培优专题01 图形的旋转核心题型归纳(专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题01 图形的旋转核心题型归纳 常考题型·精准突破 考点一 旋转的基本概念与性质 题型1 生活中的旋转现象 题型2 识别旋转中心、旋转角、对应线段 / 对应角 题型3 利用旋转性质求线段长度、角度 考点二 旋转 + 坐标 题型1 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型2 求饶某点旋转90度的点的坐标 题型3 坐标规律问题 考点二 旋转证明 题型1 证明角相等 题型2 证明边相等 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 旋转的基本概念与性质 ◆题型1生活中的旋转现象 1．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 3．制作传统万花筒，主要利用的几何变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．中心对称 4．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 5．如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． ◆题型2识别旋转中心、旋转角、对应线段 / 对应角 1．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 3．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O至少旋转_____后可以和自身重合． 5．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． ◆题型3 有利用旋转性质求线段长度、角度 1．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 3．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 4．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 5．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 考点二 旋转 + 坐标 ◆题型1求绕原点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，把直角坐标系放置在边长为的正方形网格中，是坐标原点，点、、均在格点上，将绕点按逆时针方向旋转后，得到，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，把绕着原点逆时针旋转，得到，则点的坐标______． 5．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． ◆题型2 求饶某点旋转90度的点的坐标 1．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为(     ) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，若点的坐标为，则点C的坐标为_____． 5．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． ◆题型3 坐标规律问题 1．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在轴正半轴上，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点所对应的点的坐标是_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 考点三 旋转证明 ◆题型1证明角相等 1．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 2．已知为等边三角形，，分别是边，上的点，且，将绕点旋转至如图所示的位置，连接，交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：是的平分线． 3．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α得到矩形AEFG，其中点B的对应点E恰好落在边CD上，连结BG交AE于点G，连结BE． (1)求证：BE平分∠AEC； (2)求证：BH=HG． ◆题型2 证明边相等 1．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 2．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接、，求证：． 3．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好在边上，点的对应点为点，与相交于点，若，，求证：． 4．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点，求证：．    5．如图，在中，，，将绕点A按顺时针旋转得到，连接，它们交于D点，求证：． 综合攻坚·知能拔高 1．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 2．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 3．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是______________________． 8．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 9．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 10．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 11．如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到（点D在外），连接，当时，的长为 ___________ 12．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 13．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，且． (1)求的度数； (2)求的度数． 14．如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； (3)探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 15．如图，在中，，点D在上，连接，将绕点C按顺时针旋转后得． (1)补充完成图形； (2)若，试说明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01图形的旋转核心题型归纳 常考题型精准突破 。考点一旋转的基本概念与性质●一 ◆题型1生活中的旋转现象 1.A 2.A 3.B 4.②③ 5.A 顺时针 60 ◆题型2识别旋转中心、旋转角、对应线段/对应角 1.D 2.D 3.C 4.120° 5.37° ◆题型了有利用旋转性质求线段长度、角度 1.D 2.A 3.94° 4.5 5. 【详解】(1)解：：将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE, :.∠CAE=60°，AC=AE, 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “.△ACE为等边三角形， ∴CE=AC=4,∠ACE=60°， :∠ACB=120° :.∠ACB+∠ACE=18O°，即点B,C,E三点共线， .BE=BC+CE=2+4. (2)①证明：如图2， B 图2 ,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE, ∠CAE=90°，△ABC≌△ADE, .AC=AE, ∴△ACE为等腰直角三角形， .∠ACE=∠AEC=45°， 点B,C,E三点共线， ∠ACB=∠AED=180°-∠ACE=135°， .∠BED=∠AED-∠AEC=90°， ∴BE⊥DE ②解：：△ABC≌△ADE, .BC=DE=2,AC=AE=4, ,△ACE为等腰直角三角形， ..CE=AC2+AE2=42, BE=BC+CE=5√2， .S.mp=BE.ED=5 2 一●考点二旋转+坐标。一 2/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型1求绕原点旋转90度的点的坐标 1.B 2.A 3.B 4.（-1,3 5.己知AOAB在平面直角坐标系中，A(2,0),B(4,2),将AOAB绕点0逆时针旋转90°得到△OCD,连接 CA交OB于点E,将点E向左平移2个单位长度得到点E',则点E的坐标为 YA 夕 A 22 【答案】 33 【分析】由旋转的性质求出点C的坐标，用待定系数法分别求出直线OB、AC的函数解析式，联立求出点 E的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出E的坐标 【详解】解：由旋转的性质可知：C(0,2), 设直线OB的函数解析式为yos=mr, 1 把B(4,2)代入得4m=2:解得m=2 1 直线OB的函数解析式为'o=2x 设直线AC的函数解析式为yAc=a+b。 2k+b=0 把A(2,0):C(0,2)代入得1b=2· [k=-1 解得b=2· .直线AC的函数解析式为y4c=-x+2, 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 x= 3 联立y=2x ,解得 2, y=-x+2 y= 3 :将点E向左平移2个单位 ◆题型2求饶某点旋转90度的点的坐标 1.D 2.B 3.(7,4) 4.(5,5) 5.（-3,2) ◆题型3坐标规律问题 1.D 2.B 3.A 4.(3,-3) 5.（6-25,-4) ·考点三旋转证明。 ◆题型1证明角相等 1. (1)证明：由题意，得AB=AE,∠B=∠AEF, 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=∠AEB, ∴.∠AEB=∠AEF, ∴.EA平分∠BEF: (2)解：由题意，得∠BAE=∠CAF,∠C=∠F, AB=AE,∠ABC=54° ∴.∠AEB=54°， ∠BAE=180°-54°-54°=72°， .∠CAF=∠BAE=72°， ∴.∠FGC=∠F+∠FAG=104° 2. 【详解】(1)证明：：△ABC为等边三角形，D,E分别是边AB,AC上的点，且AD=AE, AB=AC,△ADE为等边三角形， .∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE, .△BAD≌△CAE(SAS): (2)如图，过A分别作AM⊥CE于点M,AN⊥BD于点N, :△BAD≌△CAE, ∴BD=CE,S△BMD=S△CME, :AM=AN, A在∠BQE的平分线上， 即QA是∠BQE的平分线. Q B 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理.熟练掌握旋转的性质， 证明三角形全等是解题的关键.本题是手拉手全等模型，平时善于积累，可以快速解题 3.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α得到矩形AEFG,其中点B的对应点E恰好落在边CD上，连 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结BG交AE于点G,连结BE. C E G (1)求证：BE平分∠AEC: (2)求证：BH=HG 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】(1)根据矩形ABCD绕点A顺时针旋转a得到矩形AEFG,得出AB=AE,可得∠ABE=∠AEB,根 据ABCD,得出∠CEB=∠ABE=∠AEB即可； (2)过B作BMLAE于M,先证△CEB≌△MEB(AAS),再证△BMH≌△GAH(AAS)即可. 【详解】(1)证明：，矩形ABCD绕点A顺时针旋转a得到矩形AEFG, ∴.AB=AE, .∠ABE=∠AEB, ,矩形ABCD, ..AB CD, .∠CEB=LABE=LAEB, ∴.BE平分∠AEC: (2)证明：过B作BMLAE于M, :四边形ABCD为矩形， .∴.∠C=90°BC=AD ∴.∠BME=∠C=90°， 在△CEB和△MEB中， ∠C=∠BME ∠CEB=∠MEB BE=BE 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△CEB≌△MEB(AAS), ∴.BC-=BM, :矩形ABCD绕点A顺时针旋转a得到矩形AEFG, .AD=AG,∠HAG=90°， ∴.BM-GA, 在△BMH和△GAH中， ∠BMH=∠GAH ∠MHB=∠AHG, BM=GA ∴.△BMH≌△GAH(AAS), ,∴.BH=GH E D M G H A 【点睛】本题考查矩形性质，矩形旋转性质，等腰三角形判定与性质，平行线性质，角平分线判定，三角 形全等判定与性质，掌握矩形性质，矩形旋转性质，等腰三角形判定与性质，平行线性质，角平分线判定， 三角形全等判定与性质是解题关键 ◆题型2证明边相等 【答案】证明：由旋转的性质可得，∠BAC=∠EAF,AB=AE,AC=AF, :.∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF, .AB=AC,AB=AE,AC=AF, ∴AB=AC=AE=AF, 在△ABE和△ACF中， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF .△ABE≌△ACF(SAS), ..BE=CF 2. 证明：：△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴.AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC ∴∠BAC-∠BAF=∠EAF-∠BAF,即∠BAE=∠CAF. 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF ·.△ABE≌△ACF(SAS). .BE=CF 3. 【答案】 证明：由旋转性质得△ABC≌△ADE, .AB=AD,AC=AE, ∠ADE=∠B=75°，∠E=∠C=45°，∠DAE=∠BAC, ∴.∠ADB=∠B=75°，∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-75°-75°=30°， :∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-75°-45°=60°， ∴.∠DAF=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°=∠CAE, :在△ADC和△AFE中， ∠C=∠E AC=AE ∠DAC=∠FAE ∴△ADC≌△AFE(ASA). ∴.EF=CD 4. 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：：△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的， .AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠CAF=45 ∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF .△ABE≌△ACF(SAS)., :.BE=CF. A 5. 证明：：△ABC绕点A按顺时针方向旋转角a得到△AEF, ∴，AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC, .AB=AC=1, ·AB=AC=AE=AF, ∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB,即∠EAB=∠FAC, 在△AEB和△AFC中， AE=AF ∠EAB=∠FAC, AB=AC ·△AEB≌△AFC(SAS), 、BE=CF: 综合攻坚知能拔高 1.c 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.D 3.A 4.B 5.D 6.D 722 7.如 4+22 8.√7或9 9.40 10.40° 11.2W21 12. 【详解】(1)解：：将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP', 旋转中心是点B,旋转角为∠ABC, :四边形ABCD为正方形， .∠ABC=90°， 即旋转角的度数是90°： (2)解：，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP' .BP'=BP,∠PBP'=∠ABC=90°，∠BP'C=∠APB, ∠BPP=∠BPp=,x180°-90)=45， 2 ∴.∠BP'C=∠APB=180°-∠BPP'=135° (3)解：根据解析(2)可得：∠BP'C=135°，BP=BP'=2,∠PBP=90°，∠BP'P=45°， .在Rt△BPP中，根据勾股定理得： PP=VBP2+BP2=V22+22=2√2， ∠PP'C=∠BP'C-∠PPB=135°-45°=90°， 在Rt△PPC中，根据勾股定理得： PC=Pp2+pC=22+12=3, 10/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PC的长为3. 13. 【详解】(1)解：，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转25°得到△ADE, ∠DAB=25°， ADII BC, ·LB=LDAB=25°： (2)解：∠C=90°，∠B=25° .∠BAC=180°-90°-25°=65°， ,将△ABC旋转得到△ADE, ∴∠DAE=∠BAC=65° 14. 1证明：AD川BC(已知)， ∴.∠DAB+∠CBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）， :BE平分∠ABC,AE平分∠BAD(已知)， ∠48E=<C4，,∠B4E=号D1B(角平分线的性质)， ∠ABE+∠BAB=)∠CBA+5∠DAB=(∠CBA+∠DAB)=90. 21 2 ∴.∠AEB=90° (2)35 (3)解：AB⊥FG,理由如下， 延长BA与GF交于点H,由旋转性质和对顶角性质得， G H B E .∠BAE+∠B=90° ∴.∠GAH+∠FGE=∠BAE+∠B=90°， .∠GHA=90°， ∴.AB⊥FG (2)解：∠FGE由∠ABE旋转可得， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故∠FGE=∠ABE, :∠ABE=90°-∠BAE=90°-55°=35°， .∠FGE=∠ABE=35° G A (3)略. 15. 【答案】(1) 如图，△CEF即为所求： y B (2) 证明：因为EF∥CD, ·.LFEC=∠ACD 由旋转的性质可知：∠BCD=∠ECF,∠BDC=∠EFC, ∠BCD+∠ACD=90°， :.∠DCF=∠ACD+∠ECF=∠FEC+∠ECF=90°. :.∠BDC=∠EFC=180°-(LFEC+∠ECF)=90° 12/12 专题01 图形的旋转核心题型归纳 常考题型·精准突破 考点一 旋转的基本概念与性质 题型1 生活中的旋转现象 题型2 识别旋转中心、旋转角、对应线段 / 对应角（重） 题型3 利用旋转性质求线段长度、角度 考点二 旋转 + 坐标 题型1 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型2 求饶某点旋转90度的点的坐标（重） 题型3 坐标规律问题 考点二 旋转证明 题型1 证明角相等 题型2 证明边相等（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 旋转的基本概念与性质 ◆题型1生活中的旋转现象 1．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 2．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 3．制作传统万花筒，主要利用的几何变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．中心对称 【答案】B 【分析】本题考查几何变换的实际应用，结合万花筒的工作原理，对应不同几何变换的定义即可作出判断． 【详解】解：传统万花筒内部装有多块平面镜，依靠平面镜反射成像， ∵平面镜所成的像与原物体关于镜面所在直线对称，符合轴对称变换的定义， ∴制作传统万花筒主要利用的几何变换是轴对称． 4．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据旋转，平移的定义进行判断即可． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求； ②翻动书页，是旋转，故符合要求； ③方向盘的转动，是旋转，故符合要求； ④传送带的移动，是平移，故不符合要求． 故答案为：②③． 5．如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 【答案】 顺时针 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，旋转的定义，由等边三角形的性质可得，，，进而得到，即可根据旋转的定义求解，掌握等边三角形的性质和旋转的定义是解题的关键． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴可由绕点顺时针方向旋转得到， 故答案为：，顺时针，． ◆题型2识别旋转中心、旋转角、对应线段 / 对应角 1．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 2．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． 3．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据旋转中心的定义和性质，利用格点构造对应点连线的垂直平分线，即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 分别作，的垂直平分线，交点为点，即点是旋转中心． 4．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O至少旋转_____后可以和自身重合． 【答案】120° 【分析】根据旋转对称图形的概念，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫做旋转角进行计算即可． 【详解】解：该图形围绕自己的旋转中心，最少顺时针旋转360°÷3＝120°后，能与其自身重合． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 5．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 【答案】/度 【详解】解：由图可知，是对应边，是旋转角， 所以，旋转角． ◆题型3 有利用旋转性质求线段长度、角度 1．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到， ， ， 是的外角， ， ． 2．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接，延长交于点M，延长交于点M，证明垂直平分得．由勾股定理得，再求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接，延长交于点M， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上． 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 3．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】/94度 【分析】根据旋转的性质得出，可求出，进而得出，然后利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 4．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【答案】5 【分析】由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 5．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 考点二 旋转 + 坐标 ◆题型1求绕原点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴，轴，垂足为点，然后证明即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，轴，垂足为点，则， ∵， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标是． 3．如图，把直角坐标系放置在边长为的正方形网格中，是坐标原点，点、、均在格点上，将绕点按逆时针方向旋转后，得到，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点的原始坐标，再利用绕原点逆时针旋转的坐标变换规则计算得到旋转后的坐标，匹配对应选项即可． 【详解】解：根据坐标系网格可得，旋转前点的坐标为， ∵点绕坐标原点逆时针旋转后，对应点的坐标变换规律为， ∴将代入规律，得： ，， ∴的坐标为． 4．如图，在中，，，把绕着原点逆时针旋转，得到，则点的坐标______． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，从而确定点的坐标，利用旋转的性质得出对应线段相等，结合点所在象限确定坐标符号． 【详解】解：在中，，，． 由勾股定理得． 点的坐标为． ∵绕着原点逆时针旋转90°，得到， ，． 旋转角为，且点在第一象限． 点在第二象限．点的横坐标为，纵坐标为． 点的坐标为． 5．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． ◆题型2 求饶某点旋转90度的点的坐标 1．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，，进而得出的坐标和的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到， ∴，， ∴轴，轴， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，证明，即可得出结果． 【详解】解：作轴，如图，则， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴，即． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，若点的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，可得，根据旋转的性质可得，进而可得，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，由此得出点的坐标． 【详解】解：∵轴于点B，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点C的坐标为． 5．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】连接交于点E，先根据题意可得点，进而得出，再由旋转的性质可得，进而得出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接交于点E， ∵菱形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为， ∴点， ∴． 由旋转的性质可得， ∴， ∴点D的对应点的坐标为． ◆题型3 坐标规律问题 1．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2028次旋转结束时，点C的坐标为． 2．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，点，是等腰直角三角形且，求出点的坐标为，利用旋转求出的坐标规律，再计算的坐标即可． 【详解】解：∵点，点，是等腰直角三角形且， ∴点的坐标为，根据题意旋转可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 以此类推，点的横坐标为，当为奇数时，点的纵坐标为，当为偶数时，点的纵坐标为2， ∴点的横坐标为， ∵是偶数， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 3．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 4．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在轴正半轴上，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点所对应的点的坐标是_____． 【答案】 【分析】观察图象可得，点A旋转8次为一个循环，从而可得点与点的坐标相同，即可求解． 【详解】解：如图，点A旋转次为一个循环， ∵， ∴点与点的坐标相同， ，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由图可知：关于x轴对称， ∴点的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知与重合，与重合，过点作轴，根据勾股定理求得三角形的直角边，确定点的坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，……如此循环下去，在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限，依此类推， ∵，与第2次旋转得到的相同， ∴与重合，与重合， 如图所示， 过点作轴， 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴的坐标为， ∴的坐标为． 考点三 旋转证明 ◆题型1证明角相等 1．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 2．已知为等边三角形，，分别是边，上的点，且，将绕点旋转至如图所示的位置，连接，交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明为等边三角形，再利用证明即可； （2）过分别作于点，于点，利用全等三角形的性质，得到即可得证． 【详解】（1）证明： 为等边三角形，，分别是边，上的点，且， ，为等边三角形， ， ， ； （2）如图，过分别作于点，于点， ， ，， ， 在的平分线上， 即是的平分线． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．本题是手拉手全等模型，平时善于积累，可以快速解题． 3．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α得到矩形AEFG，其中点B的对应点E恰好落在边CD上，连结BG交AE于点G，连结BE． (1)求证：BE平分∠AEC； (2)求证：BH=HG． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据矩形ABCD绕点A顺时针旋转α得到矩形AEFG，得出AB=AE，可得∠ABE=∠AEB，根据AB∥CD，得出∠CEB=∠ABE=∠AEB即可； （2）过B作BM⊥AE于M，先证△CEB≌△MEB（AAS），再证△BMH≌△GAH（AAS）即可． 【详解】（1）证明：∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转α得到矩形AEFG， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∵矩形ABCD， ∴AB∥CD， ∴∠CEB=∠ABE=∠AEB， ∴BE平分∠AEC； （2）证明：过B作BM⊥AE于M， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C=90°BC=AD， ∴∠BME=∠C=90°， 在△CEB和△MEB中， ， ∴△CEB≌△MEB（AAS）， ∴BC=BM， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转α得到矩形AEFG， ∴AD=AG，∠HAG=90°， ∴BM=GA， 在△BMH和△GAH中， ， ∴△BMH≌△GAH（AAS）， ∴BH=GH． 【点睛】本题考查矩形性质，矩形旋转性质，等腰三角形判定与性质，平行线性质，角平分线判定，三角形全等判定与性质，掌握矩形性质，矩形旋转性质，等腰三角形判定与性质，平行线性质，角平分线判定，三角形全等判定与性质是解题关键． ◆题型2 证明边相等 1．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 【详解】略 2．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接、，求证：． 【答案】 证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴，，， ，即． 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定．由旋转的性质可得到，，，依据等式的性质可得到，依据可证明，依据全等三角形的性质进行证明即可． 【详解】略 3．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好在边上，点的对应点为点，与相交于点，若，，求证：． 【答案】 证明：由旋转性质得， ，， ，，， ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 由旋转性质得，由全等性质得，，，，，结合等边对等角、三角形内角和定理推出，再根据“角边角”证明后即可得证． 【详解】略 4．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点，求证：．    【答案】 证明：是由绕点A按逆时针方向旋转得到的， ， ，即， 在和中, , ∴， ．    【分析】本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．利用旋转性质得,再证明和全等． 【详解】略 5．如图，在中，，，将绕点A按顺时针旋转得到，连接，它们交于D点，求证：． 【答案】 证明：∵绕点按顺时针方向旋转角得到， ∴，，， ∵， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【分析】本题考查旋转的综合运用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质是解题关键． 由题意可以推得，从而得到； 【详解】略． 综合攻坚·知能拔高 1．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 2．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 3．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形， ，，为旋转角，不是旋转角． 4．如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，过点作轴，证明，由得到，，根据点在第二象限，得到． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，可得点逆时针旋转后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点B的坐标为， ∴， ∴A点坐标为， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环， 即，，，． ∵， ∴点与同在一个象限内． ∵，，， ∴点． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是______________________． 【答案】 【分析】把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图，根据旋转的性质得到，，，，所以，利用等腰直角三角形的性质计算出，，则，，所以，从而得到C点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴C点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，把线段绕点B顺时针旋转转化为把绕B点顺时针旋转得到是解决问题的关键． 8．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 【答案】或 【分析】连接，首先根据等边三角形的性质得到，，，利用勾股定理求出，然后根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点D为边中点，， ∴，，， ∴， ∵为直角三角形， ∴当点P在线段上时，如图， ∴， ∴； 当点P在延长线上时，如图， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 9．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由旋转的性质得出，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点落在上， ∴， ∴． 10．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 【答案】 /40度 【分析】根据旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质求出和的度数，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵点D在边上 ， ∴， ∴． 11．如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到（点D在外），连接，当时，的长为 ___________ 【答案】 【分析】如图：连接，延长交于点F，根据旋转性质得出为等边三角形，结合利用线段垂直平分线的判定定理确定所在直线垂直平分，再构造直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，延长交于点F． 由旋转性质可知，， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴点D、点C都在线段的垂直平分线上． ∴，， 在中，． ∴． 在中，． 12．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 【答案】(1)B； (2) (3)3 【分析】（1）根据旋转的定义和正方形进行求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，进行求解即可； （3）根据解析（2）得出，，，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴旋转中心是点B，旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴， 即旋转角的度数是； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：根据解析（2）可得：，，，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 的长为3． 13．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，且． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质即可求解； （2）旋转图形对应角相等，故由三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵将旋转得到， ∴． 14．如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； (3)探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分，平分（已知）， ，（角平分线的性质）， ， ． (2) (3)解：，理由如下， 延长与交于点，由旋转性质和对顶角性质得， ， ， ， ． 【分析】（1）利用平行线性质得到，再由平分，平分，得到，．从而推出，则求证可证； （2）利用图形旋转的性质得到 ，再由直角三角形两个锐角互余求出，则的度数可求； （3）延长与交于点，由题意，，根据等量代换求出，则求证可证． 【详解】（1）略； （2）解：由旋转可得， 故 ， ∵， ． （3）略． 15．如图，在中，，点D在上，连接，将绕点C按顺时针旋转后得． (1)补充完成图形； (2)若，试说明． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 证明：因为， ∴． 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键； （1）画出旋转后的即可； （2）由平行线的性质可得出，根据旋转的性质可知，，结合即可得出，再根据三角形内角和定理即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $