式的书写规范 题目：指出下列各式书写上的错误并改正：（1）a × 5；（2）2x；（3）m ÷ n；（4）1 × a + b 元。 解答： （1）数字要写在字母前面，应写成 5a； （2）带分数要化成假分数，应写成 x； （3）除法要写成分数形式，应写成 ； （4）1 与字母相乘时 1 省略，且结果是和、后面有单位时要加括号，应写成 (a + b) 元。 方法总结：书写规范是本章最容易「白丢分」的地方，记住六个字：数在前、化假分、写分式。 例 2　列代数式（区分「和的倍」与「倍的和」） 题目：设某数为 x，用代数式表示：（1）x 的 3 倍与 5 的和；（2）x 与 5 的和的 3 倍；（3）x 的平方与 x 的差；（4）x 与 y 的和的一半。 解答：（1）3x + 5；（2）3(x + 5)；（3）x2 - x；（4）。 方法总结：句子中「的」字前面的部分是一个整体，要加括号。判断时可以问自己：最后一步做的是什么运算？（1）最后是加法，（2）最后是乘法。 例 3　用代数式表示实际问题 题目：某商品的进价是 a 元，按进价提高 30% 后标价，再打八折出售。 （1）用代数式表示标价；（2）用代数式表示实际售价；（3）用代数式表示利润。 解答： （1）标价 = a(1 + 30%) = 1.3a（元）； （2）售价 = 1.3a × 0.8 = 1.04a（元）； （3）利润 = 售价 - 进价 = 1.04a - a = 0.04a（元）。 方法总结：这类题按事情发生的先后顺序一步步写，每一步都写成含 a 的代数式，不要跳步。 例 4　求代数式的值（代入负数要加括号） 题目：当 x = -2，y = 3 时，求代数式 x2 - 2xy + 的值。 分析：代入负数时一定要加括号；按先乘方、再乘除、最后加减的顺序算。 解答：当 x = -2，y = 3 时， 原式 = (-2)2 - 2 × (-2) × 3 + = 4 + 12 - = 16 - = 。 方法总结：漏括号是本类题的头号错误。写成 -22 会得到 -4，与正确答案 4 完全不同。 例 5　整体代入法 题目：已知 a - b = 4，求代数式 3(a - b) - 2(a - b) + 7 的值。 分析：题目没有给出 a、b 各自的值，只给了 a - b 的值，说明要把 (a - b) 当作一个整体。 解答：把 a - b = 4 整体代入， 原式 = 3 × 4 - 2 × 4 + 7 = 12 - 8 + 7 = 11。 方法总结：看到「已知某个式子的值，求另一个式子的值」，先观察所求式子里能不能凑出已知的那个整体。 例 6　探索规律 题目：用火柴棒按下图的方式摆三角形。 例 6 图 （1）摆 4 个三角形需要多少根火柴棒？ （2）摆 n 个三角形需要多少根火柴棒？ （3）用 101 根火柴棒最多能摆多少个这样的三角形？ 分析：先列出前几项：3、5、7、…，发现每多摆 1 个三角形就多用 2 根。 解答： （1）摆 4 个需要 7 + 2 = 9（根）； （2）第 1 个用 3 根，以后每个多 2 根，故摆 n 个需要 3 + 2(n - 1) = 2n + 1（根）； （3）由 2n + 1 = 101 得 2n = 100，n = 50，即最多能摆 50 个三角形。 方法总结：探索规律的通用套路是「列数据 → 找差值 → 写通式 → 代入验证」。写出通式后，一定要用前两项检验一下。 第二部分　第三章　代数式　单元小测 满分 100 分　　建议用时 60 分钟 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各式中，是代数式的是（　　） A. 3x + 2 = 5　　B. 2a - b　　C. x > 1　　D. 3 + 5 ≠ 9 2. 下列代数式书写规范的是（　　） A. a × 4　　B. 1x　　C. -ab　　D. m ÷ n 3. 「x 的 2 倍与 3 的差」用代数式表示为（　　） A. 2x + 3　　B. 2x - 3　　C. 2(x - 3)　　D. 3 - 2x 4. 「a 与 b 的和的平方」用代数式表示为（　　） A. a + b2　　B. a2 + b2　　C. (a + b)2　　D. a2 + b 5. 一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，这个两位数是（　　） A. ab　　B. a + b　　C. 10a + b　　D. 10b + a 6. 当 x = -3 时，代数式 x2 + 1 的值是（　　） A. -8　　B. 10　　C. -5　　D. 7 7. 一件商品的原价是 a 元，先涨价 10%，再降价 10%，现价是（　　） A. a 元　　B. 1.1a 元　　C. 0.99a 元　　D. 1.01a 元 8. 已知 x + y = 5，则 2(x + y) - 3 的值是（　　） A. 7　　B. 10　　C. 13　　D. 无法确定 9. 如图，一个长方形的长为 x，宽为 y，从中挖去一个边长为 m 的正方形，则阴影部分的面积是（　　） 第 9 题图（参考右图） A. xy　　B. xy - m2　　C. xy + m2　　D. x + y - m 10. 观察下列一组数：2、5、10、17、26、…，按这个规律，第 n 个数是（　　） A. n2　　B. n2 + 1　　C. 2n + 1　　D. 3n - 1 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11. 把下列各式改写成规范形式：a × b × 3 = ________；x ÷ 5 = ________；2m = ________。 12. 用代数式表示：「a 的一半与 b 的 3 倍的和」是 ____________________。 13. 某数为 x，比它大 6 的数是 ________；它的相反数是 ________；它的倒数是 ________（x ≠ 0）。 14. 一辆汽车以 v km/h 的速度行驶了 t h，共行驶了 ________ km；若再行驶 50 km，共行驶 ________ km。 15. 当 a = 2，b = -1 时，代数式 3a + 2b 的值是 ________。 16. 当 x = -1 时，代数式 -x2 + 2x - 3 的值是 ________。 17. 已知 a - 2b = 3，则 5 - 2a + 4b 的值是 ________。 18. 用同样大小的黑色棋子按下图规律摆放：第 1 个图形用 1 枚，第 2 个用 4 枚，第 3 个用 9 枚，……则第 n 个图形用 ________ 枚。 第 18 题图 三、解答题（共 46 分） 19.（8 分）用代数式表示下列各量。 (1) 一个长方形的长是 a cm，宽比长少 3 cm，求它的周长； (2) 甲数是 x，乙数比甲数的 2 倍多 5，求乙数； (3) 某校有男生 m 人，女生人数是男生的 ，求全校学生人数； (4) 一件商品进价为 a 元，按进价的 1.5 倍标价后打七折出售，求售价。 20.（8 分）当 a = -2，b = 3 时，求下列代数式的值。 (1) 2a + 3b；　　　　　　(2) a2 - b2； (3) ；　　　　　(4) -a2 + 2ab。 21.（8 分）某市出租车的收费标准是：3 km 以内（含 3 km）收起步价 8 元，超过 3 km 的部分每千米收 2.4 元。 (1) 若某人乘车行驶了 x km（x > 3），用含 x 的代数式表示应付的车费； (2) 当 x = 10 时，求应付的车费； (3) 小明乘车行驶了 2 km，他应付多少元？ 22.（8 分）如图，一块长为 a m、宽为 b m 的长方形草坪，中间修了一条宽为 1 m 的十字形小路（横竖各一条）。 (1) 用代数式表示小路的面积； (2) 用代数式表示草坪（阴影部分）的面积； (3) 当 a = 20，b = 15 时，求草坪的面积。 （提示：可以先把两块草坪平移拼在一起） 23.（7 分）已知代数式 x2 + 2x - 1 的值是 5。 (1) 求 x2 + 2x 的值； (2) 求 2x2 + 4x + 3 的值； (3) 求 -3x2 - 6x + 10 的值。 24.（7 分）用火柴棒按下图的方式摆放正方形。 第 1 个正方形用 4 根，第 2 个图形（两个正方形并排）用 7 根，第 3 个图形用 10 根，…… (1) 摆第 4 个图形需要多少根火柴棒？ (2) 摆第 n 个图形需要多少根火柴棒？ (3) 用 2026 根火柴棒最多能摆多少个这样并排的正方形？ 四、能力提升训练（选做，不计入总分） 25. 已知 a + b = 5，ab = -3，求代数式 3(a + b) - 2ab + 1 的值。 26. 观察下列各式： 第 1 个式子：1 × 3 + 1 = 4 = 22； 第 2 个式子：2 × 4 + 1 = 9 = 32； 第 3 个式子：3 × 5 + 1 = 16 = 42；…… (1) 写出第 5 个式子； (2) 用含 n 的代数式表示第 n 个式子； (3) 用你发现的规律直接写出 99 × 101 + 1 的值。 27. 一个三位数，百位数字比十位数字大 2，个位数字是十位数字的 2 倍。设十位数字为 a。 (1) 用含 a 的代数式表示百位数字和个位数字； (2) 用含 a 的代数式表示这个三位数； (3) 当 a = 3 时，求这个三位数。 28. 定义：对于任意有理数 a、b，规定 a ⊗ b = a2 - ab + b。 (1) 求 3 ⊗ (-2) 的值； (2) 求 (-1) ⊗ (2 ⊗ 1) 的值。 参考答案与解析 一、选择题 1. B　【解析】代数式中不能含有等号或不等号。A 是方程，C、D 是不等式，只有 B 是代数式。 2. C　【解析】A 应写成 4a；B 带分数要化成假分数，应写成 x；D 应写成 。C 书写规范。 3. B　【解析】「x 的 2 倍」是 2x，「与 3 的差」即减去 3，得 2x - 3。 4. C　【解析】「a 与 b 的和」是 (a + b)，它的平方是 (a + b)2，整体必须加括号。 5. C　【解析】两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字 = 10a + b。写成 ab 表示的是 a 与 b 的乘积，含义完全不同。 6. B　【解析】当 x = -3 时，x2 = (-3)2 = 9，故原式 = 9 + 1 = 10。注意代入时要加括号。 7. C　【解析】涨价 10% 后为 a(1 + 10%) = 1.1a；再降价 10% 后为 1.1a × (1 - 10%) = 1.1a × 0.9 = 0.99a（元）。 可见「先涨 10% 再降 10%」并不等于原价，这是本题的易错点。 8. A　【解析】把 x + y = 5 整体代入，原式 = 2 × 5 - 3 = 7。 9. B　【解析】大长方形面积为 xy，挖去的正方形面积为 m2，阴影部分面积 = xy - m2。 10. B　【解析】观察：2 = 12 + 1，5 = 22 + 1，10 = 32 + 1，17 = 42 + 1，26 = 52 + 1， 故第 n 个数是 n2 + 1。 二、填空题 11. 3ab；；m 【解析】数字写在字母前；除法写成分数；带分数化为假分数。 12. + 3b 【解析】「a 的一半」是 ，「b 的 3 倍」是 3b，两者的和相加即可。 13. x + 6；-x； 14. vt；vt + 50 【解析】路程 = 速度 × 时间 = vt（km）；再行驶 50 km 就是 vt + 50。 15. 4 【解析】3 × 2 + 2 × (-1) = 6 - 2 = 4。 16. -6 【解析】当 x = -1 时，-x2 = -(-1)2 = -1，2x = -2，原式 = -1 - 2 - 3 = -6。注意 -x2 中乘方只作用于 x。 17. -1 【解析】把 -2a + 4b 变形为 -2(a - 2b)，用整体代入： 原式 = 5 - 2(a - 2b) = 5 - 2 × 3 = 5 - 6 = -1。 18. n2 【解析】1 = 12，4 = 22，9 = 32，……第 n 个图形是边长为 n 的正方形点阵，共 n2 枚。 三、解答题 19.（1）宽为 (a - 3) cm，周长 = 2[a + (a - 3)] = (4a - 6) cm。 （2）乙数为 2x + 5。 （3）女生 m 人，全校共 (m + m) 人，即 m 人。 （4）标价为 1.5a 元，打七折后售价 = 1.5a × 0.7 = 1.05a（元）。 20.（1）2a + 3b = 2 × (-2) + 3 × 3 = -4 + 9 = 5。 （2）a2 - b2 = (-2)2 - 32 = 4 - 9 = -5。 （3） = = = -@f{1|5}。 （4）-a2 + 2ab = -(-2)2 + 2 × (-2) × 3 = -4 - 12 = -16。 【易错提醒】(3) 的分母不能算成 -2 + 3；(4) 中 -a2 要先平方再取负。 21.（1）超过 3 km 的部分是 (x - 3) km，车费为 8 + 2.4(x - 3) 元。 （2）当 x = 10 时，车费 = 8 + 2.4 × (10 - 3) = 8 + 16.8 = 24.8（元）。 （3）2 km 在 3 km 以内，只需付起步价 8 元。 【易错提醒】(1) 中的代数式只在 x > 3 时成立，不能直接把 x = 2 代进去。 22.（1）小路的面积 = a × 1 + b × 1 - 1 × 1 = (a + b - 1) m2。 【解析】横竖两条小路交叉处的 1 m2 被算了两次，要减去一次。 （2）草坪面积 = 长方形面积 - 小路面积 = ab - (a + b - 1) = (ab - a - b + 1) m2，也可以写成 (a - 1)(b - 1) m2。 【另一种想法】把两块草坪平移拼在一起，正好得到一个长 (a - 1) m、宽 (b - 1) m 的长方形。 （3）当 a = 20，b = 15 时，草坪面积 = (20 - 1) × (15 - 1) = 19 × 14 = 266（m2）。 23.（1）由 x2 + 2x - 1 = 5 得 x2 + 2x = 6。 （2）2x2 + 4x + 3 = 2(x2 + 2x) + 3 = 2 × 6 + 3 = 15。 （3）-3x2 - 6x + 10 = -3(x2 + 2x) + 10 = -3 × 6 + 10 = -8。 【方法总结】本题不需要（也无法用本章知识）求出 x 的值，关键是把 x2 + 2x 当作一个整体。 24.（1）第 4 个图形需要 10 + 3 = 13（根）。 （2）第 1 个用 4 根，以后每多一个正方形就多用 3 根， 故第 n 个图形需要 4 + 3(n - 1) = (3n + 1) 根。 （3）最多能摆 675 个。 【解析】由 3n + 1 = 2026 得 3n = 2025，n = 675，恰好用完 2026 根火柴棒。 能力提升训练　参考答案 25. 原式 = 22。 【解析】把 a + b = 5 与 ab = -3 整体代入： 3(a + b) - 2ab + 1 = 3 × 5 - 2 × (-3) + 1 = 15 + 6 + 1 = 22。 26.（1）第 5 个式子：5 × 7 + 1 = 36 = 62。 （2）第 n 个式子：n(n + 2) + 1 = (n + 1)2。 【解析】观察左边：第 n 个式子是 n 与 (n + 2) 的积再加 1；右边是 (n + 1) 的平方。 （3）99 × 101 + 1 = 1002 = 10000。 【解析】把 n = 99 代入规律，n + 2 = 101，n + 1 = 100。 27.（1）百位数字为 (a + 2)，个位数字为 2a。 （2）这个三位数 = 100(a + 2) + 10a + 2a = 100a + 200 + 12a = (112a + 200)。 （3）当 a = 3 时，这个三位数 = 112 × 3 + 200 = 336 + 200 = 536。 【检验】百位 5 = 3 + 2 ✓，十位 3 ✓，个位 6 = 2 × 3 ✓，符合题意。 28.（1）3 ⊗ (-2) = 32 - 3 × (-2) + (-2) = 9 + 6 - 2 = 13。 （2）先算括号内：2 ⊗ 1 = 22 - 2 × 1 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3； 再算 (-1) ⊗ 3 = (-1)2 - (-1) × 3 + 3 = 1 + 3 + 3 = 7。 【方法总结】新定义运算题只要照着定义的式子逐字代入即可，注意有括号时先算括号里的。 【复习建议】本章是从「算术」走向「代数」的第一步，核心能力有两个：一是把文字翻译成式子（列代数式），二是把数字代回式子（求值）。列代数式时多问一句「最后一步是什么运算」，求值时牢记「负数要加括号」，本章就基本没有难点了。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $