精品解析：广东东莞市万江中学2026-2027学年度高二第一学期第一次阶段测试数学试题

东莞市万江中学2026-2027学年度高二第一学期数学阶段测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量，向量与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 7. 在正四面体ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点，连接CM，BN，若正四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 过点和的直线l的一个方向向量为 B. 过点且倾斜角为的直线方程为 C. 过两点的直线方程为 D. 过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线距离的最大值为5 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________ 13. 已知，，，若、和共面，则实数________． 14. 已知点在直线上，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，． （1）求边AB上的高所在直线方程； （2）求平行四边形的顶点的坐标以及四边形的面积． 16. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 17. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 18. 已知直线与直线的交点为. （1）若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值及此时直线的方程. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． （1）证明：； （2）若平面与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市万江中学2026-2027学年度高二第一学期数学阶段测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 2. 已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量，向量与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直，向量与平面平行，可得向量与向量垂直，利用数量积为0求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得． 故选：B. 3. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 5. 直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角，直线的倾斜角，结合图形可得结果． 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 7. 在正四面体ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点，连接CM，BN，若正四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以正四面体底面中心为原点建系，由边长得到各个顶点的坐标，利用异面直线所成角的向量表示求解. 【详解】以底面的中心为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径， 则由题意得高． 故，，，， 由M、N分别为AB、AD的中点，所以，同理得， 故，， 设直线与所成角为，则． 8. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标应用两点间距离，再结合单调性得出最值即可判断选项. 【详解】 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，设， 则， 则单调递减，单调递增， 所以时，最小值为，时，最大值为，所以. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 过点和的直线l的一个方向向量为 B. 过点且倾斜角为的直线方程为 C. 过两点的直线方程为 D. 过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直线的方向向量的定义、直线方程的表示形式一一判断求解. 【详解】对A，,所以, 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 故选:AB. 10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线距离的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】A直线化为确定定点判断；B、C应用直线平行、垂直的判定求参数判断；D由到所过定点距离为最大距离，即可判断. 【详解】A：由，即直线恒过定点，对； B：，则，可得，对； C：，则，可得，即或， 时，，，满足； 时，，，满足， 综上，或，错； D：点到直线距离的最大值，是到定点的距离，即为5，对. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的性质求出，再利用向量模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，即，有， 可知. 故答案为：. 13. 已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 14. 已知点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将所求目标转化为直线上的点到定点和的距离和，求出点关于直线的对称点为，可得，当三点共线时，最小，从而得出结论. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和， 假设点关于直线的对称点为，且交直线于点， 则有，解得， 因此得到， ， 当三点共线时，最小，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，． （1）求边AB上的高所在直线方程； （2）求平行四边形的顶点的坐标以及四边形的面积． 【答案】（1） （2），四边形的面积为24． 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直得到斜率，点斜式即可写出方程； （2）利用平行四边形对角线中点坐标公式求出点，再利用点到直线距离求高，即可计算平行四边形面积. 【小问1详解】 依题意，直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 于是有：， 即．所以边上的高所在直线的方程为． 【小问2详解】 平行四边形的顶点，，，则对角线中点为， 于是得对角线BD的中点是， 设，因此有，，解得：， 所以平行四边形的顶点． 因为，，即有直线斜率， 所以直线的方程：，即， 因此，点到直线的距离为， 而， 从而得，所以四边形的面积为24． 16. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 【答案】（1）， （2） 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 在中，根据空间向量的减法运算可得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 17. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面， 平面，故 平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）在上取点，使，通过证明是平行四边形，有，平面， 平面，故 平面； （2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量，与平面 所成角的正弦值，就是的方向向量与平面 的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解. （3）由题意可设，再使用点到平面距离公式，即点到平面 的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， ， 设平面 的法向量，则有， 令，则，即，直线的方向向量为， 设直线与平面 的夹角为，则有 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为. 【小问3详解】 已知，平面 的法向量，且， 设是线段上一点，由可设， 则， 点到平面 的距离， 令，解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 18. 已知直线与直线的交点为. （1）若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）或 （2）； 【解析】 【分析】（1）先求出交点，由两点到直线的距离相等，分直线与直线平行与相交两类情况求解即可； （2）设直线截距式方程，由直线过点得，利用基本不等式求最值，进而得面积的最值，再通过取等条件，求出直线方程. 【小问1详解】 由解得，即交点， 由点和点到直线的距离相等，直线过的中点或， 当直线过的中点时，中点为，则直线； 当直线时，由的斜率， 得方程为，即. 故所求直线方程为或. 【小问2详解】 由题意知，直线的横、纵截距，都存在，且， 则可设直线，由直线过， 则，由基本不等式得，解得， 当且仅当，即时，等号成立. 则的面积，即面积的最小值为， 此时，直线方程为，即. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． （1）证明：； （2）若平面与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得到，再借助面面垂直的性质定理证出平面，最后结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量。利用二面角为列方程求出高，代入体积公式即可得到体积； 方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，利用得到，求解再用等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以两两垂直， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，， 设，因为，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又，， 所以由，得，令，则，，故， 因为二面角的大小为，所以， 解得， 所以，又，所以， 故三棱锥的体积． 方法二：过点作，垂足为．由平面，得， 故平面． 过作于，连接． 因为平面，平面，所以．又，，平面，所以平面，故． 因此就是平面与平面所成二面角的平面角，． 在中，． 是边长为1的等边三角形，是中点， 所以，，，． 在中，由余弦定理： 得，． 因为，，所以， 又，故，所以． 在中，，所以． 底面的面积： 由等体积法：，是点到平面的高： 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $