第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（2）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（2） 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）下列命题为假命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量不一定相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】D 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的方向是任意的，它们不一定相等，A正确； 对于B，在正方体中，对角面是矩形，则，B正确； 对于C，空间向量满足，则，C正确； 对于D，空间向量满足，而向量的方向不一定相同，因此向量不一定相等，D错误. 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，点满足，点满足．若四点共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到，整理得，根据题意，将转化为，由四点共面得，解方程即可得出答案. 【详解】由题意可知，，整理得． 因为为平行四边形，点为中点，所以， 又因为点满足，点满足，所以 由四点共面可知，解得． 3．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）若空间向量，满足，则在上投影向量的模的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记，根据已知及向量数量积的运算律得到，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】记，且， 所以，得，即 向量在上投影向量的模为， 由，当且仅当时取等号， 因此投影向量的模的最小值为 4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，先证明平面，得出在平面内的投影向量为，即是在上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 5．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，因此共面，A不是； 对于B，，因此共面，B不是； 对于C，，因此共面，C不是； 对于D，假设共面，显然不共线， 则存在使得，即， 于是共面，与构成空间的一个基底矛盾，假设错误， 因此不共面，D正确. 6．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为基底向量，则， 所以 所以． 7．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）在空间直角坐标系中定义平面的一般方程为（A，B，C，），点到平面的距离，则在底面边长与高均为1的正四棱锥中底面中心O到侧面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出侧面平面方程，再套用题干给出的点到平面距离公式计算． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，设是平面内任意点，， 故平面的方程：， 故到平面的距离为： ． 8．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量，结合数量积的运算律求出二面角的余弦值. 【详解】如图，在矩形中，分别过、作的垂线，垂足记为， 在矩形中，，，. ，所以.同理. ，同理， 所以. 折叠之后，，，， . ，. 所以 得. 设二面角的平面角为，因为与的夹角是. . 得. 所以二面角的余弦值为. 二、多选题 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）下列命题正确的有（     ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若、、是不共线的三个点，存在点，使，则在平面内； D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． 【答案】ACD 【分析】利用空间基底定义、向量共线共面判定、四点共面向量充要条件，结合反证法与举反例，逐一判断四个命题真假． 【详解】对于A，若，不共线，则在空间中取与，都垂直的非零向量， 则可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，所以，A正确； 对于B，当，，时， 显然，，但是，B错误； 对于C，由，得， 化简得，即四点共面，C正确； 对于D，假设共面，即共面， 则由平面向量基本定理可知共面， 与是空间的一个基底矛盾，假设不成立， 所以也是空间的一个基底，D正确． 10．（25-26高二上·广东深圳·期中）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【分析】选项A，根据空间向量模长公式求解；选项B，根据空间向量垂直的坐标表示求解；选项C，向量夹角为钝角说明数量积小于，并且不能是平角；选项D，根据投影向量的公式求解. 【详解】对于选项A，若，则，解得，选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，选项B正确． 对于选项C，若为钝角，则，解得， 且两向量夹角不能是平角，即两向量不共线，则，所以且，选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 11．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（     ） A．存在点，使 B．不存在点，使 C．四面体的体积为定值 D．二面角的余弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由向量即可判断A；由可判断B；由图象可确定到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，从而得到四面体的体积为定值，即可判断C；先表示出二面角的平面角的余弦值，再换元讨论函数单调性，即可求出范围，从而判断D. 【详解】∵正方体的棱长为，为的中点， 为棱上的动点（包含端点）， ∴以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，，， 选项A，当时，，， 即，解得，即存在点，A正确； 选项B，当，，， 即，即，解得， 即存在点，B错误； 选项C，∵在正方体中，为棱上的动点，平面， ∴到平面的距离即是到平面的距离，且为定值， 又， ∴四面体的体积为定值，C正确； 选项D，在正方体中，平面， ∴平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，令， 即，设二面角的平面角为， 则， 令，，则， ∵在上单调递增， ∴当时，是最小值， 当时，是最大值，由图象可以判断，取锐角，故，D正确. 三、填空题 12．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 【答案】0 【详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 13．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若直线与平面相交，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据直线与平面的位置关系结合法向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】当时，或， ，解得， 所以若直线与平面相交，则实数的取值范围为 14．（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在长方体中，，，，点E，F分别在，上，且，，则平面与平面夹角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求面与面的夹角余弦值. 【详解】以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 平面的一个法向量， 设平面的法向量为， ， 则有 令，则，所以. 则， 即平面与平面夹角的余弦值为.    四、解答题 15．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 16．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）四棱锥，底面为平行四边形．H为棱的三等分点，且．设向量，，． (1)用、、表示向量、； (2)点G在上，，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由给定空间向量的基底，结合向量线性运算求解. （2）由（1）中信息，利用四点共面的充要条件列式求解. 【详解】（1）四棱锥的底面为平行四边形，向量， 因此，由， 得， 所以. （2）由（1）得，而， 则，由点平面，四点共面， 因此，解得，所以实数m的值为. 17．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由，，可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因， ， 解得．故． 18．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求解异面直线夹角的余弦值 （2）结合（1），利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，底面为矩形，所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，且为的中点， 则， 所以. 设异面直线与所成的角为， 则. 所以异面直线与所成的角的余弦值为. （2）由（1）知. 设平面的法向量为， 则，即.，令，则， 所以平面的一个法向量为. 又， 设直线与平面所成的角为， 则 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（26-27高二上·河南叶县高中·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据点到直线距离的向量法直接求解即可； （3）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意得，，， 所以点到直线的距离为； （3）由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（2） 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）下列命题为假命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量不一定相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，点满足，点满足．若四点共面，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）若空间向量，满足，则在上投影向量的模的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）在空间直角坐标系中定义平面的一般方程为（A，B，C，），点到平面的距离，则在底面边长与高均为1的正四棱锥中底面中心O到侧面的距离等于（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）下列命题正确的有（     ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若、、是不共线的三个点，存在点，使，则在平面内； D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． 10．（25-26高二上·广东深圳·期中）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 11．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（     ） A．存在点，使 B．不存在点，使 C．四面体的体积为定值 D．二面角的余弦值的取值范围是 三、填空题 12．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 13．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若直线与平面相交，则实数的取值范围为______． 14．（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在长方体中，，，，点E，F分别在，上，且，，则平面与平面夹角的余弦值为__________．    四、解答题 15．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 16．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）四棱锥，底面为平行四边形．H为棱的三等分点，且．设向量，，． (1)用、、表示向量、； (2)点G在上，，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值． 17．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 18．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（26-27高二上·河南叶县高中·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求点到平面的距离. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $