2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟试卷

2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷 一．选择题（共10小题） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若一个等腰三角形的顶角为38°，则它的底角为（　　） A．70° B．71° C．72° D．73° 3．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 4．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 5．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为27，则BC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．如图折叠直角三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上（折痕为AD，点C落到点E处），已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，∠B＝42°，则∠C+∠D+∠E+∠A的度数为（　　） A．222° B．228° C．232° D．238° 9．如图1，将一个底边为a+b，高为a﹣b的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 10．如图，已知△ABC，分别以AB，AC为边作等腰Rt△AEB和等腰Rt△AFC，∠EAB＝∠FAC＝90°，连接EF，点H为EF的中点，连接HA并延长交BC于点G，若AH＝2，AG＝5，则△AEH的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 二．填空题（共6小题） 11．将点A（1，2）向左平移2个单位长度得点A'，则点A'关于y轴对称的点的坐标是__________ ． 12．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝100°，则∠1＝________ °． 13．已知三角形三边长分别为2，3，x，则写出所有符合条件的整数x的值 __________ ． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AC于点E，连接DE，若∠BAC＝80°，则∠CDE＝_______ °． 15．如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，下列结论正确的是________ ． ①； ②∠DAB+∠DCB＝180°； ③CD＝CB； ④AD＝AE； ⑤S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC． 16．如图，正方形ABCD的边长为，E为AB上一点，且，F为BC边上的一个动点，连接EF，以EF为边向左侧作等腰Rt△FEG，EG＝EF，∠GEF＝90°，连接AG，则AG的最小值为 ____________________ ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．求证：AB∥CD． 18．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线和高线． （1）若AF＝2，S△ABD＝3，求DC的长； （2）若∠B＝30°，∠C＝54°，求∠EAF的度数． 19．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 20．已知，如图四边形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝DC． （1）尺规作图：作∠BCD的角平分线交AB于点E，连接DE（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：CE⊥DE． 21．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（本题共2问，每问不超过5条线） （1）在图1中，①画出△ABC的中线AE； ②在AC上找一点F，使∠ABF＝45°； （2）在图2中，①作射线CQ，使得CA为∠BCQ的角平分线； ②P是BC上一点，在AC上找一点H，使PH⊥AC． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BC＝8cm，D为AB的中点，动点E从点C开始沿射线CB方向以2cm/s的速度运动． （1）如图1，当点E在BC边上运动时，过点D作DE的垂线交直线AC于点F，试探究线段CE，AF之间的数量关系，请写出结论并证明； （2）动点P也同时从点C开始在直线AC上以1cm/s的速度向远离C点的方向运动，分别连接DC，DE，DP．设动点E的运动时间为ts，则当t为何值时，△DCP与△DBE全等？ 23．当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】（1）如图1，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，则BC边上的中线AD的取值范围是___________ ； 【尝试运用】（2）如图2，AB∥CE，点D为BC中点，点F在DA的延长线上，∠DAB＝∠F，若AB＝8，CE＝2，求EF的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，BE＝AC，AE＝BD，若∠CAD＝α，则∠DBE的大小是__________ （角含α的式子表示）． 24．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图1，若A（4，0），C（0，2），则B点的坐标为____________ ； （2）如图2，BD垂直x轴于D点，判断BD、OA、OD的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点A的坐标为（6，0），点C在y轴的正半轴上运动时，分别以OC，AC为边如图作等腰Rt△OCF和等腰Rt△ACE，其中∠OCF＝90°，∠ACE＝90°，连接EF交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．若一个等腰三角形的顶角为38°，则它的底角为（　　） A．70° B．71° C．72° D．73° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角为38°， ∴它的底角为， 故选：B． 【点评】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用． 3．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【分析】根据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， 解得：∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 4．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是ASA， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 5．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 【分析】由全等三角形的对应角相等，即可求解． 【解答】解：∵图中的两个三角形全等， ∴∠1＝180°﹣50°﹣72°＝58°． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为27，则BC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】先根据线段垂直平分线性质得AD＝BD，则AC＝BD+CD＝15，再根据△DBC的周长为27得BD+CD+BC＝27，由此可得出BC的长． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵AB＝AC＝15， ∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝15， ∵△DBC的周长为27， ∴BD+CD+BC＝27， ∴15+BC＝27， ∴BC＝12． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段的距离相等是解决问题的关键． 7．如图折叠直角三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上（折痕为AD，点C落到点E处），已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求CD，进而可以解决问题． 【解答】解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴由勾股定理逆定理得：∠ACB＝90°． 由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°． ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得， DE2+BE2＝BD2 即CD2+42＝（8﹣CD）2， 解得：CD＝3． ∴BD＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 8．如图，∠B＝42°，则∠C+∠D+∠E+∠A的度数为（　　） A．222° B．228° C．232° D．238° 【分析】根据三角形外角的性质得出∠AFG＝∠E+∠A，∠CGF＝∠C+∠D，根据三角形内角和定理求出∠BGF+∠BFG的度数，即可求出∠AFG+∠CGF的度数，即可得解． 【解答】解：如图， ∵∠AFG是△AEF的一个外角， ∴∠AFG＝∠E+∠A， ∵∠CGF是△CDG的一个外角， ∴∠CGF＝∠C+∠D， ∵∠B＝42°， ∴∠BGF+∠BFG＝180°﹣∠B＝180°﹣42°＝138°， ∴∠AFG+∠CGF＝360°﹣（∠BGF+∠BFG）＝360°﹣138°＝222°， ∴∠C+∠D+∠E+∠A＝222°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 9．如图1，将一个底边为a+b，高为a﹣b的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【分析】根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【解答】解：图1面积为：（a+b）（a﹣b）， 图2面积为：a2﹣b2， 综上所述，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，掌握相应的定义是关键． 10．如图，已知△ABC，分别以AB，AC为边作等腰Rt△AEB和等腰Rt△AFC，∠EAB＝∠FAC＝90°，连接EF，点H为EF的中点，连接HA并延长交BC于点G，若AH＝2，AG＝5，则△AEH的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】延长AH至点D，使AH＝DH，连接FD，证明△FHD≌△EAH，得到AE＝DF，∠AEF＝∠DFH，再证明△DFA≌△BAC，得到BC＝AD＝2AH，∠FAD＝∠BCA，证明AG⊥BC，求出△ABC的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可． 【解答】解：延长AH至点D，使AH＝DH，连接FD，则AD＝2AH＝4， ∵H为EF的中点， ∴EH＝FH，， 又∵∠FHD＝∠EHA， 在△FHD和△EAH中， ， ∴△FHD≌△EAH（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEF＝∠DFH，S△FHD＝S△EAH， ∴∠AFE+∠DFH＝∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠EAF，即∠DFA+∠EAF＝180°， S△FHD+S△AFH＝S△EAH+S△AFH，即S△AEF＝S△AFD； ∵等腰Rt△AEB和等腰Rt△AFC，∠EAB＝∠FAC＝90°， ∴AB＝AE，AC＝AF，∠EAF+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴AB＝DF，∠BAC＝∠DFA， ∴△DFA≌△BAC， ∴BC＝AD＝4，∠FAD＝∠BCA，S△DFA＝S△BAC， ∴∠CAG+∠ACB＝∠CAG+∠FAD＝180°﹣∠FAC＝90°， ∴∠AGC＝90°，即AG⊥BC， ∴， ∴S△AEF＝S△AFD＝10， ∴； 故选：A． 【点评】本题考查等腰三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．将点A（1，2）向左平移2个单位长度得点A'，则点A'关于y轴对称的点的坐标是　（1，2）　 ． 【分析】先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解． 【解答】解：∵将点A（1，2）沿x轴向左平移2个单位长度得到点A′， ∴点A′的坐标为（﹣1，2）， ∴点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移及对称的性质；用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标，右加左减． 12．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝100°，则∠1＝　140　 °． 【分析】由平行线的性质推出∠C＝∠A＝40°，由三角形的外角性质得到∠1＝∠D+∠C＝140°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠A＝40°， ∵∠D＝100°， ∴∠1＝∠D+∠C＝140°． 故答案为：140． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行内错角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 13．已知三角形三边长分别为2，3，x，则写出所有符合条件的整数x的值 　2，3，4　 ． 【分析】利用三角形的三边关系求解． 【解答】解：由题意3﹣2＜x＜2+3， ∴1＜x＜5， ∴整数x的值为2，3，4． 故答案为：2、3、4． 【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是判断出x的取值范围． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AC于点E，连接DE，若∠BAC＝80°，则∠CDE＝　20　 °． 【分析】由等腰三角形的性质得∠CAD∠BAC＝40°，再由以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AC于点E得AD＝AE，再根据三角形内角和定理求出∠ADE＝70°，即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的中线，即AD为△ABC的角平分线， ∴∠CAD∠BAC＝40°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣40°）＝70°， ∵AB＝AC，AD为△ABC的中线，即AD为△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDE＝20°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 15．如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，下列结论正确的是　①②③　 ． ①； ②∠DAB+∠DCB＝180°； ③CD＝CB； ④AD＝AE； ⑤S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC． 【分析】证明Rt△ACF≌Rt△ACE，得AF＝AE，进而得出DF＝BE，则AB+AD＝AE+BE+AF﹣DF＝2AE，判断①正确；再证明△DCF≌△BCE，得CD＝CB，∠CDF＝∠B，判断③正确；进而由∠ADC+∠CDF＝180°，得∠ADC+∠B＝180°，则∠DAB+∠DCB＝180°，判断②正确；然后由AD＜AF，AE＝AF，判断④错误；最后由三角形面积关系得S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，判断⑤错误；即可得出结论． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F， ∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于E， ∴CF＝CE，∠F＝∠AEC＝∠BEC＝90°， 在Rt△ACF和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AF＝AE， ∴AD+DF＝AB﹣BE， ∴AB＝AD+DF+BE， ∵AB＝AD+2BE， ∴DF+BE＝2BE， ∴DF＝BE， ∴AB+AD＝AE+BE+AF﹣DF＝AE+AF＝2AE， ∴AE（AB+AD），故①正确； 在△DCF和△BCE中， ， ∴△DCF≌△BCE（SAS）， ∴CD＝CB，∠CDF＝∠B，故③正确； ∵∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°，故②正确； ∵AD＜AF，AE＝AF， ∴AD＜AE，故④错误； ∵AF＝AE，DF＝BE，CF＝CE， ∴S△ACE﹣S△BCE CE•AECE•BE CE（AE﹣BE） CF（AF﹣DF） CF•AD ＝S△ADC，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【点评】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 16．如图，正方形ABCD的边长为，E为AB上一点，且，F为BC边上的一个动点，连接EF，以EF为边向左侧作等腰Rt△FEG，EG＝EF，∠GEF＝90°，连接AG，则AG的最小值为 　　 ． 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS“可证△GEH≌△FEB，可得GH＝BE，可得点G在平行AB且到AB距离为的直线MN上运动，则当AG⊥MN时，AG有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90°， ∵AE，AB， ∴BE， ∵∠GHE＝∠B＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEB＝90°， ∴∠EGH＝∠FEB， 又∵GE＝EF， ∴△GEH≌△FEB（AAS）， ∴GH＝BE， ∴点G在平行AB且到AB距离为的直线MN上运动， 当AG⊥MN时，AG有最小值， ∴AG的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定点G的运动轨迹是本题的关键 三．解答题（共8小题） 17．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．求证：AB∥CD． 【分析】由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠DEC＝∠AFB＝90°，根据直角三角形全等的判定定理HL即可证出Rt△DEC≌Rt△BFA，得到∠C＝∠A，根据平行线的判定即可推出AB∥CD． 【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC＝∠AFB＝90°， ∵在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴∠C＝∠A， ∴AB∥CD． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，解此题的关键是证出∠C＝∠A． 18．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线和高线． （1）若AF＝2，S△ABD＝3，求DC的长； （2）若∠B＝30°，∠C＝54°，求∠EAF的度数． 【分析】（1）由中线和高线的定义得出DC＝BD，S△ABDBD•AF，即可得出结果； （2）由三角形内角和定理得出∠BAC＝96°，再由角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE∠BAC＝48°，然后求出∠CAF＝36°，即可得出结果． 【解答】解：（1）AD、AF分别是△ABC的中线和高线， ∴DC＝BD，S△ABDBD•AF， ∴BD•AF＝3， ∴BD3， ∴DC＝3； （2）∵∠B＝30°，∠C＝54°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣54°＝96°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC96°＝48°， ∵AF是△ABC的高，即∠AFC＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣54°＝36°， ∴∠EAF＝∠CAE﹣∠CAF＝48°﹣36°＝12°． 【点评】本题考查了三角形的面积、三角形的中线和角平分线以及高、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形的中线和角平分线以及高的定义是解题的关键． 19．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD． 【解答】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质． 20．已知，如图四边形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝DC． （1）尺规作图：作∠BCD的角平分线交AB于点E，连接DE（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：CE⊥DE． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）延长CB至点F，使BF＝AD，连接EF，证明△CFE≌△CDE，可得∠F＝∠CDE，由平行线的性质得∠ADC+∠BCD＝180°，∠ADE＝∠F，则∠ADE＝∠CDE，可得2∠CDE+2∠DCE＝180°，进而可得∠CED＝90°，即CE⊥DE． 【解答】（1）解：如图，射线CE即为所求． （2）证明：延长CB至点F，使BF＝AD，连接EF， ∵AD+BC＝DC． ∴BF+BC＝CF＝CD． ∵CE为∠BCD的平分线， ∵∠FCE＝∠DCE， ∵CE＝CE， ∴△CFE≌△CDE（SAS）， ∴∠F＝∠CDE． ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°，∠ADE＝∠F， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴2∠CDE+2∠DCE＝180°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠CED＝90°， 即CE⊥DE． 【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（本题共2问，每问不超过5条线） （1）在图1中，①画出△ABC的中线AE； ②在AC上找一点F，使∠ABF＝45°； （2）在图2中，①作射线CQ，使得CA为∠BCQ的角平分线； ②P是BC上一点，在AC上找一点H，使PH⊥AC． 【分析】（1）①取格点J，K，连接JK交BC于点E，连接AE，线段AE即为所求； ②构造等腰直角三角形ABF即可； （2）①构造等腰三角形BCQ，作射线CQ即可； ②连接PQ交AC于点J，连接BJ，延长BJ交CQ于点K，连接PK交AC于点H，点H即为所求． 【解答】解：（1）①如图，线段AE即为所求； ②如图，点F即为所求； （2）①如图，射线CQ即为所求； ②如图，点H即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BC＝8cm，D为AB的中点，动点E从点C开始沿射线CB方向以2cm/s的速度运动． （1）如图1，当点E在BC边上运动时，过点D作DE的垂线交直线AC于点F，试探究线段CE，AF之间的数量关系，请写出结论并证明； （2）动点P也同时从点C开始在直线AC上以1cm/s的速度向远离C点的方向运动，分别连接DC，DE，DP．设动点E的运动时间为ts，则当t为何值时，△DCP与△DBE全等？ 【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形性质得∠A＝∠ABC＝∠DCE＝45°，CD⊥AB，CD＝AD＝BD，在根据DF⊥DE可得∠CDE＝∠ADF，由此可依据“ASA”判定△CDE和△ADF全等，然后根据全等三角形的性质可得出线段CE，AF之间的数量关系； （2）依题意有以下两种情况：①当点P在直线AC上沿AC方向运动时，设点M为AC延长线上的点，N为CB延长线上的点，先求出∠DCM＝∠DBN＝135°，再根据CD＝BD，点P在AC的延长线上，得△DCP与△DBE全等时，点E在CB的延长线上，此时CP＝BE，然后根据点E，P的运动速度和时间得CE＝2tcm，CP＝tcm，则BE＝CE﹣BC＝（2t﹣8）cm，最后根据CP＝BE可求出t的值；当点P在直线上沿CA方向运动时，②根据CD＝DB，∠DCP＝∠DBE＝45°得当CP＝BE时，△DCP≌△DBE，依题意得CP＝tcm，CE＝2tcm则BE＝（8﹣2t）cm，进而得t＝8﹣2t，由可得t的值，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）线段CE，AF之间的数量关系是：CE＝AF，证明如下： 连接CD，如图1所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点， ∴∠A＝∠ABC＝45°，CD⊥AB，CD＝AD＝BD， ∴∠DCE＝∠A＝∠ABC＝45°，∠ADF+∠CDF＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠CDE+∠CDF＝90°， ∴∠CDE＝∠ADF， 在△CDE和△ADF中， ， ∴△CDE≌△ADF（ASA）， ∴CE＝AF； （2）依题意有以下两种情况： ①当点P在直线AC上沿AC方向运动时， 设点M为AC延长线上的点，N为CB延长线上的点，如图2所示： ∵∠ACB＝90°，CD＝BD，∠DCB＝∠ABC＝45°， ∴∠BCM＝90°， ∴∠DCM＝∠DCB+∠BCM＝45°+90°＝135°， ∵∠DBN＝180°﹣∠ABC＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DCM＝∠DBN＝135°， 又∵CD＝BD，点P在AC的延长线上， ∴当△DCP与△DBE全等时，点E在CB的延长线上， 此时CP＝BE， 根据点E，P的运动速度和时间得：CE＝2tcm，CP＝tcm， ∵AC＝BC＝8cm， ∴BE＝CE﹣BC＝（2t﹣8）cm， ∴t＝2t﹣8， 解得：t＝8（s）， ②当点P在直线上沿CA方向运动时，如图3所示： ∴CD＝DB，∠DCP＝∠DBE＝45°， ∴当CP＝BE时，△DCP≌△DBE， 依题意得：CP＝tcm，CE＝2tcm， ∴BE＝BC﹣CE＝（8﹣2t）cm， ∴当CP＝BE时，t＝8﹣2t， 解得：t（s）， ∴当t为8或s时，△DCP与△DBE全等． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 23．当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】（1）如图1，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，则BC边上的中线AD的取值范围是　1＜AD＜6　 ； 【尝试运用】（2）如图2，AB∥CE，点D为BC中点，点F在DA的延长线上，∠DAB＝∠F，若AB＝8，CE＝2，求EF的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，BE＝AC，AE＝BD，若∠CAD＝α，则∠DBE的大小是　60°﹣α　 （角含α的式子表示）． 【分析】（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，根据SAS可证△ABD≌△ECD，得AB＝CE＝7，再由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长CE，交AD的延长线于点G，证明△ADB≌△GDC（ASA），得出∠DAB＝∠G，CG＝AB＝8，则可得出答案； （3）延长AD至点N，使得DN＝AD，在DN上取点M，使得MN＝DE，连接BN，BM，由（1）知△ADC≌△MDB（SAS），得出∠CAD＝∠BMD，AC＝BM，证明△BDE≌△BNM（SAS），得出BN＝BD，DE＝NB，证明△BDN是等边三角形，得出∠DBE＝∠BDM﹣∠BED＝60°﹣α． 【解答】解：（1）如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝CE＝7， 在△ACE中，由三角形三边关系得CE﹣AC＜AE＜AC+CE， ∴7﹣5＜AE＜5+7， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6， 故答案为：1＜AD＜6． （2）延长CE，交AD的延长线于点G， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CE， ∴∠B＝∠DCG， ∵∠ADB＝∠GDC， 在△ADB和△GDC中， ， ∴△ADB≌△GDC（ASA）， ∴∠DAB＝∠G，CG＝AB＝8， ∵CE＝2， ∴GE＝CG﹣CE＝8﹣2＝6， ∵∠DAB＝∠F， ∴∠G＝∠F， ∴EF＝GE＝6； （3）如图，延长AD至点N，使得DN＝AD，在DN上取点M，使得MN＝DE，连接BN，BM， 由（1）知△ADC≌△MDB（SAS）， ∴∠CAD＝∠BMD，AC＝BM， ∵AC＝BE， ∴BM＝BE， ∴∠M＝∠BED＝∠CAD＝α， 在△BDE和△BNM中， ， ∴△BDE≌△BNM（SAS）， ∴BN＝BD，DE＝NB， ∵AD＝DM， ∴AD﹣DE＝MD﹣MN， ∴AE＝DN， ∵AE＝DB， ∴BD＝DN＝BN， ∴△BDN是等边三角形， ∴∠DBE＝∠BDM﹣∠BED＝60°﹣α， 即∠DBE的大小是60°﹣α． 故答案为：60°﹣α． 【点评】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等是解题的关键． 24．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图1，若A（4，0），C（0，2），则B点的坐标为　（﹣2，﹣2）　 ； （2）如图2，BD垂直x轴于D点，判断BD、OA、OD的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点A的坐标为（6，0），点C在y轴的正半轴上运动时，分别以OC，AC为边如图作等腰Rt△OCF和等腰Rt△ACE，其中∠OCF＝90°，∠ACE＝90°，连接EF交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 【分析】（1）过点B作BG⊥y轴于G，易证△AOC≌△CGB，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）如图2，过点C作CH⊥CD，交x轴于H，证明△BCD≌△ACH（ASA），△CDH是等腰直角三角形，最后由线段的和差即可解答； （3）作EG⊥y轴，易证△PCF≌△PGE（AAS），求PC＝3，PF＝PE，代入所求式即可解答． 【解答】解：（1）∵A（4，0），C（0，2）， ∴OA＝4，OC＝2， 如图1，过点B作BG⊥y轴于G， ∴∠BGC＝90°＝∠AOC， ∴∠CBG+∠BCG＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCG+∠ACO＝90°， ∴∠CBG＝∠ACO， ∵AC＝BC， ∴△AOC≌△CGB（AAS）， ∴CG＝OA＝4，BG＝OC＝2， ∴OG＝CG﹣OC＝4﹣2＝2， ∴B（﹣2，﹣2）； 故答案为：（﹣2，﹣2）； （2）BD＝OA﹣OD，证明如下： 如图2，过点C作CH⊥CD，交x轴于H， ∴∠DCH＝90°＝∠ACB， ∴∠DCB＝∠HCA， ∵BD⊥x轴，OC⊥x轴， ∴BD∥OC， ∴∠DBC＝∠BCO， ∵∠BCO+∠ACO＝∠ACO+∠OAC， ∴∠BCO＝∠OAC， ∴∠DBC＝∠OAC， ∵AC＝BC， ∴△BCD≌△ACH（ASA）， ∴BD＝AH，CH＝CD， ∴△CDH是等腰直角三角形， ∴OC⊥DH， ∴OD＝OH， ∴OA﹣OD＝OA﹣OH＝AH＝BD， ∴BD＝OA﹣OD； （3）当点C在y轴上移动时，的值不变， 如图3，过点E作EG⊥y轴于G， 由（1）同理得：△AOC≌△CGB， ∴CG＝OA＝6，OC＝EG＝CF， ∵∠PCF＝∠PGE＝90°，∠CPF＝∠EPG， ∴△PCF≌△PGE（AAS）， ∴PC＝PGCG＝3，PF＝PE， ∴， ∴． 【点评】本题为三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标和图形的性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/21 19:38:39；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $