2026-2027学年湘教版八年级数学上册期中培优测试【第1—3章】

八年级数学（湘教版）上学期期中培优测试 考查范围：第1—3章 （考试时间 120 分钟　　满分 120 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分。） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若分式 的值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若二次根式 有意义，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D．不能确定 8．若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9．某饮料店规定：每 个空瓶可以换 瓶汽水，并且允许最后不足 个空瓶时先借 个空瓶去换，喝完后再把空瓶归还．小明买了 瓶汽水，他最多能喝到（　　）瓶汽水． A． B． C． D． 10．已知 ，则正整数 的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题　（每小题 3 分，共 18 分。） 11．因式分解： ＿＿＿＿． 12．请你写出一个只含字母 的分式，使它同时满足：①当 时没有意义；②当 时值为 ．你写出的分式是 ＿＿＿． 13．若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是 ＿＿＿＿． 14．已知 ，则 的值为 ＿＿＿＿． 15．若分式 的值为整数，且 为正整数，则 的所有可能取值是 ＿＿＿＿． 16．观察：，，…，若 ，则 ＿＿＿＿． 三、解答题　（本大题共 9 小题，共 72 分。） 解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 17. （6分）把下列各式因式分解： (1) ； (2) ； 18. （6分）计算： (1) ； (2) ． 19. （6分）先化简，再求值：，并从 、、、 中选一个合适的数作为 的值代入求值． 20. （8分）解下列分式方程： (1) (2) 21. （8分）某饮料店规定：每 个空瓶可以换 瓶汽水（换来的汽水喝完后，空瓶仍可继续参与兑换）． (1) 小明买了 瓶汽水，喝完后再用空瓶去换，他一共能喝到多少瓶汽水？ (2) 若小明一共喝到 瓶汽水，则他最初至少买了多少瓶？ (3) 若该店把规则改为“每 个空瓶换 瓶”，小明买 瓶，一共能喝到多少瓶？并直接写出：每 个空瓶换 瓶时，买 瓶一共能喝到的瓶数（用含 的式子表示）． 22. （8分）甲、乙两个工程队修同一条公路，甲队每天比乙队多修 米．已知甲队修 米所用的时间与乙队修 米所用的时间相同，求甲、乙两队每天各修多少米． 23. （8分）已知 ，． (1) 分别化简 、，并求 的值； (2) 求 及 的值； (3) 求 的值． 24. （10分）若一个分式的分子与分母都是整式，且分子的次数小于分母的次数，则称这个分式为“真分式”．例如 、 都是真分式． (1) 判断 是否为真分式，并说明理由； (2) 把 化成“整式与真分式之和”的形式； (3) 已知 的值为整数，且 为整数，求所有满足条件的 的值的个数． 25. （12分）（1）如图，在一个边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形（），把剩余部分沿虚线剪开，可以拼成一个长方形．请分别用两种方法表示剩余部分的面积，由此说明等式 ； (2) 已知实数 、、 满足 ，求 的值； (3) 若 的三边长 、、 满足 ，求 的周长； (4) 已知实数 、 满足 ，求 的值． 参考答案 一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．B 二、填空题 11． 12．（答案不唯一，如 等均可） 13． 且 14． 15． 和 16． 三、解答题 17．解：（1）原式 （3分）． （2）原式 （3分）． 18．解：（1）原式 （2分） （1分）． （2）原式 （2分） （1分）． 19．解：原式 （2分） （1分） （1分）． 要使原式有意义，必须 ， 且 ， 即 ，，，所以所给的四个数中只能取 （1分）． 当 时，原式 （1分）． 20．解：（1）去分母，得 （1分）， 去括号，得 （1分）， 移项、合并同类项，得 （1分）． 检验：当 时，，所以原方程的解为 （1分）． （2）方程两边同乘 ，得 （1分）， 去括号，得 （1分）， 整理得 ，解得 （1分）． 检验：当 时，，所以 是原方程的增根，原方程无解（1分）． 21．解：（1） 个空瓶可换 瓶，喝完得 个空瓶； 个空瓶可换 瓶，喝完得 个空瓶，不足 个不能再换． 所以一共喝到 瓶（3分）． 答：一共能喝到 瓶汽水． （2）设最初买了 瓶，一共喝到 瓶，则用空瓶换来的有 瓶． 每换 瓶，空瓶净减少 个，设最后剩余空瓶数为 （）， 则 ，即 ． 因为 为整数且 ，只有当 时 ，得 （2分）． 答：他最初至少买了 瓶． （3） 个空瓶可换 瓶，喝完得 个空瓶，不足 个不能再换， 所以一共喝到 瓶（2分）． 买 瓶一共能喝到 瓶（1分）． 22．解：设乙队每天修 米，则甲队每天修 米（1分）． 根据题意，得 （2分）． 方程两边同乘 ，得 （1分）， 去括号，得 （1分）， 移项、合并同类项，得 ，解得 （1分）． 检验：当 时，，且甲用 天、乙用 天，符合题意（1分）． 所以 ． 答：甲队每天修 米，乙队每天修 米（1分）． 23．解：（1）（1分）， （1分）． 所以 （1分）． （2）（1分）， （2分）． （3）（1分）， 所以 （1分）． 24．解：（1）是真分式（1分）． 理由：分子的次数是 ，分母的次数是 ，因为 ，符合真分式的定义（2分）． （2）因为 （2分）， 所以 （1分）． 即化成整式 与真分式 之和． （3）因为 （2分）， 所以 （1分）． 要使该分式的值为整数，只需 为整数， 即 是 的约数，所以 ，，，， 解得 ，共 个（1分）． 答：满足条件的 的值共有 个． 25．解：（1）方法一：剩余部分的面积为 （1分）； 方法二：剪拼后长方形的长为 、宽为 ，面积为 （1分）． 因为两种方法表示的是同一个图形的面积， 所以 （1分）． （2）原等式可化为 ， 即 （2分）． 因为 ，，， 所以 ，，，故 （1分）． （3）原等式可化为 （2分）， 所以 ，，，周长为 （1分）． （4）原等式可化为 （1分）， 即 （1分）． 所以 ，，故 （1分）． 学科网（北京）股份有限公司 $