河南周口市鹿邑县高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

鹿邑县高级中学2026年9月高二数学月考 参考答案 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分： 1.B单位向量是模长为1的向量，方向不一定相同，A错误；长度相等且方向 相反的两个向量是相反向量，所以B正确；AB∥CD,则AB∥CD或者A,B,C,D 共线，C错误：长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，D错误 2.C点(1，-2,3)关于y轴的对称点的坐标为(-1，-2，-3). 3.C:b=-8-2+3x=0,所以x=10 4.D k他-3-名-}，直线的方向向量为1，a),所以kg=a,即a=) 3-12 5.B 不共面的三个向就可以构成空间的一个基底因为aa-)+口-b), 所以a,a+b,a-b共面：因为a+b+c=（a+b)+c,所以a+b,c,a+b+c共面：因 为a2-3a-。)a-b,所以aa-6a-26共面 6.B B,D=-AB+AD-4，所以有BD=(←AB+AD-A4)=AE+AD +A4-2AB:AD-2A4·AD+2AB·A4=9+16+9-24co8∠BAD-24c0s60° +18c0s60°=31-24c0s∠BAD=31,所以c0S∠BAD=0,∠BAD=90°，四边形 ABCD为平行四边形，所以∠ABC=180°-∠BAD=90°. 7.A设P(0,-3),Q(cos0,sinθ)，由三角函数的定义可知，则2在单位圆在y轴 右侧的部分， n93-ke,由图可知，当PO与圆相切时斜率最小，此时PO的 cose 倾斜角与∠PO2相等，O0=1,OP=3,所以PQ=2V2,ke=tan∠PO9=2W2, 所以kpe∈2V2,+∞） 答案第1页（共9页） .3 0 3 P 8A在等腰△ABC中，AW=2,同理CM=2,AN=aB+AC),CM=-AC +号4D,c∠aMC 2xV5xV55,os∠DAC=↓=5 5+5-43 55co8∠D4B=5 5 所以w.cM-〈3号cc-切ac号c而 +ca0555+52555-所 5+4 以o- AN.CM 3 3 N·d 一手所以异面直线4y,CM所成角的余弦值为 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分 9.BD1倾斜角为0时，m+1=1,m=0,A错误；当1斜率不存在，m=-1, BE确；k三心L,k所以当山PO时，C功=1，即一 m+1 m=m+1,该方程无解，即不存在m满足11PQ,C错误；当11PQ时，心=-1， m+1 趣-m=m+山，m=,D正确 10.BCD 设平面ABC的法向量为n=(x,y,)，则n·AB=y-:=0, :AC=-x+y=0,令==1，得n=(1,1,1),A错误：因为DE=1,0,-1),AE=(2,3,0), 所以DE.n=0,AE.n≠0，所以点E不在平面ABC内，所以DE/∥平面ABC, 答案第2页（共9页） B正确；点E到平面ABC的距离d=AEL-5-55,C正确；AD在配上 V33 的投影向量为Ai1m(40,到丽D死证-号Q20-22.0,D正确 BEBE 11.ACD因为OD'⊥AC,OB⊥AC,所以=∠BOD',AC⊥平面BOD',a建立 如图所示的空间直角坐标系，则D'在yO:平面内、且在以O为圆心，2为半径的 圆上运动，则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D'(0,2cos,2sin),所以 EL,cos,sina),F(-1,1,0).当=90°时，E1,0,1),F(-1,1,0)，cos∠EOF= OE.OF 1 OE OF 2 ,∠EOF=120°，所以A正确；因为EF(-2,1-cosa,-sin), AC=(←4,0,0)，EF.AC=8≠0，所以B错误；因为OA=OB=OC=0D'=2,所 以四面体ABCD'的外接球半径为2，所以C正确：BD'=(0,2cosa-2,2sin), AB=(-2,2,0)，所以A到BD'的距离d= AB (AB·BD) BD 16(cosa-1)2 =√6+2cos,cosu∈(-1,1)，可得d∈(2,2√2)，所以D正确 8-8cosa D E A B 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分 12.5因为B(3,4,0),所以0B=V32+42=5. 第二空：[-1，]因为kB=1,k4=-1,PB,PA的 答案第3页（共9页） 饭器价分别为平所以a的取位闲是要 ,k的取值范围是[-1，小。 4’4 备注：仅答对任意一空给3分，两空均对给5分，要特别注意考生书写区间开闭 是否正确，不正确的不给分.第一空答[0°，45U[135°，180)，或者 0°≤a≤45°或135°≤a<180°，或者0≤a≤或3π≤a<元，视为正确作答并集符 4 号写为“逗号、或、和？视为正确作答.第二空答-1≤k≤1视为正确作答 14.VP-m2-n2+2mcos6或VP-m2-n2-2ncos日 EF=EA'+A'A+AF, =(E4+AA+AF=A+AA+AF+2EAAA+2AA:AF+2卫AAF， 设A4'=x,所以1P=m++㎡+2rcos+2xcos+2cos(EA,AF 2 m2+x+n+2mcos(EA,AF），又异面直线ab所成的角为6，所以 (A,AF=8或-日，即1P=m2+x2+n2+2mcos0，或P=m2+x2+n2- 2mcos8,所以x=√P-m2-n2-2ncos6或x=√P-2-n+2mcos0. 备注：填√P-m2-n+2ncos日不给分，填VP-m2-m-2mcos日不给分，填 √P-n2-2±2mcos0视为正确作答 四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.解：(1)设P(x,0),因为P在直线N上，所以kw=aw,.2分 如器品如能香 5-23’ 答案第4页（共9页） 所以子。手解得x子所以P行 .6分 x-2 (2)P在以线段N为直径的圆上，所以PM⊥PW,.......8分 kw≠O,kw≠0，所以keMkeN=-1, 10分 -2 .=0-(-2)=2 x-2’ 55所以之·2=1，解得x=1或6，所以 x-2x-5 P(1,0)或(6,0)…。 ....13分 16解：(1)G为△ABc的重心，即4G=2GE,所以oG-O死+O1,又 o正-o5+oc,所以oc-号oB+5oct号0i-oi+0+号0c. 2 5分 (2）记OA=a,0B=b.0C=c,则oG=a+b+c,所以可得 3 3 3 网-（传+bc)ab+5c+号u6-6e-a0, .7分 ab0a=2x2xo2商以0-4+与41+号3x2,所 3 9 91 d唇 .10分 3)元亚-3a+-小(a-j-a+a-a+-ca+e）=0, 所以OG⊥AB,即OG⊥AB, 12分 ocac-Ga+b小(-a-q-a+ac-ba+be-eae-0,所以 OG⊥AC,即OG⊥AC, 。。。。。。。。。。。。。 ...14分 又AB,ACC平面ABC,AB∩AC=A,所以OG⊥平面ABC..15分 17.(1)证明：连接BC,由题意得DE∥BC1, 3分 DE丈平面BCC,B,BC1C平面BCC,B,所以DE∥平面BCCB, .6分 答案第5页（共9页） E (2)解：因为CA,CB,CC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=2a, 则D(a,a,0)，E(a,0,1)，DE=(0,-a,1)，平面AACC的法向量为 =(0,1,0), .8分 %·DE a a2+1 ..10分 所以a=1, 。。。。。 11分 CD=(1,1,0),平面BCCB的法向量为，=（1,0,0)，所以直线DE到平面BCCB 的距离为 .15分 A A B 18.(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB, BE⊥AB,所以BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC, .2分 又BD⊥AC,BD,BEC平面BDE,BD∩BE=B,所以AC⊥平面BDE..4分 (2)由(1)知：BE⊥平面ABCD,所以AF⊥平面ABCD,所以AB,AD,AF两 答案第6页（共9页） 两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-,5分 则4A0,0,0),E(3,3,0),D(0,0,3),B(3,0,0), .….6分 设A0=1AE(0≤≤1)，所以Q(31,32,0),BP=BD,所以P(3-32,0,3), 7分 PQ2=(3-32-32)2+(0-3)2+(3元-0)2=5422-36+9， 8分 所以当1=20时，P0最小，0装小值为51×兮6兮93，所以P0 2×543 的最小值为√， ...10分 (3)当P0的最小时，=，P(2,0,10,Q11,0), .11分 由(1)知，AC⊥平面BDE,平面BDE的一个法向量为AC=(3,0,3),..12分 AP=(2,0,1),A0=1,1,0),设平面4AP9的法向量为n=(x,,2),则 46.即0，令=2，释=L2 .14分 A9:n=0 所以cos(4C,） AC.n(3,0,3)-(-1,1,2)3√3 0..16分 ACxn9+9x1+1+46W36 设半直0与半自火角为8，w6怎片w子所以0 62 3 .17分 D J P Q E 19.(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos30°， 所以AB=V5,因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥BA, ...1分 答案第7页（共9页） 因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC, .2分 因为PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, .3分 因为AD∥平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以 ADI∥BC, ...4分 所以AD⊥平面PAB,因为PBC平面PAB,所以AD⊥PB. .5分 (2)()证明：如图：过点A作A2⊥PD于点Q,因为平面PAD⊥平面PCD, 平面PAD∩平面PCD=PD,AQC平面PAD,所以AQ⊥平面PCD,因为CDc平 面PCD,所以AQ⊥CD, 7分 又因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AQ=A, PA,AQC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, ….8分 因为ADc平面PAD,所以CD⊥AD. .9分 Q D ..C (ii)由(i)知∠CDA=90°，所以CD2+AD2=4,设AD=m,则CD=n=√4-m, 过点D作z轴平行于PA,建立如图所示的空间直角坐标系D-xz,则D(0,0,O), A(,0,0),C(0,n,0),P(m0,2)’10分 设平面APC的法向量为=(，，)，则 AP=0, 即2-0， AC·=0 一7+州=0令=，可得么=0%m.0),…12分 设平面PCD的法向量为=(x,y,),则 答案第8页（共9页） D严=0，即m=0 DC.=0 即7+2=0令元=2，可得%=2.0m,13分 2n 所以cos(,)= 1儿1：3 2 l×lVm2+m2.V4+m ...14分 √4+m2 设平面APC与平面PCD夹角为6，则sin0 4+2-(4-m2) 2m 4+m 4+m √4+m2 15分 又sn= 4 所以sn6随着m的增大而增大，当m=1时，i血0= 2,当 +1 m=V3时，sin6= 16分 7 √10√42 所以，平面APC与平面PCD夹角正弦值的取值范围为 7 .17分 D B 答案第9页（共9页）鹿邑县高级中学2026年9月高二数学月考试卷 时间：120分钟满分：150分 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试 卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的： 1.下列关于空间向量的命题中，正确的是 A.空间中所有的单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C.若AB∥CD,则A,B,C,D一定在同一条直线上 D.两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2.点(1，-2,3)关于y轴的对称点的坐标为 A.(-1,2,-3) B.(1,2,3) C.(-1,-2,-3) D.(-1,-2,3) 3.已知m=(2,-1,3),b=（-4,2,x),且a⊥b,则x= B.-3 2 c. 0 D.-10 3 4.经过A(1,2),B(3,3)两点的直线的方向向量为(1，a),则a= A.-2 B.2 D. 5.若{a,b,c构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是 A.fa,a+b,a-b B.fa+b,a-b,c C.a+b,c,a+b+c D.a+b,a-b,a+2b 6.已知在平行六面体ABCD-ABC,D,中，AB=3,AD=4,AA=3,B,D=V31, ∠AAB=∠AAD=60°，则∠ABC= A.60° B.90° C.120° D.150° 试卷第1页（共4页) 7.已知8e 2’2 则sim9+3的取值范围是 cos 0 A.2W2,+0） B.[3,+) C.（-0,-2W2 D.（-0,-3] 8.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=DB=DC=√5，AD=BC=2,M,N分别为AD,BC的中 点，则异面直线AN,CM所成角的余弦值为 A. B. √7 4 4 C.vii 4 D.V5 4 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.已知直线1经过A(-1,1),B(m,m+1),P(-2,0,Q(-5,3),则 A.1倾斜角为0时，m=-1 B.1斜率不存在时，=-1 C.存在m满足1⊥PQ D.1WPe时，m=-J 2 10.在空间直角坐标系中，已知A1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),D(2,3,2),E(3,3,1),则 A.平面ABC的一个法向量为n=(-1,-1,1) B.直线DE∥平面ABC C.点E到平面ABC的距离为5V 3 D.向量AD在向量BE上的投影向量的坐标为(2,2,1) 11.正方形ABCD边长为2√2，沿着其对角线AC将点D折叠至D,二面角D-AC-B的平面 角为(0<a<π)，O,E,F分别为AC,AD,BC的中点，则 D A.当=90°时，∠EOF=120° E B.存在a∈(0，π)，使得EF⊥AC F C.四面体ABCD的外接球半径不变 B D.A到BD的距离的取值范围是(2,2W2) 试卷第2页（共4页) 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分 12.已知点B是A(3,4,5)在平面xOy内的射影，则OB= 13.过P(0,1)作直线1，若直线1与连接A(2,-1),B(3,4)两点的线段总有公共点，直线1的倾斜角 为a、斜率为k,则au的取值范围是 ,飞的取值范围是 14.两条异面直线a,b所成的角为日，点A',E在直线a上，点A,F在直线b上，且 AA'⊥a,AA'⊥b,A'E=,AF=n,EF=1,则AA'= .(写出所有可能，用mn,l,θ 表示) A'm A n -b 四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15.(13分) 已知M(2,2),N(5,-2),P在x轴上，求满足以下条件的P的坐标： (1)P在直线N上： (2)P在以线段W为直径的圆上. 16.(15分) 如图，已知四面体OABC的所有棱长均为2，E为BC的中点，G为△ABC的重心. (1)用OA,OB,OC表示OG: (2)求od: G (3)证明：OG⊥平面ABC. 试卷第3页（共4页） 17.（15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，∠ACB=90°，AC=BC, D,E分别为AB,AC的中点. B E (1)证明：DE∥平面BCCB; (2)设CC=2,直线DE与平面ACC,A所成的角为45°，求直 B 线DE到平面BCC,B,的距离. 18.（17分) D 已知四边形ABCD和ABEF均为边长为3的正方形，且 平面ABCD⊥平面ABEF,P,Q分别在线段BD,AE上， C 且BP=AQ A P: (1)证明：AC⊥平面BDE; Q (2)求PQ的最小值： B E (3)当PO最小时，证明：平面APQ与平面BDE夹角大于 3 19.（17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2, BC=1,∠BAC=30 (1)若AD∥平面PBC.证明：AD⊥PB; 、D (2)若平面PAD⊥平面PCD, (i)证明：CD⊥AD: (ii)若1≤AD≤√5，求平面APC与平面PCD夹角的正弦值的 B 取值范围。 试卷第4页（共4页）