空间向量练习单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

荆门德艺高级中学高二数学空间向量练习单元测试 一、单选题(每题只有一个正确答案，5分/题，共40分) 1．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( ) A． B． C． D．与相交但不垂直 2.已知(2,1,-3)，(-1,2,3)，(7,6,λ)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝( ) A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3 3．在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则( ) A． B． C． D． 4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是( ) A． B． C． D． 5．正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为( ) A． B． C． D． 6．已知空间中三点则下列说法不正确的是( ) A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．与夹角的余弦值是－ C．在上的投影向量的坐标是 D．点A到直线BC的距离为 7．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为( ) A． B． C． D． 二、多选题(每题至少一个为正确答案，6分/题，共18分) 9．给出下列命题，其中正确的有( ) A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是( ) A．平面α的一个法向量为 B．直线l经过点 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l与平面α所成角的正弦值为 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下结论正确的是( ) A．三棱锥的体积是定值 B．存在点，使得平面 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题(5分/题,共15分) 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ___ 13．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 14．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．若直线l上存在点，使直线分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，则的长为 ．   四、解答题(共77分) 15.（13分）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； （第14题图） (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 16．（15分）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. (1)用表示；(2)求对角线的长；(3)求的值. 17．（15分）如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点. (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最小值. 19．（17分）如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆门德艺高级中学高二数学空间向量练习单元测试参考答案 1-4:CBAB 5-8:DDCB 9:BCD 10:ABD 11:ACD 12: 13: 14 :1 8:取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，，所以的最大值为.故选：B 9:由平面的方程为，所以可得平面法向量为，故A正确； 因为直线l是平面与的交线， 所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验： 满足方程，也满足， 故直线l经过点，故B正确； 设直线l的一个方向向量为， 而平面与的法向量分别为， 则有，可得， 令，则，所以，故C错误；, 故直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确； 故选：ABD. 10：由平面的方程为，所以可得平面法向量为，故A正确； 因为直线l是平面与的交线，所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验：满足方程，也满足， 故直线l经过点，故B正确；设直线l的一个方向向量为， 而平面与的法向量分别为， 则有，可得，令，则，所以，故C错误；,故直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确； 故选：ABD. 11.对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于B，设，则， 若存在点，使得平面，则， 解得：不符合，故不存在点，使得平面，故B错误， 对于C，，易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以， 所以，所以， 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故C正确； 对于D， ， 则， 所以，又平面，所以平面，若平面，则，即，即，则，即，如图：取正方体的上底面，建立平面直角坐标系，设直线与交于，线段（不包括端点）即为点的轨迹，由直线方程为，直线方程为，可得，则 故D正确，故选：ACD 14:由题意，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，又E，F分别是PC，PB的中点， 所以，又平面AEF，平面AEF， 所以平面AEF，又平面ABC，且平面与平面， 所以.如图，以为原点，以为轴，以为轴，以过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，设，平面AEF的一个法向量为， 则， 取，则，又，所以，，由题意，，，解得，所以当时，直线分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，即.  15：【答案】(1)的坐标为或；(2)；(3). （1）因为，，所以，因为向量与平行，所以可设，，所以，因为，所以，所以， 所以或，所以的坐标为或； （2）因为，，，所以，， 所以，所以向量在向量上的投影向量，所以； （3）因为，，，所以，， 所以，即，又，所以，所以的面积，所以平行四边形的面积为． 16：(1)(2)(3) （1）连接，，，，，，为线段的中点，， . （2）以顶点为端点的三条棱长都是，，， ，，， 由（1）知：，， ， （3）由（1）（2）知：，， ，， ， . 17：(1)证明见下(2) （1）建立如图所示的空间直角坐标系，               由题设可得：，，，， ，，， ∴，，,            由， ，可得，，                  又∵，平面MNC，∴平面； （2）设的长为则，点，进而得，          设平面的法向量为，因， 则，取得，          ∵，且平面， ∴，即 ，解得，即的长为． 18：(1)略(2)(3)（2）取中点，连接.因为平面，平面，所以.在四边形中，，且，所以四边形为矩形，所以平面.又在和中，，，.所以（）.所以，.故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.当为中点时，，，，，.所以，，.设平面的法向量为， 则，取，可得 故.设平面的法向量为， 则，取，得，得.所以.所以二面角的正弦值为：. （3）设，（），，则，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，取.则到平面的距离为：， 到平面的距离为：，所 设，则那么（当且仅当即时取“”）所以. 19：(1)证明见解析(2)（ⅰ）存在，为线段上靠近点的六等分点；（ⅱ）． （1）证明：因为，且为的中点，所以，． 又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 同理，，且，所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，且，所以平面平面． （2）（ⅰ）取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接． 因为四边形与四边形均为等腰梯形，且，，， 所以，，，，． 在中，，所以，所以． 所以二面角为直二面角，所以平面平面． 又平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以两两垂直． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 因为点是线段上的动点，所以设，所以． 假设存在点使得与垂直，则， 所以，即，解得． 故当时，点为线段上靠近点的六等分点． （ⅱ）设平面的法向量为， 则，令，则，，所以平面的一个法向量为．由（ⅰ）知，．设直线与平面所成角为， 则，易知当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $