第28章 强化训练一 旋转和中心对称在生活中的应用&强化训练二 旋转与全等的综合-【课课练】2026-2027学年九年级上册数学同步训练（人教版·新教材）

第二十八章旋转 强化训练二 旋转和中心对称在生活中的应用 1.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着数学之美. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图 米米 米 形的是 ( C D 5.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花 纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间 B 艺术.其蕴涵了丰富的文化信息，表达了广大 民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理 想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱 C D 乐、交往等多重社会价值.下列剪纸中，是中心 2.在下列四个环保标志中，是由某个基本图形经 对称图形的是 () 过旋转得到的是 ( B 第 D 十 C D 6.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组 3.下列各银行的标志图案中，是中心对称图形但 织人类非物质文化遗产代表作名录.下列四幅 章 不是轴对称图形的是 ( 作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”， 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 B B D 4.下列天气图案中，是中心对称图形的是 ( D 7.永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向 上，如瑶族长鼓舞、东安武术、宁远举重等.下 : 面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象 67 课课练数学九年级上册 出来的，其中是中心对称图形的是 （）10.如图，在正方形网格中： M 年 P Q B 资 (1)作出四边形AB,CD1,使四边形AB1C1D1 与四边形ABCD关于直线MW对称. 8.下图是某艺术中心地砖的一部分，这个图案可 (2)作出四边形A2B2C2D2,使四边形A2B2C2D2 以看作是以“基本图案”—原图案的四分之 与四边形A1BC1D1关于直线PQ对称. 一通过某些变换形成的，但一定不能通过 (3)四边形ABCD与四边形A2B2C2D2是否对 变换得到 称？若对称，请在图中作出对称轴或对 称中心 第 9.下图是由14个全等的三角形组成的图案，该 图案是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称 十八章 或旋转而得到的.试分析这个图案形成的 过程 68 第二十八章旋转 强化训练台 旋转与全等的综合 1.如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内2.如图，在△ABC中，已知AB=AC,D,E是BC边 一点，连接AP,BP,CP,将线段AP绕点A顺时 上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD', 针旋转60°得到AP',连接PP',BP', 连接D'E. (1)用等式表示BP'与CP的数量关系，并 (1)当∠BAC=120°，∠DAE=60时，求证：DE= 证明， D'E. (2)当∠BPC=120时. (2)当DE=D'E时，请猜想∠DAE与∠BAC有 ①直接写出∠P'BP的度数： 怎样的数量关系，并说明理由 ②若点M为BC的中点，连接PM,请用等 (3)在(2)的结论下，若∠BAC=90°，则当BD 式表示PM与AP的数量关系，并证明. 与DE满足怎样的数量关系时，△D'EC是 等腰直角三角形？（直接写出结论，不必 证明) D 第二十八章 69 课课练数学九年级上册 3.如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线4.(1)问题解决：如图1，点P是等边△ABC内 OM上有一点C,将一个60°角的顶点与点C 一点，且PA=3,PB=4,PC=5.将△PAC 重合，它的两条边分别与直线OA,OB相交于 绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB,则 点D,E. 点P与P'之间的距离PP'= (1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时 ∠APB= (如图1)，请猜想0E+0D与OC的数量关 系，并说明理由 (2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直 时，到达图2的位置，（1)中的结论是否成 立？请说明理由 图1 (3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向 (2)类比探究：如图2，点P是正方形ABCD内 延长线相交时，上述结论是否成立？若成 一点，且PA=1,PB=2,PC=3.你能求出 立，请给出证明；若不成立，线段OD,OE ∠APB的度数吗？写出完整的解答过程. 与OC之间又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明： D D 图2 0 E B 0 B 图1 图2 第二十八章 M 0 D EB 图3 (3)迁移运用：如图3，若点P是正方形ABCD 外一点，且PA=5,PB=2,∠APB=45°，则 PC= ·(直接写出答案) D 图3 70中考一点通 15.解：在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD= ∠D=∠ABC=90° ∴.将Rt△ADF绕点A顺时针旋转90°，得 △ABG(取F的对应点为G),如图， 0 G B E 则∠ABG=∠D=90°.又.∠ABC=90°， .∠GBE=180°，即G,B,E三点共线. 由旋转的性质得，BG=DF,AG=AF,∠GAF= 90°， .BE+DF=BE+BG=EG=EF. 又AE=AE, .△AEG≌△AEF, R∠EAG=∠EAF=2∠GAF=45 16.解：如图，过点E作EF⊥AD,交AD的延长 线于点F,过点D作DG⊥BC于点G,则 ∠F=∠DGC=90°. Q 又.ADBC, ∴.∠FDG=90°， 根据旋转及其性质可知，DE=DC, ∠EDC=90°， .∴.∠FDG-∠CDF=∠EDC-∠CDF, 即∠CDG=∠EDF, 在△CDG和△EDF中， r∠CDG=∠EDF, ∠CGD=∠F, DC=DE, ∴.△CDG≌△EDF, 参考答案及解析 .DF=DG=1,EF=CG. 又，∠B=∠ADG=∠DGB=90°， ∴.四边形ABGD为矩形， .AD=BG, .EF=CG=BC-AD=2, .AE=√JEF2+AF2=√16+4=2，W5.】 28.2中心对称 夯实五分钟 1.D2.D3.B4.D 5.(3,2)(-3,-2)（-3,2) 6.线段AB的中点 素养稳提升 7.C8.D9.A10.D11.A 12.413.(1,-3)14.CD 中考一点通 15.12 16.解：（1)如图所示，△ABC1即为所求， 点A1的坐标为(4，-5). 6 -6-5-4-342-10123456x 4 -6 (2)如图所示，△A2BC2即为所求，点A2的 坐标为(-2,1). 强化训练一 旋转和中心对称在生活中的应用 1.A2.B3.D4.A5.A6.D7.D 8.平移 9.解：如图1，将阴影部分三角形沿着AB翻 折，得到△ABC; 如图2，再将△ABC分别绕着AC的中点和 31 课课练数学九年级 上册 BC的中点旋转180°，得到△CDA,△EBC; 如图3，然后将四边形ABED沿着DE翻折， 即可得到四边形OFED; 最后将图3绕着点0旋转180°，即可得到 图4.（答案不唯一） 图1 图2 图3 图4 10.解：(1)如图，四边形A1B,C,D1即为所求； (2)如图，四边形A2B2C2D2即为所求； (3)如图，四边形ABCD与四边形A2B2C2D, 关于原点O成中心对称. M B 0 B 强化训练二 旋转与全等的综合 1.解：(1)BP'=CP.证明如下： 在等边三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=60°， 由旋转可知，AP=AP',∠PAP'=60°， ∴.∠PAP'-∠BAP=∠BAC-∠BAP, 即∠BAP'=∠CAP. 又.AP'=AP,∴.△ABP'≌△ACP(SAS), ∴.BP'=CP (2)①60° ②PM=AP,证明如下： 32 如图，延长PM到点N,使得NM=PM,连 接BN N M为BC的中点，∴.BM=CM, 又，∠PMC=∠NMB, .△PCM≌△NBM(SAS), ∴.CP=BN,∠PCM=∠NBM,∴.BN=BP' :∠BPC=120°，∴.∠PBC+∠PCB=60°， ∴.∠PBC+∠NBM=60°，即∠NBP=60°. :∠ABC+∠ACB=120°， ∴.∠ABP+∠ACP=60°， .∠ABP+∠ABP'=60°， 即∠P'BP=6O°，∴.∠P'BP=∠NBP, .△PNB≌△PP'B(SAS),∴.PN=PP'. AP=AP',∠PAP'=60°， .△PAP'为等边三角形， PP=AP,PN=AP,..PM=2AP. 2.（1)证明：：将△ABD绕点A旋转得到 △ACD',.AD=AD',∠CAD'=∠BAD ,∠BAC=120°，∠DAE=60°， ∴.∠D'AE=∠CAD'+∠CAE=∠BAD+∠CAE= ∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°， .∠DAE=∠D'AE. 又.AE=AE,∴.△ADE≌△AD'E(SAS), ∴.DE=D'E. (2)解：∠DAE=2∠BAC.理由如下： 易知△ADE≌△AD'E(SSS),∴.∠DAE=∠D'AE, ∴.∠BAD+∠CAE=∠CAD'+∠CAE=∠D'AE= ∠DAE,∠DAE=2∠BAC, (3)DE=√2BD. 3.解：(1)·OM是∠AOB的平分线， ∠A0C=∠B0C=2∠A0B=60°， .CD⊥0A,∴.∠ODC=90°， ∴.∠0CD=30°， .∠OCE=∠DCE-∠OCD=30°， ·.∠0EC=90°. 1 在Rt△OCD中，OD=。OC, 2 同理0B=20C, ∴.0D+0E=0C. (2)(1)中结论仍然成立.理由如下： 如图，过点C分别作CF⊥OA于点F,CG⊥ OB于点G, M OEG B ∴.∠0FC=∠0GC=90°. .∠A0B=120°， ∴.∠FCG=60 同(1)的方法得，0F=20C,0G=20C, .∴.0F+0G=0C. :CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平 分线OM上一点， .CF=CG. :∠DCE=60°，∠FCG=60°， ∴.∠DCF=∠ECG, ∴.△CFD≌△CGE,∴.DF=EG, .OF=OD-DF=OD-EG,OG=0E+EG, .OF+0G=OD-EG+OE+EG=OD+0E, ∴.0D+0E=0C. (3)(1)中结论不成立，正确结论为OE- OD=OC. 4.(1)3;150. (2)解：如图，将△PAB绕点B顺时针旋转 90°，使AB与BC重合，连接PP', 参考答案及解析田 则∠PBP'=90°，P'B=PB=2,P'C=PA=1, ∴.△P'BP是等腰直角三角形 由勾股定理得，P'p2=P'B2+PB2=22+2=8, .P'p2+P'C2=PC2, ∴.△P'PC是直角三角形，∠PP'C=90° ,△P'BP是等腰直角三角形， .∠PP'B=45°， ∴.∠BP'C=PP'B+∠PP'C=45°+90°= 135°， ∴.∠APB=∠BP'C=135°. (3)√33. 强化训练三 图案设计 1.C2.C3.B4.A5.B6.B7.B 8.（1)平移 (2)轴对称（或翻折） (3)旋转 9.平移轴对称（或翻折）旋转 10.90 11.(1)③(2)①(3)② 12.解：(1)轴对称. (2)设计的图案如图所示.（答案不唯 一) 13.解：设计的图案如图所示.（答案不唯一） (1) (2) （3) 14.解：(1)中心；轴. (2)设计的图案如图所示.（答案不唯 33