第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册 第一章《空间向量与立体几何》单元检测卷 考试范围： 1.1 空间向量及其运算；1.2 空间向量基本定理；1.3 空间向量及其运算的坐标表示；1.4 空间向量的应用（含用空间向量研究距离、夹角问题） 1. 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知空间向量，，则的值为（　　） A. B. C. D. 2.若是空间的一个基底，则下列向量中能与，构成空间另一个基底的是（　　） A. B. C. D. 3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系是（　　） A. B. C. D. 与相交但不垂直 5.在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 6.已知，，且，则的值为（　　） A. B. C. D. 7.在四面体中，是的重心。若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8.如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 1. 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10.在正方体中，下列结论正确的是（　　） A. B. 平面 C. 与所成的角为 D. 二面角的平面角的正切值为 11.在棱长为1的正方体中，点满足，其中。则下列说法正确的是（　　） A. 当时，点在体对角线上 B. 当且时，点在平面上 C. 当，时， D. 当时，点到平面的距离为 1. 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知空间向量，，若，则实数的值为______。 13.在平行六面体中，，，则的长度为______。 14.已知正方体的棱长为2，点为的中点，点在棱上运动，则的最小值为______。 1. 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 已知空间三点，，。 1. 求的值；（4分） 1. 求向量和的坐标；（4分） 1. 求的面积。（5分） 16.（15分） 如图，在正四棱柱中，，，点为的中点。 1. 证明：平面；（7分） 1. 求直线与平面所成角的正弦值。（8分） 17. 在四棱锥中，底面是正方形，平面，，为的中点。 （1）证明：平面；（7分） （2）求二面角的余弦值。（8分） 18.（17分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，且。点在线段上。 1. 证明：平面；（5分） 1. 当为的中点时，求点到平面的距离；（6分） 1. 当时，求平面与平面夹角的余弦值。（6分） 19.（17分） 在棱长为2的正方体中，点是正方体表面上的动点（包括顶点和棱上的点）。 1. 证明：平面；（5分） 1. 若是棱的中点，求点到平面的距离；（5分） 1. 设点在侧面内（含边界），且满足，其中。求的最小值。（7分） 参考答案与详细解析 一、单项选择题 1. A 。 2. C ，，均可由和线性表示，而不能。 3. C 关于平面对称，坐标不变，坐标变为相反数，故对称点为。 4. A ，故，直线方向向量与平面法向量垂直，因此或。需进一步验证上是否存在点在平面上。由于题目只给出方向向量和法向量，未给出直线上的点，通常默认。 5. A 建立空间直角坐标系，设，，，，。平面的法向量：，，法向量。点到平面距离。但验证到平面的距离：平面方程，。所以答案应为，选A。 6. A ，则存在使。由得，则。 7. A ，故，。 8. C 建立坐标系：，，，，，，。，。 二、多项选择题 9. ABD A：，正确。 B：，正确。 C：，错误。 D：。正确。 10. ABD A：，因为平面，而平面，正确。 B：，平面，故平面，正确。 C：与所成角。设正方体棱长为1，，，。，，。，所以所成角为，不是，C错误。 D：二面角。平面的法向量可取，平面的法向量为。，，D正确。 11. ABD A：，则在上（当时），正确。 B：，则在平面上（因为平面的方程是），正确。 C：，则在棱上（），的最小值为到的距离，实际上，，。。，最小值为0（当时）。所以错误。C错误。 D：，则的坐标为，到平面（）的距离为，正确。 所以正确答案为ABD。 三、填空题 12. k=2 。，。验算：，。正确。所以。 13. ，，故。 14. 设，，。，当时最小，。 四、解答题 15. （1），。 （2）。 （3）。。 16. （1）建立坐标系：，，，，，，，，。 ，，。 ，。 因此，，且，所以平面。 （2）。平面的法向量。 。 17. 解答： （1）平面，平面，故。又（正方形），，所以平面。 （2）建立坐标系：，，，，。 平面的法向量：，，法向量（即平面的法向量）。 平面的法向量：，。设，，，得，。取。 。所以二面角为，余弦值为0。 18. （1）建立坐标系：，，，，。 ，，。 ，。故，，，所以平面。 （2）为中点，。平面即平面（）。点到平面的距离为。 （3），。 平面的法向量。 平面的法向量：，。设，，。取，，。。 。 19. （1）（正方形对角线互相垂直），（因为底面，底面）。，所以平面。 （2）为中点，。平面的法向量为，平面方程为。距离。 （3），，，。，且。 ，，。 。 由，，故坐标为，即在平面上？的坐标为2，的坐标为。所以在平面上，即底面所在平面。但在侧面内，侧面的坐标为2（变化）。由。因为在的平面上，故，得，则。 的坐标为，。，当时最小，。 学科网（北京）股份有限公司 $