7.3万有引力理论的成就五种题型 专项训练 -2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

7.3万有引力理论的成就五种题型 题型一　称量天体质量的思想方法 【解题技巧】称量天体质量的基本思路是找“桥梁”：借天体对可见物体的引力来计算。对地球，选地面上的物体，由 mg＝GMm/R² 得 M＝gR²/G；对太阳或其他行星，选绕它运动的行星或卫星，由万有引力提供向心力得 M＝4π²r³/(GT²)。求密度再用 ρ＝3M/(4πR³)。注意：换用不同行星算太阳质量结果相同，因质量只由太阳决定；表面法不适用于测不出表面 g 的天体。 1．利用万有引力定律“称量”地球的质量时，我们应该选择哪个物体作为研究对象？运用到哪些物理规律？需要忽略的次要因素是什么？ 2．若已知地球表面重力加速度g，地球半径R和引力常量G，如何“称量”地球的质量？ 3．如何根据已知条件计算地球的密度？ 4．“称量”地球质量和计算地球密度的方法，对其他天体是否适用？ 如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动。 5．能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳的质量吗？为什么？ 6．不同的行星，r和T各不相同，选择不同行星计算出来的太阳质量是否相同？能否用计算太阳质量的方法计算行星或者卫星的质量？为什么？ 题型二　轨道参量法：万有引力提供向心力 【解题技巧】已知卫星轨道半径 r 与周期 T（或线速度 v、角速度 ω）求中心天体质量，核心方程是 GMm/r²＝mv²/r＝mω²r＝4π²mr/T²，解得 M＝4π²r³/(GT²)＝rv²/G。注意 r 是到球心的距离，高度 h 要换成 r＝R＋h；求表面 g 用黄金代换 GM＝gR²；求密度用 ρ＝3M/(4πR³)。椭圆轨道取半长轴，同一中心天体 a³/T² 为定值。 1．北京时间2024年1月11日11时52分，我国成功发射天行一号02星，该卫星主要用于开展空间环境探测等试验。若天行一号02星绕地飞行阶段的轨道近似为圆形，运行轨道半径为r，地球的半径为R，周期为T，引力常量为G，忽略其他天体对天行一号02星的引力影响。求： (1)地球的质量M； (2)地球表面的重力加速度g。 2．2021年10月16日，我国发射了神舟十三号载人飞船，与空间站组合体完成自主快速交会对接，为我国空间站后续建造任务奠定基础。已知神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行可视为匀速圆周运动，它们飞行n圈所用时间为t。已知它们的总质量为m，距地面的高度为h，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力的大小F； （2）地球的质量M； （3）地球表面的重力加速度g。 3．若已知火星半径为R，2021年2月，我国发射的火星探测器“天问一号”在距火星表面高为R的圆轨道上飞行，周期为T，引力常量为G，不考虑火星的自转，根据以上数据求： （1）火星的质量 （2）火星的密度 4．郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一半径为的恒星做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为该恒星半径的n倍。已知引力常量为，不考虑其他星体的影响。求： (1)该恒星的质量； (2)该恒星的平均密度。 5．2024年6月，嫦娥六号完成人类首次月球背面采样任务。若嫦娥六号在距离月球表面高度为H的圆轨道上运行的周期为T，月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转。 (1)求月球的质量； (2)在月球表面高度为h（h≪R）处由静止释放一可视为质点的物块，求物块自由下落到月球表面所用的时间。 题型三　星球表面测量法：测 g 再称质量 【解题技巧】在星球表面用实验测出重力加速度 g，再由 mg＝GMm/R² 得 M＝gR²/G，密度 ρ＝3g/(4πGR)。测 g 的常用方法：自由落体 h＝gt²/2；竖直上抛落回时间 t＝2v₀/g；平抛 x＝v₀t、h＝gt²/2，斜面落点要结合倾角列几何关系；圆锥摆 mg＝m(4π²/T²)L·tanθ。解题先确定用哪种运动测 g，再代入称量公式，注意单位与有效数字。 1．一个质量为60kg的物体，在地球上的重力为600N，在月球上的重力为100N，该物体从20m高处落到地面获得的速度相当于在月球上从多高处落到月面上获得的速度？ 2．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：（不考虑月球自转的影响） (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； 3．在某一星球距离表面H（远小于星球半径）高度处，以初速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求： (1)该星球表面重力加速度g的大小； (2)该星球的质量； (3)该星球的平均密度。 4．宇航员在地球表面将小球以一定的水平初速度向斜面抛出，斜面倾角，经时间小球恰好垂直撞在斜面上。现宇航员站在某质量分布均匀的星球表面，将小球以相同的初速度向该斜面抛出，小球经的时间落在斜面上，其位移恰与斜面垂直。已知该星球的半径为，地球表面重力加速度为，引力常量为，球的体积公式是。（和未知）求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的质量； (3)该星球的密度。 5．一位同学站在水平地面上A点，沿水平方向以初速度抛出一个小球，小球落到地上的另一点B，已知地球的半径为R。引力常量为G（不考虑地球自转）； (1)该同学手头只有一把尺子，他能否由题给定已知物理量以及手头工具估算出地球质量M，若能写出需要测定物理量； (2)若能请根据题已知，以及测定物理量计算出地球质量；若不能请说明理由。 6．中国神话故事“嫦娥奔月”源自古人对星辰的崇拜。假设一航天员登上月球后，在月球表面以大小为的初速度竖直向上抛出一小球（视为质点），经时间t小球落回抛出点。不考虑月球自转的影响，已知月球的半径为R，引力常量为G。求： (1)月球表面的重力加速度大小g； (2)月球的质量M； (3)月球的平均密度。 7．在地球表面以一定的初速度竖直上抛一个小球，经过时间小球落回原处；若宇航员在某星球表面以相同的初速度竖直上抛一小球，需经过时间小球落回原处。（取地球表面重力加速度，空气阻力不计。） (1)求该星球表面的重力加速度； (2)已知该星球的半径与地球半径之比为，求该星球的质量与地球质量之比。 8．北京时间2021年5月15日，中国首枚火星探测器“天问”一号成功着陆，带领“祝融”号火星车展开火星探测之旅。若将一颗石子在火星表面以速度竖直上抛，经过时间落回到火星表面。已知引力常量为，火星的半径为，不考虑火星自转的影响。 (1)求火星表面的自由落体加速度的大小； (2)求火星的质量； (3)已知火星表面的重力加速度约为地球表面的0.38倍，如果在火星上举办运动会，哪些田径项目的比赛成绩会比在地球上有显著的提升？请举出一项，并从物理学的角度简要分析其原因。 9．随着科技的进步，星际移民的可能性在不断提升。假设未来宇航员为测量某宜居星球的质量，采用如图所示的方案，在星球表面某地，长为L的细线一端拴着质量为m的小球（可视为质点），另一端固定于水平天花板上O点，小球在水平面内做匀速圆周运动时细线与竖直方向的夹角为α，运动一周所用的时间为t。已知引力常量为G，该星球可视为质量分布均匀的球体且半径为R，不计空气阻力和星球自转的影响。求： (1)小球的角速度大小ω； (2)该星球表面的重力加速度大小g； (3)该星球的质量M。 题型四　自转、密度与第一宇宙速度 【解题技巧】考虑自转时，赤道上物体满足 GMm/R²－F_N＝m(4π²/T²)R，两极不受自转影响，故 g 随纬度升高而增大，在赤道用“重力即引力”算质量会偏小。第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度 v＝√(GM/R)＝√(gR)，是最小发射速度也是最大环绕速度。密度 ρ＝3M/(4πR³)；近地卫星轨道半径近似等于星球半径，可推出 ρT² 为恒量这一有用结论。 1．如果你能乘坐航天器在月球表面附近环绕月球飞行，你可以用一块手表探测月球的平均密度吗？如果能，请写出这一方法需要测量的数据、必要的计算过程以及月球的平均密度的计算式。 2．已知某星球一近地卫星的周期为T，密度为，万有引力常量为G。证明： 3．一宇航员在某行星表面进行科学实验，宇航员从离地面某一高度水平抛出一物体，物体落到星球地面，经测量发现，落点到抛出点的水平距离是在地球上同一高度以同一速度抛出的物体的水平距离的倍。不计空气阻力，已知行星半径为，万有引力常量为，地球表面的重力加速度为。求： (1)该行星的质量； (2)该行星的第一宇宙速度。 (3)若在距该行星表面h高度处有一颗卫星，求该卫星运行的周期。 4．若宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星，在该行星“北极”距地面h处由静止释放一个小球（引力视为恒力，阻力可忽略），经过时间t落到地面。已知该行星半径为R，自转周期为，引力常量为，求： (1)该行星的平均密度； (2)该行星的第一宇宙速度； (3)如果该行星有一颗同步卫星，其距行星表面的高度H为多少。 5．一颗卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，绕行周期为T，已知地球半径为R，地球表面赤道处的重力加速度为g，万有引力常量为G，求： (1)地球质量M； (2)地球自转的角速度ω。 6．我国“天问系列”深空探测计划正稳步推进，未来将实现对火星的载人探测。某宇航员随火星着陆器成功着陆火星表面后，开展了一系列火星表面科学实验：在火星北极区域，宇航员用高精度弹簧秤测得一个质量为的标准砝码重力大小为。已知火星半径为，引力常量为。 (1)求火星的质量。 (2)若火星的自转周期为，宇航员前往火星赤道区域再次测量该标准砝码的重力。请通过完整受力分析判断：若仍沿用北极处的计算方法（即根据赤道处测得的重力大小）推算出的火星质量，与真实值相比是偏大还是偏小？并简要说明推导理由。 题型五　多轨道与多体系统综合 【解题技巧】多轨道问题先分清每条轨道的圆心与半径，逐轨道列万有引力提供向心力；同一中心天体开普勒第三定律 a³/T²＝k 成立，可直接联系两条轨道，椭圆轨道取半长轴。双星问题抓两点：彼此引力大小相等、角速度相同，轨道半径与质量成反比。变轨问题在切点比较“需要的向心力”与“万有引力”，判断加速离心还是减速近心。综合题按“哪个天体、哪条轨道、谁提供向心力”逐步列式求解。 1．如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，已知其轨道半径分别为r1、r2，A的运行周期为T1，地球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)B卫星的周期T2； (2)地球的密度ρ； (3)地球表面的重力加速度g（忽略地球自转）。 2．为了探测火星，载着登陆舱的探测飞船在以火星中心为圆心、半径为的圆轨道上运动，角速度大小为，登陆舱与探测飞船的总质量为。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离火星更近的半径为的圆轨道上运动，登陆舱的质量为，引力常量为，求： (1)火星的质量； (2)变轨后登陆舱与火星间的万有引力大小。 3．为实现嫦娥六号探测器在月球背面与地面顺利进行通信，中国又发射了“鹊桥二号”中继卫星，作为嫦娥六号探测器与地面联系的桥梁，“鹊桥二号”中继卫星在环绕月球的大椭圆轨道上运行，其运行周期为T0。已知嫦娥六号探测器环绕月球表面飞行的周期为T，月球半径为R，引力常量为G，求： (1)“鹊桥二号”中继卫星的轨道半长轴与月球半径之比； (2)月球的密度。 4．火星是离太阳第四近的行星，人类计划在不久的将来将宇航员送往火星进行考察，一般来说，火星和地球距离近的年份是最适合登陆火星和在地面对火星进行观测的时机。已知火星绕太阳公转的轨道半径约为地球公转轨道半径的1.5倍，火星和地球可看做绕太阳做匀速圆周运动。 (1)火星与地球公转周期之比 (2)假设在火星表面，宇航员用弹簧测力计测得一质量为m的物体的读数为F，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，火星的半径为，不计火星自转，则火星的质量为多少？ 5．如图所示，月球探测器登月前，从椭圆环月轨道转移至近月圆轨道，P点为近月点，P到月球球心距离可以认为等于月球半径。探测器在椭圆轨道I上运行周期为，在近月圆轨道II上运行周期为T，已知月球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)月球的质量M； (2)椭圆轨道I上远月点Q距月球表面的高度h。 6．如图甲所示是一颗空间科学试验卫星，卫星运行的轨道距离地面高为h，运行周期为T。该卫星探测到在宇宙中存在一组双星系统，如图乙所示，双星甲、乙在相互之间的万有引力作用下，绕其连线上O点做匀速圆周运动。不计其他天体对甲、乙的作用，已知双星甲、乙的质量分别为、，地球半径为R，引力常量为G，求： (1)地球的密度； (2)双星甲、乙做圆周运动的半径之比。 7．地心隧道是根据凡尔纳的《地心游记》所设想出的一条假想隧道，它是一条穿过地心的光滑笔直隧道，如图1所示。假设地球的半径为R，质量均匀分布，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。已知均匀球壳对壳内物体引力为零。 (1)求地球的密度ρ。 (2)类比是物理学中重要的思维方法 情境1：如图2所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，从B点释放后，小球相对平衡位置的位移x随时间 t的变化规律可用方程描述，m为小球的质量，其回复力为F=-kx，系统的弹性势能为 小球运动的周期 情境2：不计阻力，将一质量为m₀的物体从隧道口静止释放，发现物体相对地心的位移x随时间 t的变化规律与情境1中小球的运动规律类似，取地心为势能零点。 类比情境1，求出物体运动的周期T和x位置处的势能 Ep表达式。 (3)若在地面上任意两点之间沿直线开挖，如图3所示，不计阻力，将一质量为 的物体从此隧道口静止释放，分析比较两种情境贯穿隧道的时间。 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 《7.3万有引力理论的成就》参考答案 题型一　称量天体质量的思想方法 1．选择地面上的物体作为研究对象，利用物体所受的重力等于地球对物体的万有引力；需要忽略的地球自转的影响。 43．由，解得 44． 45．“称量”地球质量和计算地球密度的方法，对可测得表面重力加速度、且自转影响可忽略的天体适用，只不过式子中的g和R是相应天体表面的重力加速度和天体半径 【详解】42．利用万有引力定律“称量”地球的质量时，应该选择地面上的物体作为研究对象，在忽略地球自转的影响，物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。 2．若已知地球表面重力加速度g，地球半径R和引力常量G，则有 解得 3．地球的密度为 4．“称量”地球质量和计算地球密度的方法，对可测得表面重力加速度、且自转影响可忽略的天体适用，只不过式子中的g和R是相应天体表面的重力加速度和天体半径。 5．不能，因为太阳是一个火热的球体，我们无法得知其表面的重力加速度 47．行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力是由它们之间的万有引力提供的，以地球绕太阳做匀速圆周运动为例：设太阳的质量为，地球的质量为，地球与太阳之间的距离为，地球绕太阳的公转周期为，有，解得，所以只要测得和就能得出太阳的质量 48．由可知，太阳的质量与行星的质量无关，与有关，根据开普勒第三定律，所有行星的均相同，所以无论选择哪颗行星的轨道半径和公转周期，计算出来的太阳质量都相同。 能用计算太阳质量的方法计算行星或者卫星的质量。如果已知卫星绕行星或者飞行器绕卫星运动的周期和卫星或者飞行器的轨道半径，那么行星或者卫星的质量 49．，所以要计算太阳的密度，需要知道行星的轨道半径和公转周期以及太阳的半径 【详解】46．在地球表面有 可得地球质量为 因为太阳是一个火热的球体，我们无法得知其表面的重力加速度，所以不能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳的质量。 6．由可知，太阳的质量与行星的质量无关，与有关，根据开普勒第三定律，所有行星的均相同，所以无论选择哪颗行星的轨道半径和公转周期，计算出来的太阳质量都相同。 能用计算太阳质量的方法计算行星或者卫星的质量。如果已知卫星绕行星或者飞行器绕卫星运动的周期和卫星或者飞行器的轨道半径，那么行星或者卫星的质量 题型二　轨道参量法：万有引力提供向心力 1．(1) (2) 【详解】（1）设天行一号02星质量为m，根据万有引力提供向心力可得 解得地球的质量为 （2）设地球表面某物体的质量为，根据万有引力与重力的关系可得 解得地球表面的重力加速度为 2．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）组合体绕地球运动的周期 则所受的万有引力大小为 （2）根据万有引力等于向心力 解得地球的质量 （3）根据 解得 3．（1）；（2） 【详解】（1）设火星的质量为，火星探测器“天问一号”的质量为，根据万有引力提供向心力有 解得 （2）根据球体的体积公式可知，火星的体积为 火星的密度为 4．(1) (2) 【详解】(1) 已知恒星自身半径为，行星公转的轨道半径是恒星半径的倍，因此行星轨道半径， 行星围绕恒星做匀速圆周运动，二者之间的万有引力提供向心力，有 可得恒星的质量。 (2) 把恒星视作质地分布均匀的球体，球体体积 结合密度基础定义 可得恒星的平均密度。 5．(1) (2) 【详解】（1）设月球质量为，嫦娥六号质量为。嫦娥六号的轨道半径为，由万有引力提供向心力得 解得 （2）月球表面的重力加速度为 将小问1的结果代入得 由于，可把物块下落过程中的重力加速度近似视为。由自由落体运动规律得 解得 题型三　星球表面测量法：测 g 再称质量 1．120m 【详解】由G=mg可得 g月∶g地=1∶6 由v2=2gh可得 h月∶h地=6∶1 解得 h月=120m 2．(1)；(2) 【详解】(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有 h＝g月t2 所以月球表面的自由落体加速度大小 (2)因不考虑月球自转的影响，则有 月球的质量 3．(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做平抛运动，有 解得表面重力加速度 （2）根据 可得该星球的质量 （3）该星球的半径为R，可得体积为 可得该星球的平均密度 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）在地球表面，根据平抛运动规律得， 在星球表面，根据平抛运动规律得，， 联立解得 （2）根据万有引力和重力的关系可得 解得该星球的质量为 （3）根据密度公式得， 联立解得该星球的密度为 5．(1)能；需要测定小球抛出点距地面的高度h和小球的水平位移x (2) 【详解】（1）可以由题给定已知物理量以及手头工具估算出地球质量M，需要测定小球的水平位移x从而能够计算出平抛运动的时间t，再测定小球下落的高度从而计算出重力加速度g，通过万有引力提供重力加速度计算地球质量M。 （2）水平方向上 竖直方向上 解得 在地球表面，物体受到的万有引力等于重力 解得 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做竖直上抛运动，根据对称性可知 解得月球表面重力加速度 （2）由于不考虑月球自转的影响，月球表面的物体所受万有引力等于重力，设月球表面有一质量为m的物体，由万有引力定律得 联立解得月球的质量为 （3）月球的体积为 根据密度公式 解得月球的平均密度 7．(1) (2) 【详解】（1）不计空气阻力时，竖直上抛运动具有对称性，总运动时间满足公式 由于两次上抛初速度相同，总时间与重力加速度成反比，即 可得星球表面的重力加速度 （2）忽略天体自转影响，天体表面物体所受重力等于万有引力，有 解得 可得 8．(1) (2) (3) 跳高（或跳远、铅球等抛体类项目均可） 跳高竖直方向做竖直上抛运动，起跳初速度由人体爆发力决定，火星重力加速度更小。由可知，竖直初速度不变时，越小，起跳能达到的最大高度越高，跳高成绩更好。 【详解】（1）竖直上抛运动上升和下落过程对称，石子从抛出到落回出发点的总时间为，则上升到最高点的时间为 由运动学公式 整理可得 （2）不考虑火星自转影响，火星表面物体的重力等于万有引力 将第一问得到的代入 可得 （3）跳高（或跳远、铅球等抛体类项目均可） 跳高竖直方向做竖直上抛运动，起跳初速度由人体爆发力决定，火星重力加速度更小。由可知，竖直初速度不变时，越小，起跳能达到的最大高度越高，跳高成绩更好。 9．(1) (2) (3) 【详解】（1）小球运动一周所用的时间为t，则做匀速圆周运动的角速度大小 （2）对小球受力分析，竖直方向上有 水平方向上有 联立解得 （3）在该星球表面有 解得 题型四　自转、密度与第一宇宙速度 1．能，绕月球表面附近飞行的周期， 【详解】根据题意可知，在月球表面附近飞行时，万有引力提供向心力，且轨道半径和人月距离均近似等于月球半径，则有 球体体积公式 又有 联立解得 由此看出，只需测量绕月球表面附近飞行的周期，就可以计算出月球的平均密度。 2．根据万有引力提供向心力有 地球的密度为 联立可得 【详解】根据万有引力提供向心力有 地球的密度为 联立可得 3．(1) (2)（或） (3)（等价化简形式均可） 【详解】（1）设抛出高度为H，初速度为，地球上平抛运动水平方向 星球上平抛运动水平方向 由 得到 地球上平抛运动竖直方向 星球上平抛运动竖直方向 联立得 在行星表面，万有引力等于重力 可得 （2）第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，此时轨道半径近似为R，万有引力提供向心力 解得，结合（1）星球质量得到 （3）卫星的万有引力提供向心力 得到，，结合（1）星球质量得到 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在行星“北极”做自由落体运动，根据运动学公式有 解得行星表面的重力加速度为 在行星表面，设物体的质量为，行星的质量为，重力等于万有引力，根据万有引力定律有 解得行星的质量为 根据密度公式和球体体积公式分别有， 联立解得该行星的平均密度为 （2）设该行星的第一宇宙速度为，对于绕其表面运行的近地卫星，由重力提供向心力有 解得该行星的第一宇宙速度为 （3）设该行星的同步卫星质量为$m'$，根据万有引力提供向心力有 联立以上公式解得该同步卫星距行星表面的高度为 5．(1) (2) 【详解】（1）卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有 解得地球的质量 （2）质量为的物体在赤道处 解得地球自转的角速度 6．(1) (2)偏小，在赤道处，万有引力提供物体的重力和随火星自转所需的向心力，即 由于向心力分去了部分万有引力，导致赤道处的重力小于北极处的重力。 若仍按计算，由于，则计算出的必然小于真实值。 【详解】（1）在火星北极，物体不受自转影响，重力等于弹簧秤的拉力。 根据重力公式 解得 在火星北极，万有引力等于重力 解得火星质量 （2）推算出的火星质量，与真实值相比偏小。 在赤道处，万有引力提供物体的重力和随火星自转所需的向心力，即 由于向心力分去了部分万有引力，导致赤道处的重力小于北极处的重力。 若仍按计算，由于，则计算出的必然小于真实值。 题型五　多轨道与多体系统综合 1．(1) (2) (3)g 【详解】（1）根据开普勒第三定律有 解得 （2）卫星绕地球做圆周运动万有引力提供向心力，则有 地球的体积为 地球的密度为 （3）忽略地球自转时，重力等于万有引力 结合卫星A的向心力公式 可得 联立解得 2．(1) (2) 【详解】（1）载着登陆舱的探测飞船在以火星中心为圆心、半径为的圆轨道上运动，则火星对飞船的引力充当向心力，则 解得火星的质量 （2）变轨后登陆舱与火星间的万有引力大小 3．(1) (2) 【详解】（1）“鹊桥二号”中继卫星和嫦娥六号探测器都绕月球飞行，根据开普勒第三定律有 解得 （2）嫦娥六号探测器环绕月球表面飞行，根据万有引力提供向心力有 又， 联立得 4．(1) (2) 【详解】（1） 设地球公转轨道半径为，周期为，火星轨道半径，周期为，根据开普勒第三定律 整理得周期比 （2）弹簧测力计的读数等于物体在火星表面的重力，即 得火星表面重力加速度 不计火星自转时，物体的重力等于火星对物体的万有引力，对质量为的物体有 整理得火星质量 5．(1) (2)h=2R 【详解】（1）设探测器质量为m，探测器近月轨道上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 解得月球质量 （2）由题意，设椭圆轨道I的半长轴为a，则2a=2R+h 根据开普勒第三定律得 解得h=2R 6．(1) (2) 【详解】（1）设地球质量为，卫星质量为，卫星的轨道半径为，由万有引力提供向心力有= 解得地球质量 地球的体积为 故地球的密度= （2）双星甲、乙的角速度相同，设为，相互作用的万有引力大小相等，分别提供向心力，因此 整理得= 7．(1) (2)， (3)两种情境贯穿隧道的时间相等，均为 【详解】（1）各物理量均采用国际单位制，设地球质量为，根据球体体积公式有 地球表面的物体所受万有引力等于重力，根据万有引力定律有 约去并代入地球质量，得 解得 （2）取地心为坐标原点，隧道方向为轴，物体位于坐标处。以地心为球心、以|x|为半径的球体质量为 由均匀球壳对壳内物体的引力为零可知，物体只受到半径为|x|的球体产生的引力，其沿轴的分力为 代入并化简得 结合，得 与简谐运动回复力公式比较，得 物体运动的周期为 代入解得 取地心为势能零点，类比弹簧振子的弹性势能，物体位于处的势能为 代入解得 （3）设弦形隧道两端为、，地心到弦AB的垂足为，令，则物体相对隧道中点的最大位移为 由上一问可知，地球内部任意位置处的重力加速度方向指向地心，其大小与到地心的距离成正比。设物体相对的坐标为，由于，其中垂直于隧道，故重力加速度沿隧道方向的分量为 因此物体沿弦形隧道的运动仍为简谐运动，其角速度为 周期为 物体从隧道一端由静止释放时位于振动的最大位移处，到达另一端需要半个周期，故弦形隧道中的运动时间为 对于穿过地心的隧道，物体同样从一个最大位移处运动到另一个最大位移处，所需时间为 因此，两种情境贯穿隧道的时间相等。 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $