第六章 万有引力定律（单元自测·基础卷）物理沪科版必修第二册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中物理第六章万有引力定律，以中国航天成就（如东方红一号、北斗导航、神舟飞船）为情境，覆盖开普勒定律、万有引力定律应用等核心知识，适配单元复习，助力物理观念与科学思维培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |综合题|多样|开普勒定律、万有引力定律、卫星运动参量、变轨问题|结合中国航天情境，设基础（如定律发现者判断）、能力（如卫星周期计算）、创新（如黑洞双星运动分析）层次，体现科学态度与责任|

第六章 万有引力定律 一、综合题 自古以来人类仰望天空，对各种天文现象充满好奇，并试图破解其中的奥秘。 1．经过多年的尝试性计算，发现关于行星运动的三个定律的是（　　） A．牛顿 B．开普勒 C．伽利略 D．哥白尼 2．（多选）引力常量的单位为（　　） A． B． C． D． 3．地球绕太阳运行的轨道可视为圆，已知地球的质量为，轨道半径为，公转周期为，引力常量为。则地球绕太阳运行的速度大小为___________，太阳的质量为___________ 4．天文学家发现一颗小行星沿近似圆形轨道绕太阳运行，测得该轨道的平均半径约为地球公转轨道半径的3倍。这颗小行星绕太阳运行的周期最接近（　　） A．2 年 B．3 年 C．5 年 D．27 年 5．（多选）某小行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，、分别为椭圆长轴的端点，、分别为椭圆短轴的端点。则该行星（　　） A．在、两点的速率相同 B．在、两点的速率相同 C．在、两点的加速度相同 D．在、两点的加速度相同 E．从运行到、从运行到的时间相同（一个周期内） F．从运行到、从运行到的时间相同（一个周期内） 【答案】1．B 2．BD 3． 4．C 5．BF 【详解】1．发现关于行星运动的三个定律的是开普勒。 故选B。 2．根据万有引力定律 可知 引力常量的单位为 根据 可推得的单位为 故选BD。 3．[1] 地球做匀速圆周运动，线速度 [2] 根据万有引力提供向心力有 解得 4．设地球轨道半径为r，周期T=1年，根据开普勒第三定律 结合题意解得年 最接近5年。 故选C。 5．A．a是近日点，c是远日点，根据开普勒第二定律可知，a的速率大，故A错误； B．b、d关于长轴对称，到太阳的距离相等，引力势能相等，根据机械能守恒可知，动能相等，速率（标量）相同，故B正确； C．根据万有引力提供向心力有 解得加速度 a离太阳更近，加速度更大，且a、c方向加速度方向相反，则加速度不同，故C错误； D．b、d加速度大小相等，但方向不同（分别指向太阳，一个左上方、一个左下方），加速度是矢量，因此不同，故D错误； E．a→d过程扫过的面积小于d→c 过程扫过的面积，根据开普勒第二定律，时间不相等，故E错误； F．d→c和c→b过程，小行星扫过的面积相等，根据开普勒第二定律，运动时间相同，故F正确。 故选BF。 6．从我国第一颗人造地球卫星东方红一号的发射到北斗导航，再到天宫空间站，我国的航天技术经过五十多年的发展，已达到了世界领先水平。 (1)如图1所示，东方红一号卫星沿椭圆轨道绕地球运动，设卫星在近地点、远地点的速度分别为、，加速度分别为、，远地点到地心的距离为，地球质量为M，引力常量为G，则： ①用国际单位制中的基本单位导出引力常量G的单位为______。 A． B． C． ②______，______，______（选填：A．，B．，C．）。 ③卫星从近日点向远日点运动过程中，引力______选填：A．做正功，B．做负功，C．不做功，卫星的机械能______选填：A．增大，B．减小，C．不变。 (2)“北斗”导航系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成。某一地球同步轨道卫星和一颗中轨道卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图所示。 ①多选地球同步轨道卫星运行的过程中，下列哪些物理量保持不变______。 A．动能 B．角速度 C．加速度 D．速度 ②同步轨道卫星和中轨道卫星绕地球做圆周运动的速度分别、，地球第一宇宙速度为，则______，______。选填：A．，B．，C．）。 ③月球绕地球公转的周期约为27天，则月球球心到地球球心的距离是地球同步卫星到地球球心距离的______。 A． B． C． D． ④若这两颗卫星之间的距离随时间变化的关系如图所示，则中轨道卫星的运行周期______ h。 (3)年神舟十五号载人飞船与空间站组合体进行对接。图3中A表示神舟十五号，B表示天宫空间站，它们在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动。已知神舟十五号的轨道半径为，地球半径为，地球表面的重力加速度为。 ①神舟十五号轨道处地球引力产生的加速度______，若神舟飞船内有一质量为的人站在可称体重的台秤上，台秤示数为______。 ②若神舟十五号质量为，以无穷远处为零势能面，则神舟十五号的动能为______，引力势能为______。 ③图中神舟十五号须通过______，变轨后才能与空间站交会对接。选填：A．加速，B．减速 【答案】(1) A B A B C (2) A B C C C (3) A 【详解】（1）[1]由万有引力公式 变形可得 国际单位中F的单位是，的单位，M、m的单位kg，代入可得 故选C。 [2]由开普勒第二定律可知卫星在近地点速度大于远地点速度，即 故选A。 [3]在远地点，由万有引力提供向心力有 可得远地点的加速度 故选B。 [4]远地点卫星做近心运动，说明万有引力大于所需向心力，即 可得 故选A。 [5]卫星从近地点向远地点运动，引力方向与速度方向夹角大于，引力做负功。 故选B。 [6]卫星仅受引力作用，所以机械能守恒。 故选C。 （2）[1]A．同步卫星线速度的大小恒定不变，根据动能公式 可知卫星的动能大小保持不变，故A正确； B．同步卫星的运行周期固定为24小时，根据角速度与周期的关系 可知角速度大小也恒定不变，故B正确； C．卫星的向心加速度大小为 虽然大小不变，但加速度是矢量，其方向始终指向地心，时刻在发生变化，故C错误； D．速度是矢量，同步卫星做圆周运动时，速度的方向时刻沿轨道切线变化，故D错误。 故选AB。 [2]根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力有 可得线速度 可知轨道半径越大线速度越小，同步轨道卫星的轨道半径大于中轨道卫星的轨道半径，所以同步卫星的线速度小于中轨道卫星的线速度。 故选C。 [3]第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对应的轨道半径最小，线速度最大。同步轨道卫星的轨道半径远大于近地轨道半径，所以其线速度小于第一宇宙速度。 故选C。 [4]根据开普勒第三定律，绕同一中心天体运动的卫星，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，即 由此可得轨道半径与周期的关系为 已知月球绕地球公转的周期天，地球同步卫星的周期天，所以两者轨道半径之比为 故选C。 [5]两卫星绕行方向相同，从相距最近到下一次相距最近时，中轨道卫星比同步卫星多绕地球转了一圈，即多转过的角度为弧度。由图可知，这个时间间隔为12小时，设中轨道卫星的周期为T，同步卫星的周期为，根据角速度差的关系有 解得 即中轨道卫星的周期为8h。 （3）[1]由引力提供向心力，在地球表面有 可得 在神舟十五号轨道处有 可得轨道处的引力加速度 [2]飞船在轨道上做匀速圆周运动，处于完全失重状态，飞船内的人也随飞船一起做圆周运动，万有引力全部提供向心力，人对台秤没有压力，因此台秤示数为0。 [3]由万有引力提供向心力有 可得动能 [4]取无穷远为零势能面，引力势能为 [5]神舟十五号的轨道半径小于天宫空间站的轨道半径，要与更高轨道的空间站对接，需要通过加速使飞船做离心运动，进入更高的轨道。 故选A。 2023年10月15日是神舟五号飞天二十周年，二十年前杨利伟代表13亿中国人踏上了逐梦太空的征途。从此，中国人开启了从“飞天梦圆”到“圆梦天宫”。 7．许多科学家对天文学的发展都做出了巨大贡献。 （1）关于天体运动，下列说法中正确的是( ) A．牛顿发现了万有引力定律，被称为“第一个称出地球质量的人” B．根据表达式可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C． 在由开普勒第三定律得出的表达式中，是一个与中心天体无关的常量 D．若要摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外，发射卫星的初速度至少为第三宇宙速度 （2）如图所示，椭圆为地球绕太阳的运动轨道，、分别为地球绕太阳运动的近日点和远日点，地球经过这两点时的速率分别为和：阴影部分为地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积，分别用和表示，则___________、___________。（均填“>”“=”或“<”） 8．天宫空间站绕地球运行轨道近似可以看作匀速圆周运动，在天宫空间站运行的过程中，下列那个物理量保持不变（　　） A．速度 B．角速度 C．加速度 D．合外力 9．如图所示，A、B、C三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，已知三颗卫星的质量关系为，轨道半径的关系为，则三颗卫星（　　） A．加速度大小关系为 B．线速度大小关系为 C．向心力大小关系为 D．周期关系为 10．在离地球约14光年的某红矮星周围有两颗星、，它们绕红矮星公转的半径之比为，轨道可视为圆，如图所示，则、加速度之比为___________，二者公转周期之比为___________。 11．小行星绕恒星运动的同时，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的半径___________，加速度___________。（均选填“变大”“变小”或“不变”） 12．2021年10月16日，我国成功发射了神舟十三号载人飞船，神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行圈所用的时间为。已知它们的总质量为，它们距地面的高度为，地球半径为，引力常量为。求： （1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力； （2）地球的质量； （3）地球表面的重力加速度。 【答案】7． D > = 8．B 9．A 10． 11． 变大 变小 12．（1）；（2）；（3） 【详解】7．（1）[1]A．牛顿发现了万有引力定律，但牛顿并没能测出引力常量G的具体值，G的数值首次是由卡文迪什利用扭秤实验测量出的，因此卡文迪什被称为“第一个称出地球质量的人”，故A错误； B．当趋近于零时，两物体不能看成质点，表达式不再成立，不能得出万有引力趋近于无穷大的结论，故B错误； C．在由开普勒第三定律得出的表达式中，值与中心天体质量有关，故C错误； D．根据宇宙速度的定义可知，若要摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外，发射卫星的初速度至少为第三宇宙速度，故D正确。 故选D。 （2）[2][3]阴影部分为地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积，分别用和表示，根据开普勒第二定律可得 则有 由于，则有 8．天宫空间站绕地球运行轨道近似可以看作匀速圆周运动，在天宫空间站运行的过程中，速度、加速度和合外力均大小不变，方向时刻发生变化；角速度保持不变。 故选B。 9．ABD．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得，， 由于，可得，，，故A正确，BD错误； C．由，，，可得，但无法比较A的向心力大小与B、C的向心力大小关系，故C错误。 故选A。 10．[1]根据 可得 则、加速度之比为 [2]由万有引力提供向心力得 可得 则、公转周期之比为 11．[1]恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可知小行星受到的万有引力减小，小行星做离心运动，则小行星运动的半径变大； [2]由 可得 由于恒星质量缓慢减小，小行星运动的半径变大，则小行星运动的加速度变小。 12．（1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力提供所需的向心力，则有 又， 联立解得 （2）由万有引力表达式可得 联立解得地球的质量为 （3）在地球表面有 联立解得地球表面的重力加速度为 北斗卫星导航系统，简称BDS，是我国自行研制的全球卫星导航系统。北斗系统中包含多种卫星，如沿地球表面附近飞行的近地卫星，以及地球同步卫星等。图为某时刻从北极上空俯瞰的地球同步卫星A、近地卫星B和位于赤道地面上的观察点C的位置的示意图。地球可看作质量分布均匀的球体，卫星A、B绕地心的运动可看作沿逆时针方向的匀速圆周运动，其轨道与地球赤道在同一平面内，不考虑空气阻力及其他天体的影响。 13．若从图所示位置开始计时，则经过时间t后，图中各个卫星的位置合理的是（　　） A． B． C． D． 14．若已知引力常量，那么要确定地球的密度，只需要再测量（　　） A．卫星A的质量 B．卫星B的质量 C．卫星A的运行周期 D．卫星B的运行周期 【答案】13．D 14．D 【详解】13．同步卫星A与地球自转同步，角速度与赤道上的C点相同，所以始终位于C点的正上方，位置相对地面保持不变。 根据万有引力提供向心力有，解得角速度 可知轨道半径r越小角速度ω越大。近地卫星B的轨道半径远小于同步卫星A，所以角速度更大，逆时针转动速度比A快，在相同时间内转过的角度更大。故选D。 14．AC．对于A卫星，是地球的同步卫星，周期等于地球的自转周期，设轨道半径r，则 地球的质量 密度 只知道卫星A的运行周期和质量，不能求得地球的密度，故AC错误； BD．对于B卫星是近地卫星，设周期为T，则有r=R，根据 可得 已知卫星B的运行周期，可以求地球的密度，卫星B的质量与求地球密度没有关系，故B错误，D正确。 故选D。 如图所示为人造卫星的变轨示意图，其中1为近地轨道，3为地球的同步卫星轨道，2轨道分别在A处与B处和1轨道与3轨道相切。人造卫星从近地轨道最终进入同步卫星轨道需要在和两处分别点火以改变速度大小。 15．人造卫星在1轨道上通过A点时的速率记为，在2轨道上通过A点时的速率记为，在2轨道上通过B点时的速率记为，在3轨道上通过B点时的速率记为，则这四个速率中最大的是________，最小的是________。 A．    B．    C．    D． 16．人造卫星在1轨道总机械能为，在3轨道总机械能为，则________（选填A．“”B．“=”C．“<”） 17．（论证）对上一题中的选择作出解释。 18．（计算）已知地球自转周期为24小时，地球半径为，求人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离。（结果保留3位有效数字） 【答案】15． B C 16．C 17．见解析 18． 【解析】15．[1][2]根据卫星变轨规律和圆周运动速度公式，从轨道1变轨到轨道2，需在A点加速，故；从轨道2变轨到轨道3，需在B点加速，故 圆轨道速度满足 轨道半径越大速度越小，故 综上排序得 因此最大的是B，最小的是C。 16．变轨过程需要点火加速，机械能增加，且轨道越高机械能越大，因此 故选C。 17．卫星从近地轨道1进入同步轨道3，需要两次点火加速，发动机推力对卫星做正功，卫星机械能增加，因此。 18．同步卫星周期等于地球自转周期 设离地表高度为，万有引力提供向心力 地面重力加速度满足 代入整理得 代入， 计算得 因此 自从牛顿发现了万有引力，人类便开始了更多的太空探索…… 19．太空电梯通过超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与配重空间站，它们随地球以同步静止状态一起旋转，如图所示。图中配重空间站比同步卫星更高，距地面高达10R，若地球半径为R，自转周期为T，重力加速度为g。 （1）关于地球同步卫星，下列说法正确的是( ) A．同步卫星的绕转半径与它的质量成反比 B．同步卫星运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间 C．同步卫星可以通过北京的正上方 D．同步卫星在赤道正上方一定高度处 （2）对于距离地表高度约为5.6R的同步空间站内有宇航员质量为。我们通过天宫课堂知道宇航员在空间站是处于_________状态的（选涂“A、平衡”“B、超重”“C、失重”），空间站中的该宇航员所受重力为_________N。（结果保留二位小数）（已知地球半径，地球质量） （3）根据本题中关于太空天梯的相关材料，请分析和计算以下问题： ①通过缆绳连接的配重空间站线速度大小为多少_________ ②若此时缆绳突然断裂，则空间站将_________（选涂“A、逐渐远离地球”“B、掉落回地球”“C、维持在原来高度绕地匀速圆周运动”）。 20．如图火星和地球分别绕太阳公转的轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔26个月相距最近，地球公转周期为12个月。 （1）图中画出了火星相对于地球运动的、、和四个速度方向，其中可能的是( ) A．    B．    C．    D． （2）地球公转周期与火星公转周期之比为_________。 21．科学家持续观测银河系中心附近的某恒星S，其1994-2002年轨迹可视为半长轴约1000AU（日地距离为1AU）的椭圆如图所示，推测椭圆某焦点处存在一超大质量黑洞，S的运动主要受该黑洞引力作用。 （1）以该黑洞为参考系，2000年到2001年间，恒星S的速度大小v、加速度大小a的变化情况为_________。 A．v和a均逐渐减小        B．v逐渐增大，a逐渐减小 C．v和a均逐渐增大        D．v逐渐减小，a逐渐增大 （2）将恒星S的轨迹视为圆，太阳质量为M，估算该黑洞质量约为_________。 A．    B．    C．    D． 【答案】19． D C 13.58 A 20． D 21． C C 【解析】19．（1）[1]A．根据万有引力提供向心力有 解得 可知同步卫星的绕转半径与它的质量无关，故A错误； B．第一宇宙速度是最大的环绕速度，则同步卫星运行的线速度小于第一宇宙速度，故B错误； CD．同步卫星只能定点在赤道正上方一定高度处，故C错误，D正确。 故选D。 （2）[2] 同步空间站内宇航员受到的地球的万有引力提供宇航员做匀速圆周运动所需的向心力，故处于完全失重状态。 故选C。 [3] 根据宇航员受到的重力等于万有引力，可得 代入数据解得 （3）[4]根据题意可得配重空间站轨道半径为11R，则线速度大小 [5] 若配重空间站没有缆绳连接，仍绕地球做匀速圆周运动，有 地面上的物体有 解得 根据 可知轨道半径越大，线速度越小，即空间站所在高度对应轨道的线速度应比同步卫星小，而空间站线速度大于同步卫星线速度，所以若缆绳断裂，空间站逐渐远离地球而去。 故选A。 20．（1）[1]根据题意，作出地球在该位置的瞬时速度的方向 结合相对运动的原理，利用矢量的合成规则，可知火星相对于地球运动的速度方向是v4。 故选D。 （2）[2] 地球和火星的角速度分别为， 由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，火星的轨道半径大于地球的轨道半径，根据几何关系有 解得月 则地球与火星绕太阳的公转周期之比为 21．（1）[1]椭圆某焦点处存在一超大质量黑洞，根据开普勒第二定律，2000年到2001年间，恒星S向黑洞靠近，则速度变大； 根据万有引力提供向心力有 解得 可见加速度a逐渐增大。 故选C。 （2）[2]地球绕太阳运动，根据万有引力提供向心力有 同理S绕黑洞运动时有 由图可知S的周期约为16年，根据题意解得 故选C。 天体运动 1859年出版的《谈天》由数学家李善兰与伟烈亚力合著，其中提到万有引力定律：“天空皆有质物，各点俱互相摄引，其力与质之多少有正比例，而与相距之平方有反比例。” 22．如图，、、为火星与太阳连线在相等时间内扫过的任意三个面积。由开普勒行星运动定律可知（　　） A． B． C． D． 23．两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径大小关系为，则它们的加速度大小关系为____，线速度大小关系为____，运动周期大小关系为____。 24．已知引力常量，地球表面的重力加速度，地球半径，则地球质量的数量级为（　　） A． B． C． D． 25．2025年我国已经完成了1500颗卫星的组网，北斗系统升级完成，性能实现了质的飞跃。关于地球静止轨道卫星（同步卫星），下列说法正确的是（　　） A．入轨后可以位于北京正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度 C．发射速度大于第二宇宙速度 D．发射速度小于第二宇宙速度 26．河外星系中两黑洞A、B以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。为研究方便，简化为如下示意图，黑洞A、B均可看成球体，。若两黑洞间的距离一定，把黑洞B上的部分物质移到黑洞A上，下列说法正确的是（　　） A．它们之间的引力不变 B．它们之间的引力一定变大 C．它们运行的周期不变 D．它们运行的周期可能变小 27．如图，、、为北斗系统的三颗卫星，已知它们绕地球做匀速圆周运动的半径分别为、、，且。 （1）导航卫星的发射速度应( ) A．小于第一宇宙速度 B．大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度 C．大于第二宇宙速度 （2）卫星、、的线速度分别为、、，角速度分别为、、，则( ) A．    B． C．    D． 28．计算：空间站的运动可以看作为围绕地球的匀速圆周运动。若地球表面重力加速度，地球半径，空间站轨道离地高度。 （1）求空间站运动的速度；（保留三位有效数字） （2）简要说明：空间站的速度为什么小于第一宇宙速度？ 【答案】22．B 23． 24．C 25．D 26．C 27． B B 28．（1）（2）见解析 【解析】22．根据开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。题目明确、、是相等时间内扫过的面积，因此 故选B。 23．[1]根据万有引力提供圆周运动向心力推导分析： 万有引力提供向心力，由公式 可得加速度 轨道半径越大，加速度越小。已知 因此 [2]线速度 轨道半径越大，线速度越小，因此 [3]周期 轨道半径越大，周期越大，因此 24．地球表面物体重力等于万有引力 得地球质量 代入数值 数量级为 25．A．同步卫星只能定点在赤道正上方，北京不在赤道，故A错误； B．第一宇宙速度是绕地卫星的最大环绕速度，同步卫星轨道半径大于地球半径，由 得环绕速度小于第一宇宙速度，故B错误； C、D．第二宇宙速度是脱离地球引力的最小发射速度，同步卫星仍绕地球运动，因此发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，故C错误、D正确。 故选D。 26．AB．这是双星模型，设两黑洞总质量 间距（不变） 万有引力 一定时，两质量差值越大，乘积越小，因此引力减小，故A、B错误。 CD．对双星推导得周期满足 转移物质后总质量不变、不变，因此周期不变，故C正确，D错误； 故选C。 27．[1]导航卫星绕地球运动，未脱离地球引力，第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，第二宇宙速度是脱离地球的最小发射速度，因此导航卫星发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，故选B。 [2]AB．卫星绕地球做匀速圆周运动，由 得 因此 故A错误、B正确； CD．由 得 因此 故C、D错误。 故选B。 28．（1）地球表面重力近似等于万有引力，得 空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 整理得 代入，， 计算得 （2）第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动卫星的最大环绕速度，由 可知，轨道半径越大，环绕速度越小。空间站的轨道半径大于地球半径（近地卫星轨道半径等于地球半径），因此空间站的环绕速度小于第一宇宙速度。 从炽热的恒星到冰冷的行星，从致密的中子星到广袤的星云，多种多样的天体构成了绚丽的宇宙图景。而这幅图景的背后，正是物理学为我们揭示的运行法则。小范同学驾驶宇宙飞船，造访了宇宙中若干天体。 29．小范同学需要离开太阳系探索宇宙，则飞船在地球上的发射速度至少要达到第________宇宙速度。 30．中子星的自转速度极快，其最大自转速度受到自身密度的限制。已知中子星的最大转速发生在其赤道上的物质所受向心力刚好由引力提供时。小范同学观测到某中子星自转周期为30ms，已知引力常量，则该星球的密度至少为________。记该中子星质量为M，半径为R，则该中子星赤道上重力加速度g是否近似等于？________（填“是”或“否”）。请简述理由：________ 31．小范同学发现了一颗富含黄金矿藏的星球，她利用随身携带的重力加速度测量仪器确定金矿的位置。如图，P、Q为某地区水平地面上距离为L的两点，在P点正下方有一球形区域充满了黄金矿石。已知球形区域内矿石的密度为，周围普通岩石的密度为，且。万有引力常量为G。由于黄金矿石的存在，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。定义重力加速度在原竖直方向上的投影相对于正常值的偏离为“重力加速度反常”。 （1）用球形区域体积V、球心深度d（d远小于星体半径）及题干中其他已知量，表示Q点重力加速度反常值大小。 （2）若Q点重力加速度反常值为，且该黄金矿球附近的地面上探得重力加速度反常的最大值为，求黄金矿球体积V及球心深度d。 【答案】29．第三宇宙速度 30． 否 见解析 31．（1）；（2），L 【详解】29．第三宇宙速度是脱离太阳引力束缚、飞出太阳系的最小发射速度。故飞船要离开太阳系，发射速度至少要达到第三宇宙速度。 30．[1]当中子星赤道上的物质所受向心力刚好由引力提供时，转速最大，密度最小。根据牛顿第二定律有 解得 又因为 联立解得 [2][3]在中子星赤道上，物体随星球自转，万有引力分解为重力和向心力，即 当转速达到最大时，万有引力完全提供向心力，即 此时，即重力加速度 而是万有引力产生的加速度，显然不为零，故不近似等于。 31．（1）将地下球形区域视为一个密度为的球体叠加在均匀岩石背景上，该“附加球体”的质量为 它在Q点产生的引力加速度即为重力加速度反常值。Q点到球心O的距离 附加球体在Q点产生的引力加速度大小为 方向指向球心O。重力加速度反常定义为在原竖直方向上的投影，设OQ与竖直方向夹角为，则 故 （2）P点重力加速度反常值为，则 Q点重力加速度反常值为 联立解得， 太空电梯 科幻大片中设想的太空电梯结构如图所示。假设有一太空电梯，连接地球赤道上的固定基地与位于地球同步卫星轨道的空间站。 32．设乘客在太空电梯内与电梯保持相对静止，乘客离地心距离为，则乘客（　　） A．一定处于超重状态 B．一定处于完全失重状态 C．绕着地球运动的线速度大小随着的增大而增大 D．绕着地球运动的线速度大小随着的增大而减小 E．在等于地球半径时，乘客的线速度大小等于第一宇宙速度 F．在等于地球半径时，乘客的线速度大小小于第一宇宙速度 33．若电梯外部某一物体脱落后，物体相对于地球做（　　） A．匀速圆周运动 B．离心运动 C．近心运动 34．如图所示，另有一颗卫星B也绕地球做匀速圆周运动且与同步空间站A的运行方向相同，此时二者距离最近。经过时间后，A，B第一次相距最远。已知地球自转周期为（其中）。求卫星B绕地球做圆周运动的周期______。 【答案】32．CF 33．C 34． 【详解】32．AB．对于地球人造卫星，由万有引力提供向心力得 解得 可知，卫星轨道半径越大，角速度越小，由于太空电梯上各质点的角速度与静止卫星的角速度相同，即太空电梯各质点的角速度小于与其处于同一轨道半径上卫星的角速度，则太空电梯上各质点做圆周运动所需的向心加速度小于该轨道卫星的向心加速度，所以乘客处于失重状态，但不是完全失重状态，故AB错误； CD．由于太空电梯上各质点的角速度与静止卫星的角速度相同，根据可知，乘客绕着地球运动的线速度大小随着的增大而增大，故C正确，D错误； EF．对于地球人造卫星，由万有引力提供向心力得 可得 地球第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度，大于同步卫星的运行速度，所以在等于地球半径时，乘客的线速度大小小于第一宇宙速度，故E错误，F正确。 故选CF。 33．由于太空电梯各质点的角速度小于与其处于同一轨道半径上卫星的角速度，若电梯外部某一物体脱落后，物体所受万有引力大于所需的向心力，物体相对于地球做近心运动。 故选C。 34．已知地球自转周期为，则同步空间站A的周期为，经过时间后，A，B第一次相距最远，则有 解得卫星B绕地球做圆周运动的周期为 35．嫦娥六号——2024年我国发射的嫦娥六号探测器成功抵达月球背面，并带回人类首份月背样品。探测器着陆月球表面的过程示意图如图所示，探测器先在半径为轨道I做匀速圆周运动，周期为。从点变轨进入椭圆轨道II，到达近月点点再次变轨到近月圆轨道III，最后安全落在月球上。已知月球质量为，半径为，引力常量为。 (1)嫦娥六号探测器绕月球做匀速圆周运动过程中，保持不变的物理量是（　　） A．加速度 B．动能 C．角速度 D．线速度 (2)在近月圆轨道上，嫦娥六号探测器做匀速圆周运动的线速度大小为___________，加速度大小为___________。 (3)嫦娥六号在椭圆轨道II运行时___________。 A．点的速度大于点的速度 B．点的速度小于点的速度 C．点的加速度大于点的加速度 D．点的加速度小于点的加速度 (4)探测器在轨道II上从到的最短时间为___________。 (5)嫦娥六号距月面约100米时，开始避障下降。若嫦娥六号避障下降时沿图中虚线方向做匀减速直线运动，不计月球大气阻力，则其发动机喷出的气体对其作用力可能为___________。 A． B． C． D． (6)嫦娥六号在月球背面南极-艾特肯盆地安全着陆。若嫦娥六号的质量为，其四条腿与竖直方向的夹角均为，如图所示。月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的。它静止在月球平坦表面处时，每条腿对月球表面压力的大小为___________。 A． B． C． D． 【答案】(1)BC (2) (3)BD (4) (5)B (6)A 【详解】（1）AD．匀速圆周运动中，加速度、线速度是矢量，大小不变，方向时刻变化，故AD错误； BC．动能、角速度是标量，大小不变，故BC正确。 故选BC。 （2）[1][2]根据万有引力提供向心力有 解得， （3）根据开普勒第二定律，近月点B的速度大于远月点A的速度，故A错误，B正确； 由牛顿第二定律有 解得 A点到月心距离更大，故A点加速度小于B点加速度，故C错误，D正确。 故选BD。 （4）据开普勒第三定律有 解得探测器在椭圆轨道运动的周期为 从A到B为半个周期，故 （5）匀减速直线运动的加速度（合力）方向与速度方向相反，即沿运动虚线斜向上（与下降方向反向）。探测器受竖直向下的重力和发动机推力F，根据矢量合成，推力F必须在竖直向上和沿虚线斜向上的夹角之间，只有F2符合。 故选B。 （6）根据题意可知，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，设每条腿对探测器的支持力为F，根据整体法可得 根据牛顿第三定律可知，每条腿对月球表面压力的大小 故选A。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 万有引力定律 一、综合题 自古以来人类仰望天空，对各种天文现象充满好奇，并试图破解其中的奥秘。 1．经过多年的尝试性计算，发现关于行星运动的三个定律的是（　　） A．牛顿 B．开普勒 C．伽利略 D．哥白尼 2．（多选）引力常量的单位为（　　） A． B． C． D． 3．地球绕太阳运行的轨道可视为圆，已知地球的质量为，轨道半径为，公转周期为，引力常量为。则地球绕太阳运行的速度大小为___________，太阳的质量为___________ 4．天文学家发现一颗小行星沿近似圆形轨道绕太阳运行，测得该轨道的平均半径约为地球公转轨道半径的3倍。这颗小行星绕太阳运行的周期最接近（　　） A．2 年 B．3 年 C．5 年 D．27 年 5．（多选）某小行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，、分别为椭圆长轴的端点，、分别为椭圆短轴的端点。则该行星（　　） A．在、两点的速率相同 B．在、两点的速率相同 C．在、两点的加速度相同 D．在、两点的加速度相同 E．从运行到、从运行到的时间相同（一个周期内） F．从运行到、从运行到的时间相同（一个周期内） 6．从我国第一颗人造地球卫星东方红一号的发射到北斗导航，再到天宫空间站，我国的航天技术经过五十多年的发展，已达到了世界领先水平。 (1)如图1所示，东方红一号卫星沿椭圆轨道绕地球运动，设卫星在近地点、远地点的速度分别为、，加速度分别为、，远地点到地心的距离为，地球质量为M，引力常量为G，则： ①用国际单位制中的基本单位导出引力常量G的单位为______。 A． B． C． ②______，______，______（选填：A．，B．，C．）。 ③卫星从近日点向远日点运动过程中，引力______选填：A．做正功，B．做负功，C．不做功，卫星的机械能______选填：A．增大，B．减小，C．不变。 (2)“北斗”导航系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成。某一地球同步轨道卫星和一颗中轨道卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图所示。 ①多选地球同步轨道卫星运行的过程中，下列哪些物理量保持不变______。 A．动能 B．角速度 C．加速度 D．速度 ②同步轨道卫星和中轨道卫星绕地球做圆周运动的速度分别、，地球第一宇宙速度为，则______，______。选填：A．，B．，C．）。 ③月球绕地球公转的周期约为27天，则月球球心到地球球心的距离是地球同步卫星到地球球心距离的______。 A． B． C． D． ④若这两颗卫星之间的距离随时间变化的关系如图所示，则中轨道卫星的运行周期______ h。 (3)年神舟十五号载人飞船与空间站组合体进行对接。图3中A表示神舟十五号，B表示天宫空间站，它们在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动。已知神舟十五号的轨道半径为，地球半径为，地球表面的重力加速度为。 ①神舟十五号轨道处地球引力产生的加速度______，若神舟飞船内有一质量为的人站在可称体重的台秤上，台秤示数为______。 ②若神舟十五号质量为，以无穷远处为零势能面，则神舟十五号的动能为______，引力势能为______。 ③图中神舟十五号须通过______，变轨后才能与空间站交会对接。选填：A．加速，B．减速 2023年10月15日是神舟五号飞天二十周年，二十年前杨利伟代表13亿中国人踏上了逐梦太空的征途。从此，中国人开启了从“飞天梦圆”到“圆梦天宫”。 7．许多科学家对天文学的发展都做出了巨大贡献。 （1）关于天体运动，下列说法中正确的是( ) A．牛顿发现了万有引力定律，被称为“第一个称出地球质量的人” B．根据表达式可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C． 在由开普勒第三定律得出的表达式中，是一个与中心天体无关的常量 D．若要摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外，发射卫星的初速度至少为第三宇宙速度 （2）如图所示，椭圆为地球绕太阳的运动轨道，、分别为地球绕太阳运动的近日点和远日点，地球经过这两点时的速率分别为和：阴影部分为地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积，分别用和表示，则___________、___________。（均填“>”“=”或“<”） 8．天宫空间站绕地球运行轨道近似可以看作匀速圆周运动，在天宫空间站运行的过程中，下列那个物理量保持不变（　　） A．速度 B．角速度 C．加速度 D．合外力 9．如图所示，A、B、C三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，已知三颗卫星的质量关系为，轨道半径的关系为，则三颗卫星（　　） A．加速度大小关系为 B．线速度大小关系为 C．向心力大小关系为 D．周期关系为 10．在离地球约14光年的某红矮星周围有两颗星、，它们绕红矮星公转的半径之比为，轨道可视为圆，如图所示，则、加速度之比为___________，二者公转周期之比为___________。 11．小行星绕恒星运动的同时，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的半径___________，加速度___________。（均选填“变大”“变小”或“不变”） 12．2021年10月16日，我国成功发射了神舟十三号载人飞船，神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行圈所用的时间为。已知它们的总质量为，它们距地面的高度为，地球半径为，引力常量为。求： （1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力； （2）地球的质量； （3）地球表面的重力加速度。 北斗卫星导航系统，简称BDS，是我国自行研制的全球卫星导航系统。北斗系统中包含多种卫星，如沿地球表面附近飞行的近地卫星，以及地球同步卫星等。图为某时刻从北极上空俯瞰的地球同步卫星A、近地卫星B和位于赤道地面上的观察点C的位置的示意图。地球可看作质量分布均匀的球体，卫星A、B绕地心的运动可看作沿逆时针方向的匀速圆周运动，其轨道与地球赤道在同一平面内，不考虑空气阻力及其他天体的影响。 13．若从图所示位置开始计时，则经过时间t后，图中各个卫星的位置合理的是（　　） A． B． C． D． 14．若已知引力常量，那么要确定地球的密度，只需要再测量（　　） A．卫星A的质量 B．卫星B的质量 C．卫星A的运行周期 D．卫星B的运行周期 如图所示为人造卫星的变轨示意图，其中1为近地轨道，3为地球的同步卫星轨道，2轨道分别在A处与B处和1轨道与3轨道相切。人造卫星从近地轨道最终进入同步卫星轨道需要在和两处分别点火以改变速度大小。 15．人造卫星在1轨道上通过A点时的速率记为，在2轨道上通过A点时的速率记为，在2轨道上通过B点时的速率记为，在3轨道上通过B点时的速率记为，则这四个速率中最大的是________，最小的是________。 A．    B．    C．    D． 16．人造卫星在1轨道总机械能为，在3轨道总机械能为，则________（选填A．“”B．“=”C．“<”） 17．（论证）对上一题中的选择作出解释。 18．（计算）已知地球自转周期为24小时，地球半径为，求人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离。（结果保留3位有效数字） 自从牛顿发现了万有引力，人类便开始了更多的太空探索…… 19．太空电梯通过超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与配重空间站，它们随地球以同步静止状态一起旋转，如图所示。图中配重空间站比同步卫星更高，距地面高达10R，若地球半径为R，自转周期为T，重力加速度为g。 （1）关于地球同步卫星，下列说法正确的是( ) A．同步卫星的绕转半径与它的质量成反比 B．同步卫星运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间 C．同步卫星可以通过北京的正上方 D．同步卫星在赤道正上方一定高度处 （2）对于距离地表高度约为5.6R的同步空间站内有宇航员质量为。我们通过天宫课堂知道宇航员在空间站是处于_________状态的（选涂“A、平衡”“B、超重”“C、失重”），空间站中的该宇航员所受重力为_________N。（结果保留二位小数）（已知地球半径，地球质量） （3）根据本题中关于太空天梯的相关材料，请分析和计算以下问题： ①通过缆绳连接的配重空间站线速度大小为多少_________ ②若此时缆绳突然断裂，则空间站将_________（选涂“A、逐渐远离地球”“B、掉落回地球”“C、维持在原来高度绕地匀速圆周运动”）。 20．如图火星和地球分别绕太阳公转的轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔26个月相距最近，地球公转周期为12个月。 （1）图中画出了火星相对于地球运动的、、和四个速度方向，其中可能的是( ) A．    B．    C．    D． （2）地球公转周期与火星公转周期之比为_________。 21．科学家持续观测银河系中心附近的某恒星S，其1994-2002年轨迹可视为半长轴约1000AU（日地距离为1AU）的椭圆如图所示，推测椭圆某焦点处存在一超大质量黑洞，S的运动主要受该黑洞引力作用。 （1）以该黑洞为参考系，2000年到2001年间，恒星S的速度大小v、加速度大小a的变化情况为_________。 A．v和a均逐渐减小        B．v逐渐增大，a逐渐减小 C．v和a均逐渐增大        D．v逐渐减小，a逐渐增大 （2）将恒星S的轨迹视为圆，太阳质量为M，估算该黑洞质量约为_________。 A．    B．    C．    D． 天体运动 1859年出版的《谈天》由数学家李善兰与伟烈亚力合著，其中提到万有引力定律：“天空皆有质物，各点俱互相摄引，其力与质之多少有正比例，而与相距之平方有反比例。” 22．如图，、、为火星与太阳连线在相等时间内扫过的任意三个面积。由开普勒行星运动定律可知（　　） A． B． C． D． 23．两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径大小关系为，则它们的加速度大小关系为____，线速度大小关系为____，运动周期大小关系为____。 24．已知引力常量，地球表面的重力加速度，地球半径，则地球质量的数量级为（　　） A． B． C． D． 25．2025年我国已经完成了1500颗卫星的组网，北斗系统升级完成，性能实现了质的飞跃。关于地球静止轨道卫星（同步卫星），下列说法正确的是（　　） A．入轨后可以位于北京正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度 C．发射速度大于第二宇宙速度 D．发射速度小于第二宇宙速度 26．河外星系中两黑洞A、B以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。为研究方便，简化为如下示意图，黑洞A、B均可看成球体，。若两黑洞间的距离一定，把黑洞B上的部分物质移到黑洞A上，下列说法正确的是（　　） A．它们之间的引力不变 B．它们之间的引力一定变大 C．它们运行的周期不变 D．它们运行的周期可能变小 27．如图，、、为北斗系统的三颗卫星，已知它们绕地球做匀速圆周运动的半径分别为、、，且。 （1）导航卫星的发射速度应( ) A．小于第一宇宙速度 B．大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度 C．大于第二宇宙速度 （2）卫星、、的线速度分别为、、，角速度分别为、、，则( ) A．    B． C．    D． 28．计算：空间站的运动可以看作为围绕地球的匀速圆周运动。若地球表面重力加速度，地球半径，空间站轨道离地高度。 （1）求空间站运动的速度；（保留三位有效数字） （2）简要说明：空间站的速度为什么小于第一宇宙速度？ 从炽热的恒星到冰冷的行星，从致密的中子星到广袤的星云，多种多样的天体构成了绚丽的宇宙图景。而这幅图景的背后，正是物理学为我们揭示的运行法则。小范同学驾驶宇宙飞船，造访了宇宙中若干天体。 29．小范同学需要离开太阳系探索宇宙，则飞船在地球上的发射速度至少要达到第________宇宙速度。 30．中子星的自转速度极快，其最大自转速度受到自身密度的限制。已知中子星的最大转速发生在其赤道上的物质所受向心力刚好由引力提供时。小范同学观测到某中子星自转周期为30ms，已知引力常量，则该星球的密度至少为________。记该中子星质量为M，半径为R，则该中子星赤道上重力加速度g是否近似等于？________（填“是”或“否”）。请简述理由：________ 31．小范同学发现了一颗富含黄金矿藏的星球，她利用随身携带的重力加速度测量仪器确定金矿的位置。如图，P、Q为某地区水平地面上距离为L的两点，在P点正下方有一球形区域充满了黄金矿石。已知球形区域内矿石的密度为，周围普通岩石的密度为，且。万有引力常量为G。由于黄金矿石的存在，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。定义重力加速度在原竖直方向上的投影相对于正常值的偏离为“重力加速度反常”。 （1）用球形区域体积V、球心深度d（d远小于星体半径）及题干中其他已知量，表示Q点重力加速度反常值大小。 （2）若Q点重力加速度反常值为，且该黄金矿球附近的地面上探得重力加速度反常的最大值为，求黄金矿球体积V及球心深度d。 太空电梯 科幻大片中设想的太空电梯结构如图所示。假设有一太空电梯，连接地球赤道上的固定基地与位于地球同步卫星轨道的空间站。 32．设乘客在太空电梯内与电梯保持相对静止，乘客离地心距离为，则乘客（　　） A．一定处于超重状态 B．一定处于完全失重状态 C．绕着地球运动的线速度大小随着的增大而增大 D．绕着地球运动的线速度大小随着的增大而减小 E．在等于地球半径时，乘客的线速度大小等于第一宇宙速度 F．在等于地球半径时，乘客的线速度大小小于第一宇宙速度 33．若电梯外部某一物体脱落后，物体相对于地球做（　　） A．匀速圆周运动 B．离心运动 C．近心运动 34．如图所示，另有一颗卫星B也绕地球做匀速圆周运动且与同步空间站A的运行方向相同，此时二者距离最近。经过时间后，A，B第一次相距最远。已知地球自转周期为（其中）。求卫星B绕地球做圆周运动的周期______。 35．嫦娥六号——2024年我国发射的嫦娥六号探测器成功抵达月球背面，并带回人类首份月背样品。探测器着陆月球表面的过程示意图如图所示，探测器先在半径为轨道I做匀速圆周运动，周期为。从点变轨进入椭圆轨道II，到达近月点点再次变轨到近月圆轨道III，最后安全落在月球上。已知月球质量为，半径为，引力常量为。 (1)嫦娥六号探测器绕月球做匀速圆周运动过程中，保持不变的物理量是（　　） A．加速度 B．动能 C．角速度 D．线速度 (2)在近月圆轨道上，嫦娥六号探测器做匀速圆周运动的线速度大小为___________，加速度大小为___________。 (3)嫦娥六号在椭圆轨道II运行时___________。 A．点的速度大于点的速度 B．点的速度小于点的速度 C．点的加速度大于点的加速度 D．点的加速度小于点的加速度 (4)探测器在轨道II上从到的最短时间为___________。 (5)嫦娥六号距月面约100米时，开始避障下降。若嫦娥六号避障下降时沿图中虚线方向做匀减速直线运动，不计月球大气阻力，则其发动机喷出的气体对其作用力可能为___________。 A． B． C． D． (6)嫦娥六号在月球背面南极-艾特肯盆地安全着陆。若嫦娥六号的质量为，其四条腿与竖直方向的夹角均为，如图所示。月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的。它静止在月球平坦表面处时，每条腿对月球表面压力的大小为___________。 A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $