3.2 探索三角形相似的条件(3-4)（课件）2026-2027学年北师大九年级数学上册

九年级上册数学（北师版） 3.2 探索三角形相似的条件 第三章 图形的相似 第3课时 利用三边判定三角形相似 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从 中获得证明三角形相似的启发吗？ 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 3. 如果两个三角形的三边成比例，那么 这两个三角形一定相似吗？ 复习导入 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 和 都 等于给定的值 k. 设法比较 ∠A 与 ∠A' 的大小，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？说说你的理由. A B C C′ B′ A′ 探究新知 三边成比例的两个三角形相似 1 做一做 A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 归纳总结 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 归纳总结 例2 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE， 找出图中相等的角 ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°. 如图，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？ 议一议 △ABC∽△A′B′C′ 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 的运用 当堂小结 1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ) C A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ ① ② ③ ④ 课堂练习 2. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. (2) AB＝4， BC＝8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； (1) AB＝3， BC＝4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 是 否 否 3. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°，∴AB = ，AC = ，AD = . 4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴ ∴ 4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第4课时 黄金分割 九年级上册数学（北师版） 事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系. 情境导入 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 一个五角星如下图所示. (1) 从图中找出相等的角、相等的线段. (2) 在图中找出两对相似比不同的相似 三角形. 探究新知 黄金分割的概念 1 五角星的对称性 △ACD∽△ ABF，△FGH∽△DGC. A C B D E F G H K L 16 A C B D E F G H K L 小亮认为 ，你同意他的看法吗？说说你的理由. 度量、计算 ∵AG = AB，AD = BC 易证 △ACD∽△ AGC. A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 归纳总结 18 例1 计算黄金比. 解：由 ，得 AC² = AB·BC. 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x² = 1 ×(1 - x)，即 x² + x – 1 = 0. 解方程得：x1= (不合题意，舍去)，x2= . 黄金比 典例精析 F C A E B D 下图是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把图中用 虚线表示的矩形画成图中的 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， . 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的 宽与长的比是黄金比吗? 做一做 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段 : 原线段 = 定义 当堂小结 1.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1 = S2 D．S1≥S2 P A B C 课堂练习 3.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？ 2.点 C 是线段 AB 的黄金分割点，如果 AB = 4，求线段 AC 的长度． AC = 4×0.618 = 2.472 或者 AC = 4×(1 - 0.618) = 1.518. 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB = ( - 40) cm，AD = AB - BD = (120 - ) cm， 所以 DC = AC - AD = ( - 160) cm. 4.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =__________cm，DC =___________cm. $